展現(xiàn)命題思考過程凸顯學(xué)生解答思路—2022年寧夏中考壓軸題的命制過程及反思葛建華〔寧夏回族自治區(qū)教育廳教研室〕施巍〔寧夏銀川市興慶區(qū)教育局教研室〕：750001聯(lián)系子信箱：shiwei8798摘要：中考試題具有選拔、評價、引導(dǎo)、促進(jìn)教學(xué)等功能.2022年寧夏中考壓軸題，將學(xué)生熟悉的一道寧夏中考試題適當(dāng)取舍原有條件、添加新條件，以學(xué)生常用的三角板為背景嘗試改編，把觀察、探究、計算結(jié)合在一起，設(shè)置蘊含直角三角形、圖形的旋轉(zhuǎn)、線線平行、銳角三角函數(shù)、計算重疊圖形面積的“階梯〞型問題及數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，通過不斷嘗試形成試題，到達(dá)了考查學(xué)生根本數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的.關(guān)鍵詞：中考壓軸題；命制過程；反思根據(jù)?義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)〔2022年版〕?要求，中考試題既要注重考查學(xué)生數(shù)學(xué)根底知識與根本技能的理解和掌握，關(guān)注學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的理解情況的考查，又要突出考查學(xué)生的動手操作能力、創(chuàng)新意識.筆者參與命制了2022年寧夏中考試卷，其中一道壓軸題命制的心路歷程和閱卷后的反思，現(xiàn)整理成文與大家交流分享.一、素材選擇根據(jù)試卷雙向細(xì)目表，所命制的試題為壓軸題，應(yīng)設(shè)計為以幾何問題為背景，與動態(tài)探究相結(jié)合的綜合性問題，把觀察、探究、計算結(jié)合在一起，使其蘊含直角三角形、圖形的旋轉(zhuǎn)、線線平行、銳角三角函數(shù)、計算重疊圖形面積等相關(guān)知識及數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.30°、45°的三角板是學(xué)生常用的學(xué)習(xí)工具，具有豐富的內(nèi)涵，基于以上思考，以下面一道學(xué)生熟悉的寧夏中考試題為素材進(jìn)行改編.原題(2022年寧夏中考試題)：如圖1，正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點,且∠EDF=45°.將△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM.〔1〕求證：EF=FM；〔2〕當(dāng)AE=1時，求EF的長．二、試題改編過程根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，△DAE≌△DCM,其對應(yīng)邊互相垂直，且AD‖CM,AE‖DC.當(dāng)∠ADE=30°時，∠AED=60°.假設(shè)將Rt△DAE看成是一個30°、60°的三角板，因∠ADC=90°,將點D看成是另一個30°、60°的三角板的直角頂點，舍掉其它條件，以點D為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)Rt△DAE〔看成30°、60°的三角板〕，旋轉(zhuǎn)過程中隨著旋轉(zhuǎn)角的增大，旋轉(zhuǎn)的三角板與Rt△DCM〔看成30°、60°的三角板〕重疊局部由無到有，與另一可看成以點D為直角頂點、以DC為長直角邊的三角板重疊局部由少變多，重疊局部圖形的形狀隨之發(fā)生變化，重疊局部圖形的面積隨之發(fā)生變化，兩三角板沒有公共點的兩邊的位置關(guān)系也隨之發(fā)生變化.根據(jù)函數(shù)的定義，兩三角板重疊局部圖形的面積是旋轉(zhuǎn)角的函數(shù)，且是三角函數(shù)，因?qū)W生在初中階段只學(xué)習(xí)過特殊角〔30°、45°、60°〕的三角函數(shù)，因此兩三角板重疊局部圖形的面積與旋轉(zhuǎn)角的函數(shù)關(guān)系不能作為考查對象.旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板沒有公共點的兩邊所在直線的位置關(guān)系有相交和平行兩種，且按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°時兩三角板沒有公共點的兩邊所在的直線平行〔右圖2〕.