HarbinInstituteofTechnology概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程論文題目：正態(tài)分布與生活學(xué)院：機(jī)電工程班級(jí)：########學(xué)號(hào)：###########姓名：#####指導(dǎo)老師：######2014年12月13日正態(tài)分布與生活作者：####指導(dǎo)老師：#####機(jī)電工程學(xué)院機(jī)械設(shè)計(jì)制造及其自動(dòng)化學(xué)號(hào)：123456789電話：12345678郵箱：#######@163.com摘要：正態(tài)分布是一個(gè)在數(shù)學(xué)、物理及工程等領(lǐng)域都非常重要的概率分布，在統(tǒng)計(jì)學(xué)的許多方面有著重大的影響力。其密度函數(shù)為：，由μ、σ決定其性質(zhì)。生產(chǎn)與科學(xué)實(shí)驗(yàn)中很多隨機(jī)變量的概率分布都可以近似地用正態(tài)分布來(lái)描述。關(guān)鍵詞：正態(tài)分布，歷史，性別比，成績(jī)1正態(tài)分布的發(fā)展歷史正態(tài)分布是最重要的一種概率分布。正態(tài)分布概念是由德國(guó)的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家Moivre于1733年首次提出的，但由于德國(guó)數(shù)學(xué)家Gauss率先將其應(yīng)用于天文學(xué)家研究，故正態(tài)分布又叫高斯分布。高斯是一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家，重要的貢獻(xiàn)不勝枚舉。但現(xiàn)今德國(guó)10馬克的印有高斯頭像的鈔票，其上還印有正態(tài)分布的密度曲線。這無(wú)不說(shuō)明在高斯的一切科學(xué)貢獻(xiàn)中，其對(duì)人類文明影響最大者，就是這一項(xiàng)。在高斯剛作出這個(gè)發(fā)現(xiàn)之初，也許人們還只能從其理論的簡(jiǎn)化上來(lái)評(píng)價(jià)其優(yōu)越性，其全部影響還不能充分看出來(lái)。這要到20世紀(jì)正態(tài)小樣本理論充分發(fā)展起來(lái)以后。拉普拉斯很快得知高斯的工作，并馬上將其與他發(fā)現(xiàn)的中心極限定理聯(lián)系起來(lái)，為此，他在即將發(fā)表的一篇文章（發(fā)表于1810年）上加上了一點(diǎn)補(bǔ)充，指出如若誤差可看成許多量的疊加，根據(jù)他的中心極限定理，誤差理應(yīng)有高斯分布。這是歷史上第一次提到所謂“元誤差學(xué)說(shuō)”——誤差是由大量的、由種種原因產(chǎn)生的元誤差疊加而成。后來(lái)到1837年，海根（G.Hagen）在一篇論文中正式提出了這個(gè)學(xué)說(shuō)。2正態(tài)分布簡(jiǎn)介2.1定義若隨機(jī)變量服從一個(gè)位置參數(shù)為、尺度參數(shù)為的概率分布，且其概率密度函數(shù)為則這個(gè)隨機(jī)變量就稱為正態(tài)隨機(jī)變量，正態(tài)隨機(jī)變量服從分布就稱為正態(tài)分布，記為，讀作服從，或服從正態(tài)分布。當(dāng)時(shí)，正態(tài)分布就成為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布的概率密度函數(shù)曲線呈鐘形，因此人們又經(jīng)常稱之為鐘形曲線。下面為不同μ和σ下的正態(tài)分布曲線：圖1μ=0，σ=1的正態(tài)分布曲線圖2μ=3，σ=1的正態(tài)分布曲線圖3μ=3，σ=0.5的正態(tài)分布曲線2.2基本性質(zhì)服從正態(tài)分布的變量的頻數(shù)分布由μ、σ完全決定。集中性：正態(tài)曲線的高峰位于正中央，即均數(shù)所在的位置。對(duì)稱性：正態(tài)曲線以均數(shù)為中心，左右對(duì)稱，曲線兩端永遠(yuǎn)不與橫軸相交。均勻變動(dòng)性：正態(tài)曲線由均數(shù)所在處開始，分別向左右兩側(cè)逐漸均勻下降。正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)，即均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ，可記作N(μ,σ2)，均數(shù)μ決定正態(tài)曲線的中心位置；標(biāo)準(zhǔn)差σ決定正態(tài)曲線的陡峭或扁平程度。σ越小，曲線越陡峭；σ越大，曲線越扁平。u變換：為了便于描述和應(yīng)用，常將正態(tài)變量作數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換。μ是正態(tài)分布的位置參數(shù)，描述正態(tài)分布的集中趨勢(shì)位置。