湖南省2012年高考試題數(shù)學(xué)(理科)分值:150分時(shí)量:120分鐘考試日期:2012-06-07一、選擇題:本大題共8個(gè)小題,每小題5分,共40分.1.設(shè)集合M={-1,0,1},N={x|x2x},則M∩N=（）A．{0}B．{0,1}C．{-1,1}D．{-1,0,1}2.命題“若A．若,則”的逆否命題是(),則B．若D．若,則C．若,則,則3.某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示,則該幾何體的俯視圖不可能是()4.設(shè)某大學(xué)的女生體重(單位:)與身高(單位:)具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù),用最小二乘法建立的回歸方程為,則下列結(jié)論中不正確的是()A.與具有正的線性相關(guān)關(guān)系B.回歸直線方程過樣本點(diǎn)的中心C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kgD.若該大學(xué)某女生身高為170cm,則可斷定其體重為58.79kg5.已知雙曲線的焦距為10,點(diǎn)在的漸近線上,則的方程為()D．A．B．C．6.函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢．[-2,2]B．[-,]C．[-1,1]D．[-,]7.在A．中,AB=2,AC=3,B．C．=1,則BC=()D．8.已知兩條直線,與函數(shù)和,與函數(shù)的圖象從左至右相交于點(diǎn)的圖象從左至右相交于點(diǎn).記線段AC和BD在x軸上的投影長(zhǎng)度分別為a,b,當(dāng)m變化時(shí),的最小值為()A．B．C．D．二、填空題:本大題共8個(gè)小題,考生作答7個(gè)小題,每小題5分,共35分,把答案填寫在題中的橫線上.(一)選做題(請(qǐng)?jiān)诘?、10、11兩題中任選兩題作答,如果全做,則按前兩題記分)9.在直角坐標(biāo)系為參數(shù),a>0)有一個(gè)公共點(diǎn)在軸上,則10.不等式11.如圖2,過點(diǎn)P的直線與圓⊙O相交于A,B兩點(diǎn).若PA=1,AB=2,PO=3,則圓O的半徑等于.中,已知曲線為參數(shù))與曲線.的解集為.(二)必做題(12?16題)12.已知復(fù)數(shù)z=(3+i)2(i為虛數(shù)單位),則|z|=.13.的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(用數(shù)字作答)．.,則輸出的數(shù)14.如果執(zhí)行如圖3所示的程序框圖,輸入.15.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的部分圖為圖象如圖4所示,其中為圖象與軸的交點(diǎn),象與軸的兩個(gè)交點(diǎn),為圖象的最低點(diǎn).(1)若,點(diǎn)的坐標(biāo)為,則;(2)若在曲線段一點(diǎn),則該點(diǎn)在16.設(shè)與軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取內(nèi)的概率為.,將個(gè)數(shù)依次放入編號(hào)為的個(gè)位置,得到排列.將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出,并按原順序依次放入對(duì)應(yīng)的前和后個(gè)位置,得到排列將此操作稱為變換,將分成兩段,每段個(gè)數(shù),并對(duì)每段作變換,得到,當(dāng)時(shí),將分成段,每段個(gè)數(shù),并對(duì)每段作變換,得到此時(shí)位于中的第4個(gè)位置.,例如,當(dāng)時(shí),,(1)當(dāng)時(shí),位于中的第個(gè)位置;(2)當(dāng)時(shí),位于中的第個(gè)位置.三、解答題：本大題共6個(gè)小題,共75分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分12分)1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以一次購(gòu)物量上顧客數(shù)(人)結(jié)算時(shí)間(分鐘/人)x130252y101.52.53某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息,安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如上表所示.已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過8件的顧客占55%.(Ⅰ)確定的值,并求顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的分布列與數(shù)學(xué)期望;(Ⅱ)若某顧客到達(dá)收銀臺(tái)時(shí)前面恰有2位顧客需結(jié)算,且各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立,求該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘的概率.(注:將頻率視為概率)18.(本小題滿分12分)如圖5,在四棱錐中,底面,是的中點(diǎn).(Ⅰ)證明:平面;(Ⅱ)若直線與平面所成的角和與平面所成的角相等,求四棱錐19.(本小題滿分12分)的體積.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),記A(n)=,B(n)=,C(n)=,n=1,2,….(Ⅰ)若且對(duì)任意n∈N*,三個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．(Ⅱ)證明:數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是:對(duì)任意n∈N*,三個(gè)數(shù)q的等比數(shù)列.