§2.1

隨機變量及其分布§2.2離散型隨機變量§2.3

分布函數(shù)§2.4連續(xù)型隨機變量§2.5隨機變量函數(shù)的分布第二章隨機變量及其分布§2.1隨機變量及其分布隨機變量,用來表示隨機現(xiàn)象結(jié)果的變量。在隨機現(xiàn)現(xiàn)象中，有很多樣本點本身就是用數(shù)量表示的，由于樣本點出現(xiàn)的隨機性，其數(shù)量呈現(xiàn)為隨機變量。在隨機現(xiàn)象中，還有不少樣本點本身不是數(shù)，這時可根據(jù)研究需要設計隨機變量。檢查一個產(chǎn)品，只考察其合格與否；樣本空間為={合格品，不合格品}檢查三個產(chǎn)品，只考察其合格與否.記X表示為“三個產(chǎn)品中的不合格品數(shù)”，樣本點X

的取值

ω1=(0,0,0)→0ω2=(1,0,0)→1ω3=(0,1,0)→1ω4=(0,0,1)→1ω5=(0,1,1)→2ω6=(1,0,1)→2ω7=(1,1,0)→2ω8=(1,1,1)→3X

取各種值就是如下的互不相容的事件：{X=0}={ω1};{X=1}={ω2,ω3,ω4};{X=2}={ω5,ω6,ω7};{X=3}={ω8};合格品→0;不合格品→12.1.1隨機變量的定義定義2.1.1

設={}為某隨機現(xiàn)象的樣本空間，稱定義在上的實值函數(shù)

X=X()為隨機變量.用來表示隨機現(xiàn)象結(jié)果的變量。注意：隨機變量X()是樣本點的函數(shù).

定義域

隨機性

r.v.

X

的可能取值不止一個,試驗前只能預知它的可能的取值，但不能預知取哪個值，并且以一定的概率取某個值.值域為R=(，)注意點引入r.v.后,可用r.v.的等式或不等式表達隨機事件,例如:

r.v.的函數(shù)一般也是r.v.單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個隨機變量.事件{收到不少于1次呼叫}

{沒有收到呼叫}{X1}{X=0}在同一個樣本空間可以同時定義多個r.v.,

例如={兒童的發(fā)育情況}X()—身高,Y()—體重,Z()—頭圍.各r.v.之間可能有一定的關系,也可能沒有關系——即相互獨立。隨機試驗中的各種事件可以通過隨機變量的關系式表達.引入隨機變量的意義設置隨機變量就在隨機變量的取值x

與隨機現(xiàn)象的基本結(jié)果ω之間建立了對應關系。借助微積分方法將討論進行到底.若隨機變量X可能取值的個數(shù)為有限個或

可列個，則稱X為離散隨機變量.若隨機變量X的可能取值充滿某個區(qū)間

[a,b]，則稱X為連續(xù)隨機變量.兩類隨機變量小結(jié)

2.重點討論離散型隨機變量、連續(xù)型隨機變量.

1.概率論是從數(shù)量上來研究隨機現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性的，因此為了方便有力的研究隨機現(xiàn)象，就需將隨機事件數(shù)量化，把一些非數(shù)量表示的隨機事件用數(shù)字表示時，

就建立起了隨機變量的概念．因此隨機變量是定義在樣本空間上的一種特殊的函數(shù)．

【作業(yè)】P55習題1、2、3、4.(書上)2.2

離散隨機變量2.2.1

離散隨機變量的分布列設離散隨機變量X的可能取值為：x1，x2，……，xn，……

稱pi=P(X=xi)，i=1,2,……為X的分布列(分布律).分布列也可用表格形式表示：X

x1

x2

……xn

……P

p1

p2

……pn

……分布列的基本性質(zhì)(1)(2)(正則性或規(guī)范性)(非負性)注：判別某個數(shù)列是否成為分布列的充要條件.例：檢查下面的數(shù)列是否能組成一個概率分布.注意點

求離散隨機變量的分布列應注意：

(1)確定隨機變量的所有可能取值;

(2)計算每個取值點的概率.

例2.2.1某系統(tǒng)有兩臺機器相互獨立地運轉(zhuǎn).設第一臺與第二臺機器發(fā)生故障的概率分別為0.1,0.2.

