§11.2幾何概型最新考綱考情考向分析1.了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬的方法估計概率.2.了解幾何概型的意義.以理解幾何概型的概念、概率公式為主，會求一些簡單的幾何概型的概率，常與平面幾何、線性規(guī)劃、不等式的解集等知識交匯考查.在高考中多以選擇、填空題的形式考查，難度為中檔.1.幾何概型的定義事件A理解為區(qū)域Ω的某一子區(qū)域A，A的概率只與子區(qū)域A的成正比，而與A的和無關(guān)，滿足以上條件的試驗稱為幾何概型.2.幾何概型的概率公式P(A)＝eq\f(μA,μΩ)，其中表示區(qū)域Ω的幾何度量，表示子區(qū)域A的幾何度量.3.隨機模擬方法(1)使用計算機或者其他方式進行的模擬試驗，以便通過這個試驗求出隨機事件的概率的近似值的方法就是模擬方法.(2)用計算器或計算機模擬試驗的方法為隨機模擬方法.這個方法的基本步驟是①用計算器或計算機產(chǎn)生某個范圍內(nèi)的隨機數(shù)，并賦予每個隨機數(shù)一定的意義；②統(tǒng)計代表某意義的隨機數(shù)的個數(shù)M和總的隨機數(shù)個數(shù)N；③計算頻率fn(A)＝eq\f(M,N)作為所求概率的近似值.概念方法微思考1.古典概型與幾何概型有什么區(qū)別？2.幾何概型中線段的端點、圖形的邊框是否包含在內(nèi)影響概率值嗎？題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)在一個正方形區(qū)域內(nèi)任取一點的概率是零.()(2)幾何概型中，每一個基本事件就是從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中的每一點被取到的機會相等.()(3)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形.()(4)隨機模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率.()(5)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān).()(6)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任取一個數(shù)，取到1的概率是P＝eq\f(1,9).()題組二教材改編2.在線段[0,3]上任投一點，則此點坐標小于1的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.13.有四個游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應(yīng)選擇的游戲盤是()4.設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π－2,2)C.eq\f(π,6)D.eq\f(4－π,4)題組三易錯自糾5.在區(qū)間[－2,4]上隨機地取一個數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為eq\f(5,6)，則m＝________.6.在長為12cm的線段AB上任取一點C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于32cm2的概率為________.題型一與長度、角度有關(guān)的幾何概型例1在等腰Rt△ABC中，直角頂點為C.(1)在斜邊AB上任取一點M，求|AM|<|AC|的概率；跟蹤訓(xùn)練1(1)某公司的班車在7：00，8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)(2)如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝eq\r(3)，BC＝1，以A為圓心，1為半徑作四分之一個圓弧，在∠DAB內(nèi)任作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點的概率為________.題型二與面積有關(guān)的幾何概型命題點1與面積有關(guān)的幾何概型的計算例2(1)(2017·全國Ⅰ)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(π,8)C.eq\f(1,2)D.eq\f(π,4)(2)由不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y≥0，,y－x－2≤0))確定的平面區(qū)域記為Ω1，由不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，,x＋y≥－2))確定的平面區(qū)域記為Ω2，若在Ω1中隨機取一點，則該點恰好在Ω2內(nèi)的概率為______.命題點2隨機模擬例3(1)如圖所示，矩形長為6，寬為4，在矩形內(nèi)隨機地撒300顆黃豆，數(shù)得落在橢圓外的黃豆為96顆，以此試驗數(shù)據(jù)為依據(jù)估計橢圓的面積為()A.7.68 B.8.68C.16.32 D.17.32(2)若采用隨機模擬的方法估計某運動員射擊擊中目標的概率.先由計算器給出0到9之間取整數(shù)的隨機數(shù)，指定0,1,2,3表示沒有擊中目標，4,5,6,7,8,9表示擊中目標，以4個隨機數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組如下的隨機數(shù)：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計該運動員射擊4次至少擊中3次的概率為________.