組成公比為20.(本小題滿分13分)某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺(tái)某產(chǎn)品的A,B,C三種部件的訂單,每臺(tái)產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為2,2,1(單位:件).已知每個(gè)工人每天可生產(chǎn)A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.該企業(yè)計(jì)劃安排200名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件,生產(chǎn)B部件的人數(shù)與生產(chǎn)A部件的人數(shù)成正比,比例系數(shù)為(為正整數(shù)).(Ⅰ)設(shè)生產(chǎn)A部件的人數(shù)為,分別寫出完成A,B,C三種部件生產(chǎn)需要的時(shí)間;(Ⅱ)假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時(shí)開工,試確定正整數(shù)的值,使完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短,并給出時(shí)間最短時(shí)具體的人數(shù)分組方案.21.(本小題滿分13分）在直角坐標(biāo)系中,曲線上的點(diǎn)均在外,且對(duì)上任意一點(diǎn)到直線和的距離等于該點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最小值.(Ⅰ)求曲線的方程;(Ⅱ)設(shè)為圓外一點(diǎn),過作圓的兩條切線,分別于曲線相交于點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)時(shí),四點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值..證明:當(dāng)在直線22.(本小題滿分13分)已知函數(shù),其中.(Ⅰ)若對(duì)一切(Ⅱ)在函數(shù),恒成立,求的取值集合;的圖象上取定兩點(diǎn),記直線的斜率為問:是否存在,使成立?若存在,求的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.參考答案一、選擇題B,C,D,DA,B,A,B二、填空題9.10.11.12.1013.-16014.-415.(1)3(2)16.(1)6,(2)三、解答題17.【解】(Ⅰ)由已知得,所以,所以……2分該超市所有顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體,所收集的100位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量為100的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,將頻率視為概率得:,11.522.53.所以的分布列如右表所示,的數(shù)學(xué)期望為=1×0.15+1.5×0.3+2×0.25+2.5×0.2+3×0.1=1.9…………………6分(Ⅱ)記A為事件“該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘”,(i=1,2)為該顧客前面第i位顧客的結(jié)算時(shí)間,則…8分且且且由于各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立,且(i=1,2)的分布列都與X的分布列相同,所以…………10分故該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘的概率為.………12分〖點(diǎn)評(píng)〗本題考查學(xué)生的閱讀能力,考查概率的計(jì)算,考查離散型隨機(jī)變量的期望,屬于中檔題.18.【解】解法一:(Ⅰ)連接AC,由AB=4,BC=3,∠ABC=90°,得AC=5,又AD=5,E是CD得中點(diǎn),所以CD⊥AE,…………2分PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD.所以PA⊥CD,………………3分而PA,AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線,所以CD⊥平面PAE.………………5分(Ⅱ)過點(diǎn)B作BG∥CD,分別與AE,AD相交于點(diǎn)F、G,連接PF,由CD⊥平面PAE知,BG⊥平面PAE,于是∠BPF為直線PB與平面PAE所成的角,且BG⊥AE.……7分由PA⊥平面ABCD知,∠PBA即為直線PB與平面ABCD所成的角.由題意∠PBA=∠BPF,因?yàn)閟in∠PBA=,sin∠BPF=,所以PA=BF.……9分由∠DAB=∠ABC=90°知,AD∥BC,又BG∥CD.所以四邊形BCDG是平行四邊形,故GD=BC=3,于是AG=2.在RT△BAG中,AB=4,AG=2,BG⊥AF,所以BG=也所以BF=,于是PA=BF=.…………11分又梯形ABCD的面積為S=×(5+3)×4=16.所以四棱錐P-ABCD的體積為V=×S×PA=×16×=.……12分解法二:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB、AD、AP所在直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)PA=h,則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).……………2分(Ⅰ)=(-4,2,0),=(2,4,0),=(0,0,h).因?yàn)?8+8+0=0,=0.………………4分所以CD⊥AE,CD⊥AP,而AP,AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線,所以CD⊥平面PAE.