精選PAGEPAGE27——第六章定積分的應(yīng)用內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容定積分的元素法定積分的元素法是一種簡潔記憶定積分（）三步驟的方法：1、將記為2、將寫為平面圖形的面積直角坐標系X-型Y-型極坐標系體積旋轉(zhuǎn)體體積已知平行截面面積的立體體積繞x軸旋轉(zhuǎn)：已知垂直于x軸的平面截立體所得截面面積為,立體又被夾于和兩平面間，則：已知垂直于y軸的平面截立體所得截面面積為,立體又被夾于和兩平面間，則：繞y軸旋轉(zhuǎn)：繞y軸旋轉(zhuǎn)：平面曲線的弧長直角坐標參數(shù)方程極坐標：，；：：，；；物理應(yīng)用：1、變力沿直線作功2、水壓力3、引力課后習(xí)題全解習(xí)題6-2★1．求由曲線與直線所圍圖形的面積。學(xué)問點：平面圖形的面積思路：由于所圍圖形無論表達為X-型還是Y-型，解法都較簡潔，所以選其一做即可解：見圖6-2-1001圖6-2-1∵所圍區(qū)域D表達為X-型：，（或D表達為Y-型：）∴（）★2．求在區(qū)間[0，/2]上，曲線與直線、所圍圖形的面積學(xué)問點：平面圖形面積思路：由于所圍圖形無論表達為X-型還是Y-型，解法都較簡潔，所以選其一做即可解：見圖6-2-200圖6-2-21∵所圍區(qū)域D表達為X-型：，（或D表達為Y-型：）∴（）★★3．求由曲線與所圍圖形的面積學(xué)問點：平面圖形面積思路：由于所圍圖形表達為Y-型時解法較簡潔，所以用Y-型做解：見圖6-2-3004圖6-2-3∵兩條曲線的交點：，∴所圍區(qū)域D表達為Y-型：，∴（由于圖形關(guān)于X軸對稱，所以也可以解為：）★★4．求由曲線、、及直線所圍圖形的面積學(xué)問點：平面圖形面積思路：所圍圖形關(guān)于Y軸對稱，而且在第一象限內(nèi)的圖形表達為Y-型時，解法較簡潔解：見圖6-2-4001圖6-2-412∵第一象限所圍區(qū)域表達為Y-型：，∴（若用X-型做，則第一象限內(nèi)所圍區(qū)域，其中：，：；∴）★★5．求由曲線與直線及所圍圖形的面積學(xué)問點：平面圖形面積思路：由于所圍圖形表達為X-型,解法較簡潔，所以用X-型做解：見圖6-2-5001圖6-2-521∵兩條曲線和的交點為（1，1）、（-1，-1），又這兩條線和分別交于、∴所圍區(qū)域表達為X-型：，∴★★★6．拋物線分圓的面積為兩部分，求這兩部分的面積學(xué)問點：平面圖形面積思路：所圍圖形關(guān)于X軸對稱，而且在第一象限內(nèi)的圖形表達為Y-型時，解法較簡潔解：見圖6-2-6，設(shè)陰影部分的面積為，剩余面積為00圖6-2-602∵兩條曲線、的交于（舍去的解），∴所圍區(qū)域表達為Y-型：；又圖形關(guān)于x軸對稱，∴（其中）∴★★★7．求由曲線、與直線所圍圖形的面積學(xué)問點：平面圖形面積思路：由于所圍圖形表達為X-型時，解法較簡潔，所以用X-型做解：見圖6-2-7001圖6-2-71∵兩條曲線和的交點為（0，1），又這兩條線和分別交于和∴所圍區(qū)域表達為X-型：，∴★★★8．求由曲線與直線及所圍圖形的面積學(xué)問點：平面圖形面積思路：由于所圍圖形表達為Y-型時，解法較簡潔，所以用Y-型做解：見圖6-2-8001圖6-2-8∵在的定義域范圍內(nèi)所圍區(qū)域：，∴★★★★9．求通過（0，0），（1，2）的拋物線，要求它具有以下性質(zhì)：（1）它的對稱軸平行于y軸，且向下彎；（2）它與x軸所圍圖形面積最小學(xué)問點：平面圖形面積和求最值思路：首先依據(jù)給出的條件建立含參變量的拋物線方程，再求最值時的參變量解：由于拋物線的對稱軸平行于y軸，又過（0，0），所以可設(shè)拋物線方程為，（由于下彎，所以），將（1，2）代入，得到，因此該拋物線和X軸的交點為和，∴所圍區(qū)域：∴得到唯一極值點：，∴所求拋物線為：★★★★10．求位于曲線下方，該曲線過原點的切線的左方以及x軸上方之間的圖形的面積學(xué)問點：切線方程和平面圖形面積思路：先求切線方程，再作出所求區(qū)域圖形，然后依據(jù)圖形特點，選擇積分區(qū)域表達類型解：，∴在任一點處的切線方程為而過（0，0）的切線方程就為：，即所求圖形區(qū)域為,見圖6-2-1000圖6-2-10X-型下的：，：∴★★★11．