以X表示系統(tǒng)中發(fā)生故障的機器數(shù),求X的分布列.解:設Ai表示事件“第i臺機器發(fā)生故障",i=1,2,則§2.2.2

常用離散分布1.二項分布記為X~b(n,p).X為n重伯努里試驗中“成功”的次數(shù),則稱X服從參數(shù)為n,p

的二項分布。特別地：0–1分布凡試驗只有兩個結(jié)果,常用0–1分布描述,如產(chǎn)品是否合格、人口性別統(tǒng)計、系統(tǒng)是否正常、電力消耗是否超標等等.X=xk

10Pkp1-p0<p<

1應用場合或是n=1的二項分布例2.2.2

設X~b(2,p)，Y~b(4,p)，

已知P(X1)=8/9，求P(Y1).解:

由P(X1)=8/9

，知P(X=0)=1/9.

由此得：P(Y1)=1P(Y=0)所以1/9

=P(X=0)=(1p)2，從而解得:p=2/3.=1-(1p)4=80/81.解:因此例2.2.3二項分布的取值情況設.039.156.273.273.179.068.017.0024.00000123456780.273?由圖表可見,當時，分布取得最大值此時的稱為最可能成功次數(shù)xP?0?1?2?3?4?5?6?7?824680.050.10.150.20.25設.01.06.14.21.22.18.11.06.02.01.002<.00101234567891011~20??xP?????1?3?5?7?9????0?2?4?6?8?10?20由圖表可見,當時，分布取得最大值0.22?例2.2.5隨機變量，試分析X的最可能取值，即X取什么值的概率最大.解得當時，概率值最大.當為整數(shù)，必為整數(shù)，最大，為最可能取值.當非整數(shù)，時概率最大.對固定的n、p,P(X=k)的取值呈不對稱分布固定p,隨著

n

的增大，其取值的分布趨于對稱二項分布B(10,p)當p取不同值時隨機變量取值的概率若隨機變量X的概率分布為則稱X服從參數(shù)為的泊松分布,

記為X~P().2.泊松分布歷史上，泊松分布是作為二項分布的近似，于1837年由法國數(shù)學家泊松引入的.合理性背景：大量試驗中，稀有事件(概率較小的事件)出現(xiàn)次數(shù)一般看作服從泊松分布.[注]在某個時段內(nèi)：大賣場的顧客數(shù)；某地區(qū)撥錯號的電話呼喚次數(shù)；市級醫(yī)院急診病人數(shù)；某地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù).①②③④⑤一個容器中的細菌數(shù)；一本書一頁中的印刷錯誤數(shù)；一匹布上的疵點個數(shù)；⑥⑦⑧應用場合放射性物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù)；泊松分布的圖形解:由題意,例2.2.6

設每對夫婦的子女數(shù)X服從參數(shù)為

的泊松分布,且知一對夫婦有不超過1個孩子的概率為3e-2.求任選一對夫婦,至少有3個孩子的概率。 例2.2.7一家商店采用科學管理，由該商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)λ=5的泊松分布來描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應進某種商品多少件？解:設該商品每月的銷售數(shù)為X,已知X服從參數(shù)λ=5的泊松分布.設商店在月底應進某種商品m件,求滿足P(X≤m)>0.95的最小的m.P(X>m)≤0.05也即或查泊松分布表得于是得m+1=10,m=9件記為X~h(n,N,M).

N個產(chǎn)品中有M個不合格品，從中抽取n個，不合格品的個數(shù)為X.

3.超幾何分布從一個有限總體中進行不放回抽樣常會遇到超幾何分布.【注】

超幾何分布、二項分布、泊松分布之間的關系

(1)超幾何分布當N較大n較小,可看作服從二項分布.(2)二項分布當n較大p較小,可看作服從參數(shù)np

的泊松分布.當n<<N時,即抽取個數(shù)n

遠小于產(chǎn)品總數(shù)N時，每次抽取后，總體中的不合格品率p=M/N

改變甚微，所以不放回抽樣可近似地看成放回抽樣，這時超幾何分布可用二項分布近似：泊松定理定理2.4.1(二項分布的泊松近似)在n重伯努里試驗中，記pn

為一次試驗中成功的概率.若npn

，則一般當n>20,p<0.1時，就可以用此定理做近似計算.【注】

超幾何分布、二項分布、泊松分布之間的關系

(1)超幾何分布當N較大n較小,可看作服從二項分布.(2)二項分布當n較大p較小,可看作服從參數(shù)np

的泊松分布.例

一批產(chǎn)品，廢品率為0.1.現(xiàn)從1000個產(chǎn)品中任取3個，計算3個中廢品數(shù)X為1的概率.（1）超幾何分布（2）二項分布（3）泊松定理近似引例

某人打靶直到命中停止，命中率為0.2，試求射擊次數(shù)X的分布律.解4.幾何分布記為X~G(p)

X為獨立重復的伯努里試驗中，

“首次成功”時的試驗次數(shù).