………………6分(Ⅱ)由題設(shè)和第一問知,分別是平面PAE,平面ABCD的法向量,而PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等,………………7分所以|cos＜＞|=|cos＜＞|,即………………9分由第一問知=(-4,2,0),又,故,解得.…………………11分又梯形ABCD的面積為S=×(5+3)×4=16.所以四棱錐P-ABCD的體積為V=×S×PA=×16×=.……12分〖點(diǎn)評(píng)〗本題是中檔題,利用空間直角坐標(biāo)系通過向量的計(jì)算,考查直線與平面所成角的求法,直線與直線的垂直的證明方法,考查空間想象能力,計(jì)算能力,是?？碱}型.19.【解】(Ⅰ)因?yàn)閷?duì)任意n∈N*三個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列,所以即,………………1分,亦即.故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列,于是.………………4分(Ⅱ)證明:(必要性)若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,對(duì)任意n∈N*,有即.由知,均大于0,于是………5分,…………6分,………7分,所以三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列;………………8分組成公比為的等比數(shù)列,則(充分性):若對(duì)任意n∈N*,三個(gè)數(shù),于是,即,亦即……………………10分由n=1時(shí),,即,從而.因?yàn)?所以,故數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.………………11分綜上所述,數(shù)列,三個(gè)是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是:對(duì)任意組成公比為的等比數(shù)列.………12分20.【解】(Ⅰ)設(shè)完成A,B,C三種部件生產(chǎn)需要的時(shí)間(單位:天)分別為由題設(shè)有,其中均為1到200之間的正整數(shù).…………4分(Ⅱ)完成訂單任務(wù)的時(shí)間為,其定義域?yàn)樗詾闇p函數(shù),為增函數(shù),注意到①當(dāng)k=2時(shí),所以由函數(shù),此時(shí),其中的單調(diào)性及圖象可知,當(dāng),即時(shí),函數(shù)且有最小值.由于,且.,且,所以=44時(shí),完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短,時(shí)間最短為.……………8分②當(dāng)其中,即時(shí),,所以,所以只須求同理可知當(dāng)所以當(dāng)?shù)淖钚≈?其中.,即時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間大于.…………………11分③當(dāng)同理令當(dāng),即時(shí),,此時(shí),且,得時(shí),,當(dāng)時(shí),所以此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間也大于.………………12分綜上所述,當(dāng)時(shí),完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短,此時(shí)三種部件的人數(shù)分別為44,88,68.…………………………13分〖點(diǎn)評(píng)〗本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建,考查函數(shù)的單調(diào)性,分類討論、數(shù)形結(jié)合(多想少算)的數(shù)學(xué)思想,解題的關(guān)鍵是確定分類標(biāo)準(zhǔn),有難度.21.【解】(Ⅰ)解法一:設(shè),由已知得,…………2分由圖可知,點(diǎn)化簡(jiǎn)得曲線的方程為解法二:由題設(shè)知,曲線上任意一點(diǎn)在直線的右側(cè),故,所以.……………5分到圓心的距離等于它到直線的距離.因此,曲線是以故其方程為為焦點(diǎn),直線上運(yùn)動(dòng)時(shí),記為準(zhǔn)線的拋物線..(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)在直線,則過點(diǎn)且與圓相切直線的斜率存在且不為0,每條切線都與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),如右圖所示,設(shè)兩切線的統(tǒng)一方程為,即,于是恒成立),,整理得(又設(shè)過兩切線又聯(lián)立切線設(shè)四點(diǎn)的斜率為與拋物線方程得的縱坐標(biāo)分別為,則……①…8分得,則易知同理可知所以,……………………11分所以,當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí),四點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值6400.……………13分〖點(diǎn)評(píng)〗本題考查軌跡方程,考查直線與圓相切、韋達(dá)定理的運(yùn)用,解題的關(guān)鍵是切線與拋物線聯(lián)立,屬于中檔題.22.【解】(Ⅰ)若而,則對(duì)一切,得,這與題設(shè)矛盾.又,故.……1分,,令.當(dāng)時(shí),,遞減;當(dāng)時(shí),,遞增.故當(dāng)時(shí),取最小值.………3分.……①于是對(duì)一切令恒成立,當(dāng)且僅當(dāng),則.當(dāng)時(shí),時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,遞減.時(shí),①式成立.………………5分故當(dāng)取最大值