離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布(專題復(fù)習(xí))適用學(xué)科高中數(shù)學(xué)適用年級(jí)高中三年級(jí)適用區(qū)域通用課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）60知識(shí)點(diǎn)1．離散型隨機(jī)變量的均值與方差；2．均值與方差的性質(zhì)；3．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差；4．正態(tài)分布教學(xué)目標(biāo)1．理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念，能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題．2．利用實(shí)際問(wèn)題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．教學(xué)重點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的均值或期望的概念；正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線N(0，1)。教學(xué)難點(diǎn)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值或期望；通過(guò)正態(tài)分布的圖形特征，歸納正態(tài)曲線教學(xué)過(guò)程課堂導(dǎo)入“離散型隨機(jī)變量的分步列，均值和方差”在“排列與組合”知識(shí)的延伸，在本講的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們將通過(guò)具體實(shí)例理解隨機(jī)變量及其分布列、均值和方差的概念，認(rèn)識(shí)隨機(jī)變量及其分布對(duì)于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性．要求同學(xué)們會(huì)用隨機(jī)變量表達(dá)簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件，會(huì)用分布列來(lái)計(jì)算這類事件的概率，計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題．在高考中，這部分知識(shí)通常有一道解答題，占12─14分左右，主要考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力，凸顯數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值．復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)1．判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機(jī)變量，它不確定． ()(2)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量平均程度越小． ()(3)正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)μ是正態(tài)分布的期望，σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差． ()(4)一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布． ()2．設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝eq\f(1,5)(k＝2,4,6,8,10)，則D(ξ)等于 ()A．5 B．8 C．10 D．163．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，則a等于 ()A．3 B.eq\f(5,3) C．5 D.eq\f(7,3)4．有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件數(shù)，則D(X)＝________.5．在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分．如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是________．附：1.√√√√2.B3.D4.eq\f(9,16)5.0.7知識(shí)講解考點(diǎn)1離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．(2)方差稱D(X)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．

考點(diǎn)2均值與方差的性質(zhì)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b為常數(shù))

考點(diǎn)3兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝__p__，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝__np__，D(X)＝np(1－p)．

考點(diǎn)4正態(tài)分布正態(tài)曲線：函數(shù)φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e，x∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ為參數(shù)(σ>0，μ∈R)．我們稱函數(shù)φμ、σ(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線．(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)：①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；③曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；④曲線與x軸之間的面積為_(kāi)_1__；⑤當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著__μ__的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；⑥當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ__越小__，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ__越大__，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示．(3)正態(tài)分布的定義及表示如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b(a<b)，隨機(jī)變量X滿足P(a<X≤b)＝?eq\o\al(b,a)φμ，σ(x)dx，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作X～N(μ，σ2)．正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682_6；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954_4；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997_4.例題精析考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的均值、方差例1(2013·浙江)設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球，b個(gè)黃球，c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分．(1)當(dāng)a＝3，b＝2，c＝1時(shí)，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球，記隨機(jī)變量ξ為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求ξ的分布列；(2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會(huì)均等)1個(gè)球，記隨機(jī)變量η為取出此球所得分?jǐn)?shù)．若E(η)＝eq\f(5,3)，D(η)＝eq\f(5,9)，求a∶b∶c.

【規(guī)范解答】(1)由題意得ξ＝2,3,4,5,6.故P(ξ＝2)＝eq\f(3×3,6×6)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝3)＝eq\f(2×3×2,6×6)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝4)＝eq\f(2×3×1＋2×2,6×6)＝eq\f(5,18)，P(ξ＝5)＝eq\f(2×2×1,6×6)＝eq\f(1,9)，P(ξ＝6)＝eq\f(1×1,6×6)＝eq\f(1,36).所以ξ的分布列為ξ23456Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(5,18)eq\f(1,9)eq\f(1,36)(2)由題意知η的分布列為Η123Peq\f(a,a＋b＋c)eq\f(b,a＋b＋c)eq\f(c,a＋b＋c)所以E(η)＝eq\f(a,a＋b＋c)＋eq\f(2b,a＋b＋c)＋eq\f(3c,a＋b＋c)＝eq\f(5,3)，D(η)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,3)))2·eq\f(a,a＋b＋c)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(5,3)))2·eq\f(b,a＋b＋c)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(5,3)))2·eq\f(c,a＋b＋c)＝eq\f(5,9).化簡(jiǎn)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－b－4c＝0，,a＋4b－11c＝0.))解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.【總結(jié)與反思】(1)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差公式進(jìn)行計(jì)算．(2)注意性質(zhì)的應(yīng)用：若隨機(jī)變量X的期望為E(X)，則對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量aX＋b的期望是aE(X)＋b，方差為a2D(X)．