求由曲線所圍圖形的面積學(xué)問點：平面圖形面積思路：作圖可知該曲線是半徑為、圓心（）的圓在極坐標系下的表達式，可直接求得面積為，也可選擇極坐標求面積的方法做。解：∵作圖6-1-1100圖6-1-11知所求圖形區(qū)域：∴★★★12．求三葉玫瑰線的面積學(xué)問點：平面圖形面積圖6-2-120思路圖6-2-120圖6-2-12中所畫是三葉玫瑰中的一葉，而一葉圖形又關(guān)于對稱，因此選擇其中一葉的一半?yún)^(qū)域求其面積解：∵：∴★★★13．求由曲線所圍圖形的面積學(xué)問點：平面圖形面積思路：作圖可知該曲線圍成的圖形關(guān)于極軸對稱，因此選擇其中一半?yún)^(qū)域求其面積圖6-2-13圖6-2-130解：∵：∴★★★14．求對數(shù)螺線及射線所圍圖形的面積學(xué)問點：平面圖形面積思路：作圖可知該曲線圍成的圖形是由，從到一段曲線及射線所圍，由此可確定、的范圍圖6-2-14圖6-2-140解：∵所圍區(qū)域：∴★★★★15．求由曲線及所圍圖形的面積學(xué)問點：平面圖形面積思路：作圖可知兩條閉圍線圍成的圖形由三部分組成，其中一部分為兩圖形重疊部分，而又關(guān)于極軸對稱，設(shè)在（0，）內(nèi)的曲線和極軸圍成的半個為區(qū)域圖6-2-15圖6-2-1503/2解：兩條曲線、交于處，因此分割區(qū)域，其中：，：★★★16．求由曲線及所圍圖形的面積學(xué)問點：平面圖形面積圖6-2-160思路：作圖可知兩條閉圍線圍成的圖形由三部分組成，其中一部分為兩圖形重疊部分，而又關(guān)于射線對稱，設(shè)兩條曲線在（0，）圍成的半個為區(qū)域圖6-2-160解：兩條曲線、交于及因此分割區(qū)域，其中：，：（和書后答案不同）★★★17．求由擺線，及x軸所圍圖形的面積0圖6-2-17學(xué)問點0圖6-2-17思路：在直角坐標系下作圖可知所圍圖形的、變化范圍，先求出直角坐標系下積分表達式，再將積分變量代換成解：∵所圍區(qū)域：，（為擺線）∴，作代換，則習(xí)題6-3求下列平面圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體體積：★(1)．曲線與直線、、所圍成的圖形；01圖6-3-1-101圖6-3-1-14思路：作出平面圖形（或求出該平面區(qū)域的、范圍），代入相應(yīng)的公式。解：平面圖形D：，見圖6-3-1-1繞x軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體體積：；繞y軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體體積：(和書上答案不同)★★(2)．在區(qū)間上，曲線與直線、所圍成的圖形；0圖6-3-1-21解：平面圖形D：0圖6-3-1-21繞x軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體體積：；繞y軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體體積：方法一：方法二：可看作由（矩形，）繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積，減去由（，）繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積所得∴★(3)．曲線與直線、所圍成的圖形。解：平面圖形D：，繞x軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體體積：；繞y軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體體積：（繞y軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體體積猶如（2）也有兩種計算法）★★2．求由曲線、所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體體積。