寒假課程·高一數(shù)學(xué)第八講三角函數(shù)一、知識(shí)梳理1.任意角：按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所成的角為正角，按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)所成的角為負(fù)角.2.象限角：角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角.第一象限角的集合為第二象限角的集合為第三象限角的集合為第四象限角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為3.與角終邊相同的角的集合為4.長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做弧度.5.半徑為的圓的圓心角所對(duì)弧的長(zhǎng)為，則角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是.6.弧度制與角度制的換算公式：，，.7.若扇形的圓心角為，半徑為，弧長(zhǎng)為，周長(zhǎng)為，面積為，則，，.8.設(shè)是一個(gè)任意角，的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是，它與原點(diǎn)的距離是，則，，.9.三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正.10.同角的三角函數(shù)關(guān)系：（1）；（2）.11.函數(shù)的誘導(dǎo)公式：（口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限.）（1），，.（2），，.（3），，.（4），，.（5），.（6），.12．兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．13.二倍角的正弦、余弦和正切公式：（1）．（2）升冪公式：降冪公式：，．（3）．二、方法歸納（1）在已知三角函數(shù)值的大小求角的大小時(shí)，通常先確定角的終邊位置，然后再確定大小.（2）弧度制是角的度量的重要表示法，能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算，熟記特殊角的弧度制.（3）三角函數(shù)定義是本章重點(diǎn)，從它可以推出一些三角公式.重視用數(shù)學(xué)定義解題.數(shù)形結(jié)合.充分利用單位圓中的三角函數(shù)線幫助解題；（4）利用三角函數(shù)定義，可以得到（1）誘導(dǎo)公式：即與α之間函數(shù)值關(guān)系（k∈Z），其規(guī)律是“奇變偶不變，符號(hào)看象限”；（2）同角三角函數(shù)關(guān)系式：平方關(guān)系，倒數(shù)關(guān)系，商數(shù)關(guān)系.等價(jià)變換.熟練運(yùn)用公式對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化歸為熟悉的基本問題；三、典型例題精講例1、已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的正半軸，若是角終邊上一點(diǎn)，且，則＝________.答案：－8解析：r＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(16＋y2)，∵sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，∴sinθ＝eq\f(y,r)＝eq\f(y,\r(16＋y2))＝－eq\f(2\r(5),5)，解得y＝－8.跟蹤訓(xùn)練：已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊在直線上，則=A．－eq\f(4,5)B．－eq\f(3,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)答案：B解析：解法1：在角θ終邊上任取一點(diǎn)P（a，2a）（a≠0），則r2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OP))2＝a2＋（2a）2＝5a2，∴cos2θ＝eq\f(a2,5a2)＝eq\f(1,5)，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝eq\f(2,5)－1＝－eq\f(3,5).解法2：tanθ＝eq\f(2a,a)＝2，cos2θ＝eq\f(cos2θ－sin2θ,cos2θ＋sin2θ)＝eq\f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝－eq\f(3,5).例2、若角的終邊落在直線上，則的值等于（）ABC或D答案：D解析：，當(dāng)是第二象限角時(shí)，；當(dāng)是第四象限角時(shí)，.例3、已知是第二象限的角，，則=__________.答案：解析：∵，∴例4、已知為第二象限的角，，則.答案：解析：因?yàn)闉榈诙笙薜慕?