三角板中，特殊角除了直角、30°角外，還有45°、60°的角，考慮到按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到30°時，邊到AB間的距離較大，以及旋轉(zhuǎn)到45°、60°時，兩三角板重疊局部的形狀都是三角形，因而將點與點C重合改為點與點C重合，得改編1：Rt△ABCRt△是全等的三角板，且∠A=∠=60°,∠C=∠C1=90°,點與點C重合，與CA重合.將三角板繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)時AB與的交點為M〔如圖3〕.〔1〕如圖4，假設(shè)將Rt△繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°時，求證：∥AB；思考：假設(shè)將Rt△繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°時，設(shè)BC與的交點為N，兩三角板重疊局部是四邊形CMQN(如圖6)，求四邊形CMQN需轉(zhuǎn)化為三角形的面積計算；假設(shè)Rt△繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，點恰好落在AB上，設(shè)BC與的交點為N，三角板重疊局部是△CCN，點N將BC分為CN與BN兩局部〔如圖5〕.按照由易到難的原那么，第〔2〕問求旋轉(zhuǎn)60°時兩三角板重疊局部圖形的面積，第〔3〕問求旋轉(zhuǎn)45°時兩三角板重疊局部圖形的面積.〔2〕如圖5，假設(shè)Rt△繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，點恰好落在AB上，設(shè)BC與的交點為N.求①CN與BN的比值；②兩三角板重疊局部△CCN的面積；〔3〕如圖6，假設(shè)Rt△繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°.設(shè)BC與的交點為N，求四邊形CMQN的面積.說明：考慮到四邊形MQNC的面積轉(zhuǎn)化為△的面積與△的面積的差計算時，△圖形較小；連接MN，轉(zhuǎn)化為△MQN的面積與△CMN的面積和計算時，△MQN圖形較小，不利于學(xué)生借助幾何直觀解決問題.再那么，利用完全相同的兩個30°、60°角的三角板呈現(xiàn)問題，一副三角形板間的固有關(guān)系〔如45°、45°三角板的斜邊長與30°、60°三角板的長直角邊長相等〕沒能表達(dá)出，因而將兩個完全相同的30°、60°的三角板呈現(xiàn)的問題改編成以一副三角板呈現(xiàn)的問題：改編2：如圖7，是一副學(xué)生用的三角板，在△ABC中，∠C=90°,∠A=60°，∠B=30°；在△中，∠C=90°,∠A=45°，∠B=45°，且AB=CB.假設(shè)將邊與邊CA重合，其中點與點C重合．將三角板繞點C〔〕按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過的角為，旋轉(zhuǎn)過程中邊與邊AB的交點為M，設(shè)AC=.〔1〕當(dāng)=30°時，證明：∥AB；思考：假設(shè)將三角板繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°時，三角板的斜邊與三角板ABC的直角邊BC恰好重合，第〔2〕問改變?yōu)椋骸?〕假設(shè)=，當(dāng)=45°時，計算兩個三角板重疊局部圖形的面積.〔參考數(shù)據(jù)：°=，°=，°=，°=，°=，°=〕〔1〕證明：如圖8，旋轉(zhuǎn)30°時，∠AC=30°因為∠A=60°所以∠AMC=90°即⊥AB因為⊥所以∥AB〔2〕解：如圖9.當(dāng)=45°時，恰好與CB重合，過點C作CH⊥AB于H，那么CH=AC°=在Rt△CMH中，∠MCH=45°-30°=15°所以==在Rt△ABC中，因為AC=，∠A=60°所以°=所以=S△CMB===說明：將三角板繞點C〔〕按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到30°時，一副三角板的邊與AB不但平行，而且邊與邊AB垂直，(CM)就是將三角板繞點C〔〕按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到45°時一副三角板重疊局部△底邊MB1上的高，為第〔2〕問過點C作輔助線作鋪墊；第〔2〕問求重疊局部圖形面積除了用到特殊角的三角函數(shù)以外，還要用到15°或75°的三角函數(shù)值，試題后給出了15°、75°的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)值，讓學(xué)生根據(jù)自己的解題需要選用15°或75°的三角函數(shù)值代入計算，為了簡化運算，第〔2〕問中賦值為，學(xué)生得出的關(guān)系式后將=代入先約分再求值，可減少運算量，考查學(xué)生先化簡、再代入計算的意識.