正態(tài)分布以X=μ為對(duì)稱軸，左右完全對(duì)稱。正態(tài)分布的均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)相同，均等于μ。σ描述正態(tài)分布資料數(shù)據(jù)分布的離散程度，σ越大，數(shù)據(jù)分布越分散，σ越小，數(shù)據(jù)分布越集中。也稱為是正態(tài)分布的形狀參數(shù)，σ越大，曲線越扁平，反之，σ越小，曲線越瘦高。3正態(tài)分布的應(yīng)用舉例出生人口性別比，通常是為了便于觀察與比較所定義的每出生百名女嬰相對(duì)的出生男嬰數(shù)。世紀(jì)年代中期，聯(lián)合國(guó)在其出版的《用于總體估計(jì)的基本數(shù)據(jù)質(zhì)量鑒定方法》（手冊(cè)Ⅱ）（MethodsofAppraisalofQualityofBasicDataforPopulationEstimate，ManualⅡ）認(rèn)為：出生性別比偏向于男性。一般來(lái)說(shuō)，每出生名女嬰，其男嬰出生數(shù)置于之間。此分析明確認(rèn)定了出生性別比的通常值域?yàn)橹g。從此出生性別比值下限不低于、上限不超過(guò)的值域一直被國(guó)際社會(huì)公認(rèn)為通常理論值，其他值域則被視為異常。近年來(lái)，越來(lái)越多的話題圍繞著我國(guó)的人口性別比例而展開。下圖（表1）所示的是我國(guó)2005年到2010年的出生人口性別比例的變化情況。由圖可以看出，在2005年到2010年之間，我國(guó)的人口性別比一直都保持在118到121之間，超出了國(guó)際社會(huì)公認(rèn)為通常理論值102-107很多。4正態(tài)分布在成績(jī)分析中的應(yīng)用下面以《復(fù)變函數(shù)與積分變換》40名同學(xué)的考試成績(jī)?yōu)槔?，通過(guò)頻數(shù)分布圖來(lái)考察其成績(jī)的分布，學(xué)生的考試成績(jī)?cè)谡Ｇ闆r下應(yīng)服從正態(tài)分布，也就是說(shuō)，把考試成績(jī)作為橫坐標(biāo)，得該分的人數(shù)為縱坐標(biāo)，在適當(dāng)分組后，畫成頻數(shù)圖，大致上是滿足“中間高，兩邊低，左右對(duì)稱”這一特點(diǎn)。圖4成績(jī)頻數(shù)分布圖從上圖看出成績(jī)的分布并不是完好的符合正態(tài)分布規(guī)律，特別是在兩端會(huì)出現(xiàn)一定的變化。當(dāng)然這也給老師教學(xué)作為了一個(gè)反饋，教師可以根據(jù)考試成績(jī)的分布，對(duì)教學(xué)做出一些調(diào)整工作。由此也可以看出正態(tài)分布的應(yīng)用，其條件是組成的因子相互獨(dú)立，且機(jī)率相等。在實(shí)際分析時(shí)，影響隨機(jī)變量分布的那些隨機(jī)因素對(duì)總和的影響較小，而且是獨(dú)立的，當(dāng)總和的個(gè)數(shù)足夠大時(shí)，其分布規(guī)則才符合正態(tài)模型。由于考試是一種規(guī)范性行為，要求受試者盡量達(dá)到考試規(guī)定的及格水平。換言之，這種規(guī)范性質(zhì)，強(qiáng)制受試者的心理活動(dòng)要適應(yīng)一定的要求。在行為科學(xué)領(lǐng)域中，考試可以歸類為適情行為或制度行為。而且，受試者不是來(lái)自隨機(jī)取樣的群體，其考試成績(jī)也不具備隨機(jī)性。試題質(zhì)量也可以直接影響考試成績(jī)及其分布。所以，考試成績(jī)分布不一定完全服從正態(tài)分布規(guī)律。5結(jié)語(yǔ)正態(tài)分布在生活中應(yīng)用廣泛。在生活中把正態(tài)分布的知識(shí)用好了，很多事情都會(huì)得到相應(yīng)的解決，對(duì)指導(dǎo)下一步工作有著很大的意義。幾乎所有的自然學(xué)科和相當(dāng)大的一部分社會(huì)學(xué)科以及國(guó)民經(jīng)濟(jì)的眾多部門都不同程度的涉及到了概率理論和統(tǒng)計(jì)方法。所以作為概率理論分支中的正態(tài)分布影響非常廣泛。研究正態(tài)分布對(duì)科學(xué)的發(fā)展、人類社會(huì)的進(jìn)步具有重要的作用。6參考文獻(xiàn)[1]蘇巖.正態(tài)分布與統(tǒng)計(jì)應(yīng)用[J].保定師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),2003,04:5-8.[2]陳臘玲,宋全兵.例談?wù)龖B(tài)分布在實(shí)際生活中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2007,02:52-53.[3]羅春玲.正態(tài)分布的性質(zhì)及應(yīng)用[J].才智,2010,17:64-66.[4]何家忠.正態(tài)分布及其應(yīng)用[J].咸寧師專學(xué)報(bào),1983,S1:14-