考點(diǎn)二二項(xiàng)分布的均值、方差例2(2012·四川)某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱系統(tǒng))A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為eq\f(1,10)和p.(1)若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為eq\f(49,50)，求p的值；(2)設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ)．

【規(guī)范解答】(1)設(shè)“至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，那么1－P(eq\x\to(C))＝1－eq\f(1,10)·p＝eq\f(49,50)，解得p＝eq\f(1,5).(2)由題意，得P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))3＝eq\f(1,1000)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))＝eq\f(27,1000)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\f(1,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))2＝eq\f(243,1000)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))3＝eq\f(729,1000).所以，隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ0123Peq\f(1,1000)eq\f(27,1000)eq\f(243,1000)eq\f(729,1000)故隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝0×eq\f(1,1000)＋1×eq\f(27,1000)＋2×eq\f(243,1000)＋3×eq\f(729,1000)＝eq\f(27,10).(或∵ξ～B(3，eq\f(9,10))，∴E(ξ)＝3×eq\f(9,10)＝eq\f(27,10).)【總結(jié)與反思】求隨機(jī)變量ξ的期望與方差時(shí)，可首先分析ξ是否服從二項(xiàng)分布，如果ξ～B(n，p)，則用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大減少計(jì)算量．

考點(diǎn)三正態(tài)分布的應(yīng)用例3在某次大型考試中，某班同學(xué)的成績(jī)服從正態(tài)分布N(80,52)，現(xiàn)已知該班同學(xué)中成績(jī)?cè)?0～85分的有17人．試計(jì)算該班成績(jī)?cè)?0分以上的同學(xué)有多少人．

【規(guī)范解答】依題意，由80～85分的同學(xué)的人數(shù)和所占百分比求出該班同學(xué)的總數(shù)，再求90分以上同學(xué)的人數(shù)．∵成績(jī)服從正態(tài)分布N(80,52)，∴μ＝80，σ＝5，μ－σ＝75，μ＋σ＝85.于是成績(jī)?cè)?75,85]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的68.26%.由正態(tài)曲線的對(duì)稱性知，成績(jī)?cè)?80,85]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的eq\f(1,2)×68.26%＝34.13%.設(shè)該班有x名同學(xué)，則x×34.13%＝17，解得x≈50.又μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，∴成績(jī)?cè)?70,90]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的95.44%.∴成績(jī)?cè)?80,90]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的47.72%.∴成績(jī)?cè)?0分以上的同學(xué)占全班同學(xué)的50%－47.72%＝2.28%.即有50×2.28%≈1(人)，即成績(jī)?cè)?0分以上的同學(xué)僅有1人．【總結(jié)與反思】答此類題目關(guān)鍵是利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性表示出所給區(qū)間的概率．利用對(duì)稱性轉(zhuǎn)化區(qū)間時(shí)，要注意正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是x＝μ，只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱軸才為x＝0.

考點(diǎn)四離散型隨機(jī)變量的均值與方差問(wèn)題例4甲袋和乙袋中都裝有大小相同的紅球和白球，已知甲袋中共有m個(gè)球，乙袋中共有2m個(gè)球，從甲袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為eq\f(2,5)，從乙袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為P2.(1)若m＝10，求甲袋中紅球的個(gè)數(shù)；(2)若將甲、乙兩袋中的球裝在一起后，從中摸出1個(gè)紅球的概率是eq\f(1,3)，求P2的值；(3)設(shè)P2＝eq\f(1,5)，若從甲、乙兩袋中各自有放回地摸球，每次摸出1個(gè)球，并且從甲袋中摸1次，從乙袋中摸2次．設(shè)ξ表示摸出紅球的總次數(shù)，求ξ的分布列和均值．

【規(guī)范解答】(1)設(shè)甲袋中紅球的個(gè)數(shù)為x，依題意得x＝10×eq\f(2,5)＝4. (2)由已知，得eq\f(\f(2,5)m＋2mP2,3m)＝eq\f(1,3)，解得P2＝eq\f(3,10). (3)ξ的所有可能值為0,1,2,3.P(ξ＝0)＝eq\f(3,5)×eq\f(4,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(48,125)，P(ξ＝1)＝eq\f(2,5)×eq\f(4,5)×eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)×Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(56,125)，P(ξ＝2)＝eq\f(2,5)×Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,5)×eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2＝eq\f(19,125)，P(ξ＝3)＝eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2＝eq\f(2,125). 所以ξ的分布列為ξ0123Peq\f(48,125)eq\f(56,125)eq\f(19,125)eq\f(2,125)所以E(ξ)＝0×eq\f(48,125)＋1×eq\f(56,125)＋2×eq\f(19,125)＋3×eq\f(2,125)＝eq\f(4,5). 【反思與總結(jié)】求離散型隨機(jī)變量的均值和方差問(wèn)題的一般步驟：第