求兩三角板重疊局部圖形的面積需計算出的長，考慮到將30°、60°三角板ABC中AC的長轉(zhuǎn)化到45°、45°的三角板中計算的長，對局部學(xué)生來說有困難.為了降低難度，在改編2的第〔1〕問前面增加“計算的長〞作為第〔1〕問，為計算兩三角板重疊局部圖形的面積作鋪墊.考慮到三角板中出現(xiàn)的角〔除90°外〕有30°、45°、60°，當(dāng)=45°時，求的是三角形的面積；當(dāng)=60°時，求的是任意四邊形的面積，任意四邊形的面積需化歸轉(zhuǎn)化為兩個三角形面積的差或兩個三角形面積的和計算，考查化歸轉(zhuǎn)化的思想，因此在改編2的第〔2〕問后又增加了“當(dāng)=60°時，用含的代數(shù)式表示兩個三角板重疊局部圖形的面積〞作為第〔4〕問，最后定稿為：如圖，是一副學(xué)生用的三角板，在△ABC中，∠C=90°,∠A=60°，∠B=30°；在△中，∠C=90°,∠A=45°，∠B=45°，且AB=CB.假設(shè)將邊與邊CA重合，其中點與點C重合．將三角板繞點C〔〕按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過的角為，旋轉(zhuǎn)過程中邊與邊AB的交點為M，設(shè)AC=.〔1〕計算的長；〔2〕當(dāng)=30°時，證明：∥AB；〔3〕假設(shè)=，當(dāng)=45°時，計算兩個三角板重疊局部圖形的面積；〔4〕當(dāng)=60°時，用含的代數(shù)式表示兩個三角板重疊局部圖形的面積.〔參考數(shù)據(jù)：°=，°=，°=，°=，°=，°=〕〔1〕解：在Rt△ABC中，因為AC=，∠A=60°所以°=因為AB=CB所以Rt△中，=第〔2〕問、第〔3〕問證明、解答略.〔4〕解：當(dāng)=60°時，==．設(shè)分別與AB、BC交于點N、Q(如圖10)由〔1〕中知，=在Rt△中,°=在Rt△中,°=所以====說明：由于一副三角板中的長度與的長度有內(nèi)在的聯(lián)系，其邊與邊AB平行是在旋轉(zhuǎn)過程中出現(xiàn)的，因而將求的長定為第〔1〕問，將證明∥AB定為第〔2〕問.第〔1〕問中計算的長，為第〔3〕問、第〔4〕問計算重疊局部圖形面積作鋪墊，第〔3〕問為第〔4〕問化歸轉(zhuǎn)化作鋪墊.第〔4〕問任意四邊形的面積化歸轉(zhuǎn)化為兩個三角形面積的差或兩個三角形面積的和計算，因求解過程中運算量較大，求代數(shù)式的值已在第〔3〕問中考查過，因而只要求學(xué)生用含的代數(shù)式表示兩個三角板重疊局部圖形的面積.答題卡中第〔2〕問、第〔3〕問、第〔4〕問均給出了一個30°、60°的直角三角形，考查學(xué)生根據(jù)題意畫圖、數(shù)形結(jié)合分析問題、解決問題的能力.基于以上改編過程中的思考，將該題設(shè)置為4個小題，并確定了先后呈現(xiàn)的順序，但仍存在不盡人意之處：寧夏中考壓軸題一般設(shè)置為3問，該題設(shè)置為4問，第〔1〕問與第〔3〕問和第〔4〕問、第〔2〕問與第〔3〕問、第〔3〕問與第〔4〕問之間有內(nèi)在的聯(lián)系，但第〔1〕問與第〔2〕問之間少內(nèi)在聯(lián)系.三、閱卷反應(yīng)〔一〕別樣解答〔1〕略〔2〕閱卷過程中，可看出學(xué)生思維靈活，證明兩直線平行的途徑多樣,如通過同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角相等證兩直線平行，根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行證兩直線平行.第〔3〕問、第〔4〕問從學(xué)生解答過程看，學(xué)生作輔助線的方法多樣，計算路徑多，不乏精彩.〔3〕解法1：如圖11，過點M作MD⊥BC于D,設(shè)MD=因為∠MCD=∠DMC=45°所以DC=MD=在Rt△BMD中，∠BMD=90°-30°=60°，BD=MD60°=，由此+=====S△CMB===簡評：在兩三角板重疊局部圖形〔△CMB〕內(nèi)作高M(jìn)D，點D將線段BC分成線段BD和DC，根據(jù)BD+DC=建立關(guān)于高M(jìn)D的一元一次方程求高，進(jìn)而求得△CMB的面積.