學(xué)問點：旋轉(zhuǎn)體體積思路：該平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成體積可看作：繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積，減去：繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積所得，見圖6-3-2001圖6-3-21解：★★3．求由曲線（）與x軸圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體體積。學(xué)問點：旋轉(zhuǎn)體體積思路：作出平面圖形（或求出該平面區(qū)域的、范圍），代入相應(yīng)的公式解：平面圖形D：，繞y軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體體積：（繞y軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體體積猶如1（2）也有兩種計算法）★★★4．求由曲線，，，（）所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積。0圖6-3-4學(xué)問點0圖6-3-4思路：作出平面圖形（或求出該平面區(qū)域的、范圍），代入相應(yīng)的公式解：平面圖形D：，見圖6-3-4，繞x軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體體積：★★★5．求擺線，的一拱與所圍圖形繞直線軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積。學(xué)問點：旋轉(zhuǎn)體體積圖6-3-50思路：若設(shè)所圍區(qū)域為，則該平面圖形繞旋轉(zhuǎn)而成體積可看作矩形區(qū)域：繞旋轉(zhuǎn)而成的體積，減去區(qū)域：繞旋轉(zhuǎn)而成的立體體積所得，（其中，表示擺線的函數(shù)式，見圖6-3-5圖6-3-50解：，作代換，則★★★★6．求繞（）旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積。學(xué)問點：旋轉(zhuǎn)體體積0圖6-3-6線段思路：由圖形的對稱性可知所求體積，其中是由（）部分，繞旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積，又依據(jù)元素法，是由圖形中的線段（）繞旋轉(zhuǎn)一周所得的圓柱面疊加而成，見圖6-3-60圖6-3-6線段解：★★★★7．由心形線和射線及所圍圖形繞極軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積。學(xué)問點：旋轉(zhuǎn)體體積思路：極坐標中的此平面圖形繞極軸旋轉(zhuǎn)相當于直角坐標系下的該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)圖6-3-708解：平面區(qū)域：（），見圖6-3-7圖6-3-708∵心形線的直角坐標表示：（），依據(jù)直角坐標下的體積計算及，得：★★★8．計算底面是半徑為的圓，而垂直于底面上的一條固定直徑的全部截面都是等邊三角形的立體體積。學(xué)問點：已知平行截面面積的立體體積思路：首先以固定直徑為x軸確立圓方程：，再求垂直于x軸的截面面積，然后代入公式。見圖6-3-8圖6-3-8圖6-3-8解：以固定直徑為x軸圓心為坐標原點，則圓方程為：，在圓內(nèi)，垂直于x軸的截面面積，∴★★9．求曲線與直線，及所圍成的圖形分別繞ox軸、oy軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體體積。學(xué)問點：旋轉(zhuǎn)體體積思路：作出平面圖形（或求出該平面區(qū)域的、范圍），代入相應(yīng)的公式解：平面圖形D：，繞x軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體體積：；繞y軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體體積：（繞y軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體體積猶如1（2）也有兩種計算法）★★★★10．