跟蹤訓(xùn)練2(1)(2016·全國Ⅱ)從區(qū)間[0,1]內(nèi)隨機抽取2n個數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為()A.eq\f(4n,m)B.eq\f(2n,m)C.eq\f(4m,n)D.eq\f(2m,n)(2)在滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－3≤0，,y≥0))的平面內(nèi)隨機取一點M(x0，y0)，設(shè)事件A＝“y0<2x0”，那么事件A發(fā)生的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)題型三與體積有關(guān)的幾何概型例4如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，在正方體內(nèi)隨機取點M，則使四棱錐M—ABCD的體積小于eq\f(1,6)的概率為________.跟蹤訓(xùn)練3在一個球內(nèi)有一棱長為1的內(nèi)接正方體，一動點在球內(nèi)運動，則此點落在正方體內(nèi)部的概率為()A.eq\f(6,π)B.eq\f(3,2)πC.eq\f(3,π)D.eq\f(2\r(3),3π)1.在區(qū)間[0，π]上隨機地取一個數(shù)x，則事件“sinx≤eq\f(1,2)”發(fā)生的概率為()A.eq\f(3,4)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)2.在區(qū)間[－1,3]上隨機取一個數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為eq\f(1,2)，則實數(shù)m為()A.0B.1C.2D.33.若正方形ABCD的邊長為4，E為四邊上任意一點，則AE的長度大于5的概率等于()A.eq\f(1,32) B.eq\f(7,8)C.eq\f(3,8) D.eq\f(1,8)4.在如圖所示的圓形圖案中有12片樹葉，構(gòu)成樹葉的圓弧均相同且所對的圓心角為eq\f(π,3)，若在圓內(nèi)隨機取一點，則此點取自樹葉(即圖中陰影部分)的概率是()A.2－eq\f(3\r(3),π) B.4－eq\f(6\r(3),π)C.－eq\f(1,3)－eq\f(\r(3),2π) D.eq\f(2,3)5.(2018·大連模擬)已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點，eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，現(xiàn)將一粒黃豆隨機撒在△ABC內(nèi)，則黃豆落在△PBC內(nèi)的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,2)6.2017年8月1日是中國人民解放軍建軍90周年，中國人民銀行為此發(fā)行了以此為主題的金銀紀念幣.如圖所示是一枚8克圓形金質(zhì)紀念幣，直徑22mm，面額100元.為了測算圖中軍旗部分的面積，現(xiàn)用1粒芝麻向硬幣內(nèi)投擲100次，其中恰有30次落在軍旗內(nèi)，據(jù)此可估計軍旗的面積大約是()A.eq\f(363π,10)mm2 B.eq\f(363π,5)mm2C.eq\f(726π,5)mm2 D.eq\f(363π,20)mm27.(2016·山東)在[－1,1]上隨機地取一個數(shù)k，則事件“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為________.8.在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，在直角邊BC上任取一點M，則∠CAM<30°的概率是________.9.如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，有一動點在此長方體內(nèi)隨機運動，則此動點在三棱錐A—A1BD內(nèi)的概率為______.10.在區(qū)間[1,5]和[2,4]上分別各取一個數(shù)，記為m和n，則方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1表示焦點在x軸上的橢圓的概率是________.11.已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y).(1)若x，y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時第一次、第二次出現(xiàn)的點數(shù)，求滿足a·b＝－1的概率；(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值，求滿足a·b<0的概率.12.甲、乙兩船駛向一個不能同時停泊兩艘船的碼頭，它們在一晝夜內(nèi)到達該碼頭的時刻是等可能的.如果甲船停泊時間為1h，乙船停泊時間為2h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率.13.在長為1的線段上任取兩點，則這兩點之間的距離小于eq\f(1,2)的概率為________.14.如圖，在面積為S的矩形ABCD內(nèi)任取一點P，則△PBC的面積小于eq\f(S,4)的概