求出高M(jìn)D后局部學(xué)生未化簡直接代入三角形面積公式計算增加了計算量.解法2：因為∠ABC=30°,∠CBC=45°所以∠CBM=15°〔如圖12〕由〔1〕中知，,BC===在Rt△BCM中，MC=BC=BC=〔〕=S△BMC=S△BCC-S△BCM===簡評：解法2轉(zhuǎn)化為計算三角板的面積與Rt△BCM的面積的差，三角板兩直角邊長第〔1〕問中已求出，關(guān)鍵是求MC的值.解法3：如圖13，過點M作MD⊥AC于D,設(shè)MD=,那么DC=MD=,因∠AMD=30°所以AD=MD=所以+==3==S△BMC=S△ABC-S△AMC==簡評：解法3轉(zhuǎn)化為計算三角板ABC的面積與△AMC的面積的差，三角板ABC中BC的值在第〔1〕問中已求出；在△AMC內(nèi)作高M(jìn)D，建立關(guān)于MD的方程，求得MD的值后，進(jìn)而可求出兩三角形面積的差.求出MD的值局部學(xué)生未化簡，求△MBC的面積時增加了計算量.除了上述方法，還有學(xué)生根據(jù)△CMB=求重疊局部面積.〔4〕解法1：如圖14，當(dāng)=60°時，CM=AC=，設(shè)分別與AB、BC交于點N、Q，那么=S△-S△-S△====解法2：當(dāng)=60°時，CM=AC=，設(shè)分別與AB、BC交于點N、Q在△CMB中，∠MCB=∠B=30°,過點M作MD⊥BC于D(如圖15),那么MD=MC=，DC=由△CMD∽△CQC得解得所以BQ=-在Rt△CCQ中，∠CQC=90°-30°=60°所以∠BNQ=60°-30°=30°因為∠B=30°所以NQ=BQ=-過點N作NE⊥BC于E，那么NE==所以=S△MBC-S△NBQ===簡評：解法1轉(zhuǎn)化為三角板的面積與另外兩個三角形面積的差計算，運算大；解法2轉(zhuǎn)化為兩個三角形面積的差計算，共作了兩條輔助線.作輔助線對學(xué)生是個難點，能夠作出兩條輔助線解題，可見學(xué)生思維之縝密.除了上述方法，還有學(xué)生根據(jù)=S△-S△-S△求重疊局部圖形面積.〔二〕學(xué)生解答中出現(xiàn)的典型錯誤閱卷過程中，可看出學(xué)生思維靈活，看到多樣的解題方法，但也有讓人惋惜之處．1.根底知識掌握不扎實，如解題過程中出現(xiàn)∠B=30°==〔〕，45°=等，銳角三角函數(shù)概念不清、特殊角三角函數(shù)值記錯等，局部學(xué)生計算兩三角板重疊局部三角形面積時漏乘以.2.運算不準(zhǔn)確，如由30°==，AC=得BC=等，計算過程出錯.3.推理論證不縝密，如證明兩直線平行，寫出的角多，但找不出判斷兩直線平行的條件.4.數(shù)形結(jié)合的意識不強，如將Rt△旋轉(zhuǎn)60°時，畫圖無視了AB=CB的條件，旋轉(zhuǎn)后點B落在了Rt△內(nèi)，或點B在Rt△的邊上.〔三〕命題反思從學(xué)生解答情況看，壓軸題入口要寬，應(yīng)關(guān)注不同水平的學(xué)生，有梯度地、環(huán)環(huán)相扣地設(shè)置問題，讓學(xué)生易于進(jìn)入解題狀態(tài)，盡可能地展現(xiàn)自己的數(shù)學(xué)才能，有效區(qū)分學(xué)生的解題能力和思維深度；解題過程中應(yīng)適當(dāng)控制運算量，關(guān)注解題方法的多樣化，讓學(xué)生在探究過程中選擇適合自己的方法解題.此題命制過程中采用“選用改編試題、調(diào)整試題條件、研究變化規(guī)律，探究欲求〔證〕問題〞的方法，將學(xué)生熟悉的中考試題以學(xué)生常用的一副三角板為背景嘗試改編，形成入口低，表達(dá)根底的試題.問題設(shè)置呈現(xiàn)一副三角板的內(nèi)在聯(lián)系，表達(dá)了循序漸進(jìn)的原那么，實現(xiàn)了知識和方法的有效整合．如第〔1〕問為第〔3〕問、〔4〕問的求解做鋪墊，第〔2〕問為第〔3〕問作輔助線作鋪墊，第〔3〕問為第〔4〕問轉(zhuǎn)化作鋪墊，起到了知識和方法引領(lǐng)的作用.問題解決中讓學(xué)生多渠道地選擇解決問題的方式，很好地考查了學(xué)生的根本技能、對知識的理解、掌握和靈活運用的程度，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合作圖〔答題卡中第〔2〕、〔3〕、〔4〕問分別給出30°、60°的