，又，所以，，所以變式?xùn)練：若，且，則的值等于（）A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\r(2)D.eq\r(3)答案：D解析：因?yàn)閟in2α＋cos2α＝sin2α＋1－2sin2α＝1－sin2α＝cos2α，∴cos2α＝eq\f(1,4)，sin2α＝1－cos2α＝eq\f(3,4)，∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴cosα＝eq\f(1,2)，sinα＝eq\f(\r(3),2)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\r(3)，故選D.例5、（A）（B）-（C）（D）答案：C解析：例6、已知，則（）（A）（B）（C）（D）答案：B解析：∵∴例7、若=-，是第三象限的角，則=（）（A）-（B）（C）（D）答案：A解析：由已知得，所以.變式訓(xùn)練：已知＜β＜α＜，cos（α－β）=，sin（α+β）=－，求sin2α的值_________.答案：解法一：∵＜β＜α＜，∴0＜α－β＜.π＜α+β＜，∴sin（α－β）=∴sin2α=sin［（α－β）+（α+β）］=sin（α－β）cos（α+β）+cos（α－β）sin（α+β）解法二：∵sin（α－β）=，cos（α+β）=－，∴sin2α+sin2β=2sin（α+β）cos（α－β）=－，sin2α－sin2β=2cos（α+β）sin（α－β）=－，∴sin2α=例8、如圖，圖中的實(shí)線是由三段圓弧連接而成的一條封閉曲線，各段弧所在的圓經(jīng)過同一點(diǎn)（點(diǎn)不在上）且半徑相等.設(shè)第段弧所對(duì)的圓心角為，則____________.答案：解析：又，所以.例9、若，則的值等于（）A．2B．3C．4D．6答案：D解析：因?yàn)閑q\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(2sinαcosα,cos2α)＝eq\f(2sinα,cosα)＝2tanα＝6，故選D.例10、若，則=（）A．B．C．D．答案：D解析：例11、觀察下列等式：①cos2a=2-1;②cos4a=8-8+1;③cos6a=32-48+18-1;④cos8a=128-256+160-32+1;⑤cos10a=m-1280+1120+n+p-1.可以推測(cè)，m–n+p=.答案：962解析：因?yàn)樗?；觀察可得，，所以m–n+p=962.例12、若實(shí)數(shù)、、滿足，則稱比接近.（1）若比3接近0，求的取值范圍；（2）對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)、，證明：比接近；（3）已知函數(shù)的定義域.任取，等于和中接近0的那個(gè)值.寫出函數(shù)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性（結(jié)論不要求證明）.答案解析：（1）x（2，2）；（2）對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，有，，因?yàn)?，所以，即a2bab2比a3b3接近；（3），kZ，f（x）是偶函數(shù)，f（x）是周期函數(shù)，最小正周期T，函數(shù)f（x）的最小值為0，函數(shù)f（x）在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，kZ．四、課后練習(xí)1.設(shè)是方程的兩個(gè)根，則的值為（）（A）-3（B）-1（C）1（D）32.若，，則（）（A）（B）（C）（D）3.已知，(0，π)，則=(A)1(B)(C)(D)14.設(shè)為銳角，若，則的值為．5.<<<，（Ⅰ）求的值.（Ⅱ）求.6.求函數(shù)的最大值與最小值.7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊做兩個(gè)銳角，，它們的終邊分別與單位圓相交于A、B兩點(diǎn)，已知A、B的橫坐標(biāo)分別為．（Ⅰ）求tan（）的值；（Ⅱ）求的值．8.已知函數(shù).（Ⅰ）求的定義域；（Ⅱ）設(shè)為第四象限的角，且，求的值.9.已知的值.10.已知.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.【參考答案】1.【答案】A【解析】因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)根，所以，，所以，選A.2.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，，所以，又，所以，，選D.3.【答案】A【解析一】，故選A【解析二】，故選A4.【答案】.【解析】∵為銳角，即，∴.∵，∴∴.∴.∴.5.【解析】（Ⅰ）由，得，∴，于是.（Ⅱ）由，得.又∵，∴由得，，所以.6.【解析】.由于函數(shù)在中的最大值為，最小值為，故當(dāng)時(shí)取得最大值，當(dāng)時(shí)取得最小值.7.【解析】由已知條件及三角函數(shù)的定義可知，，因?yàn)?，為銳角，所以=，因此，（Ⅰ）tan（）=（Ⅱ），所以∵為銳角，∴，∴=.8.【解析】（Ⅰ）由得，故在定義