設(shè)直線與直線，，及所圍成的梯形面積等于，試求、，使這個梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積最?。?，）。學(xué)問點：旋轉(zhuǎn)體體積，以及最值問題思路：作出平面圖形（或求出該平面區(qū)域的、范圍），進而求出以為變量的旋轉(zhuǎn)體體積，再求最小值。解：梯形區(qū)域：，，01∴∵由條件，∴，得，習(xí)題6-4★★1．用定積分表示雙曲線上從點（1，1）到點（2，1/2）之間的一段弧長。思路：曲線表達為（或）代入相應(yīng)公式計算弧長解：，∴★★2．計算曲線上相應(yīng)于的一段弧的弧長。思路：曲線表達為（或）代入相應(yīng)公式計算弧長解：，∴★★3．計算曲線上相應(yīng)于的一段弧的弧長。解：，∴★★4．計算曲線（）的弧長。解：，∴★★★5．計算拋物線（）從頂點到其上點的弧長。思路：拋物線表達為（或），代入相應(yīng)公式計算弧長解：，∴（或通過公式計算）★★★★6．證明曲線的一個周期（）的弧長等于橢圓的周長。思路：分別求出的弧長及橢圓的周長，求橢圓周長時接受參數(shù)式求解解：的弧長橢圓方程表達為：，；代入公式得弧長∴★★★7．求對數(shù)螺線相應(yīng)于自至的一段弧的弧長。思路：曲線是極坐標的表達式，因此代入公式解：★★★8．求曲線相應(yīng)于自至的一段弧的弧長。思路：曲線是極坐標的表達式，因此代入公式解：（其中）★★★9求曲線，相應(yīng)于自至的一段弧的弧長。思路：曲線是參數(shù)表達式，因此代入公式解：習(xí)題6-5★1．設(shè)一質(zhì)點距原點米時，受牛頓力的作用，問質(zhì)點在作用下，從移動到，力所做的功有多大？學(xué)問點：微元法在物理上的應(yīng)用思路：當變力沿直線作功，質(zhì)點從至段所作功的微元。解：∵∴★★2．某物體作直線運動，速度為，求該物體自運動開頭到末所經(jīng)過的路程，并求物體在前內(nèi)的平均速度。學(xué)問點：微元法在物理上的應(yīng)用思路：變速直線運動物體在至?xí)r間段內(nèi)所經(jīng)過路程的微元。解：∵∴（）；（）★★★3．直徑為20cm，高為80cm的圓柱體內(nèi)布滿壓強為的蒸汽，設(shè)溫度保持不變，要使蒸汽體積縮小一半，問需要作多少功？學(xué)問點：微元法在物理上的應(yīng)用思路：設(shè)為壓強、體積為，依據(jù)物理學(xué)原理，當溫度不變時壓強和體積成反比，因此當圓柱體的高為時，。解：∵壓力=壓強面積，∴當圓柱體的高為時壓力，功的微元∴★★★4．半徑為的半球形水池布滿了水，要把池內(nèi)的水全部吸盡，需作多少功？學(xué)問點：微元法在物理上的應(yīng)用思路：設(shè)半球形水池的方程為（），見圖6-5-4，則將至薄片體積的水吸出，克服重力所作的功為，（是水的比重，可取1）00圖6-5-4解：∵，∴★★★5．設(shè)有一半徑為，長度為圓柱體平放在深度為的水池中（圓柱體的側(cè)面與水面相切），設(shè)圓柱體的比重為，現(xiàn)將圓柱體從水中移出水面，問需要作多少功？學(xué)問點：微元法在物理上的應(yīng)用思路：設(shè)圓柱體的方程為，見圖6-5-5，則將至段薄圓臺為底高為的柱體移出水面，浮力減重力所作的功為，另外，因要求整個柱體出水，因此該部分還需在空中移動距離，該部分的功00圖6-5-5解：∵，∴★★6．有一閘門，它的外形和尺寸如下圖所示，水面超過門頂2m，求閘門上所受的水壓力。學(xué)問點：微元法在物理上的應(yīng)用思路：由物理學(xué)問可知，水深處的壓強為，（為水的比重）以門頂中心為原點向下建立x軸，見圖6-5-6，則在至段門條上所受的水壓力為2232圖6-5-60解：∵，∴★★★7．灑水車的水箱是一個橫放的橢圓柱體，尺寸如上圖所示，當水箱裝滿水時計算水箱的一個端面所受的壓力。學(xué)問點：微元法在物理上的應(yīng)用思路：設(shè)橢圓方程為，見圖6-5-7，則在至的一條端面上所受的水壓力為2241.5圖6-5-7解：∵，∴★★★8．以等腰梯形閘門與鉛直平面傾斜角置于水中，其閘門頂部位于水面處，上下底寬分別為100m和10m，高為70m，求此閘門一側(cè)面所受到的水的靜壓力。學(xué)問點：微元法在物理