幾何分布具有無記憶性，即：

P(X>m+n|X>m)=P(X>n)4.幾何分布【注】

過去的m次失敗不會對今后失敗的概率產(chǎn)生影響.注意以下一些表達式：

{X=k}={Xk}{X<k}；{a

<

Xb}={Xb}{Xa}；{X>b}={Xb}.隨機變量作業(yè)：70頁7，9,10,13注意以下一些表達式：

{X=k}={Xk}{X<k}；{a

<

Xb}={Xb}{Xa}；{X>b}={Xb}.隨機變量定義

設X為一個隨機變量，對任意實數(shù)

x，

稱F(x)=P(X

x)為

X的分布函數(shù).2.3

隨機變量的分布函數(shù)注

r.v的分布函數(shù)是關于自變量x的普通的函數(shù)，它不再是隨機的！是一事件對于例2.3.1設X

的分布律為求

的分布函數(shù)解：由分布函數(shù)的定義有問特點？離散型隨機變量的分布函數(shù)為單調(diào)、右連續(xù)的階梯函數(shù)分布函數(shù)的基本性質(zhì)：

(1)F(x)

單調(diào)不降；

(2)有界：0F(x)1，F(xiàn)()=0，F(xiàn)(+)=1；

(3)右連續(xù).[注]

該三個性質(zhì)也是判斷一個實函數(shù)是否可以作為隨機變量的分布函數(shù)的充要條件.怎樣利用分布函數(shù)計算概率問？分析：問怎樣計算概率為常數(shù)？分析：由于分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，所以可以應用微積分工具來研究隨機現(xiàn)象幾個重要結(jié)論:(2)(3)請?zhí)羁?/p>

設隨機變量X的分布函數(shù)為試求：(1)參數(shù)A，B；

(2)隨機變量X落在(-1,1)內(nèi)的概率。解:例2.3.1分布函數(shù)分布律離散型隨機變量分布律與分布函數(shù)的關系拋擲均勻硬幣,令求X的分布函數(shù).解例2.3.3例2.3.4已知X的分布列如下：X012P0.10.60.3求X的分布函數(shù),并求P(X≤1.5),P(0.5<X≤1.5).解:注意點

對離散隨機變量的分布函數(shù)應注意：

(1)F(x)是遞增的階梯函數(shù);

(2)其間斷點均為右連續(xù)的;

(3)其間斷點即為X的可能取值點;

(4)其間斷點的跳躍高度是對應的概率值.X012P0.40.40.2解：例2.3.5已知X的分布函數(shù)如下,求X的分布列.2.分布律與分布函數(shù)的關系1.離散型隨機變量的分布函數(shù)小

結(jié)作業(yè)：70頁14(1)，15，16向[0,1]區(qū)間隨機拋一質(zhì)點，以X

表示質(zhì)點坐標.假定質(zhì)點落在

[0,1]區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間長成正比，求

X

的分布函數(shù)當x<0時,F(x)=0;當x>1時,F(x)=1當0≤x≤1時,特別,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1解：F(x)=P{X≤x}練習:2.4

連續(xù)隨機變量2.4.1

連續(xù)隨機變量的密度函數(shù)連續(xù)隨機變量X的可能取值充滿某個區(qū)間(a,b).因為對連續(xù)隨機變量X，有P(X=x)=0，

所以無法仿離散隨機變量用P(X=x)來描述連續(xù)隨機變量X的分布.注意離散隨機變量與連續(xù)隨機變量的差別.定義2.4.1設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x),則稱X為連續(xù)隨機變量(r.v.

）若存在非負可積函數(shù)f(x)，滿足：稱f(x)是它的概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù).(p.d.f.)，簡記為d.f.xf(x)xF(x)分布函數(shù)與密度函數(shù)幾何意義密度函數(shù)的基本性質(zhì)(非負性)(規(guī)范性)常利用這兩個性質(zhì)檢驗一個函數(shù)能否作為連續(xù)性r.v.的d.f.①②③有④在的連續(xù)點處有①②是密度函數(shù)的本質(zhì)特征？,幾何意義如下圖形在x軸上方，下方圖形面積為1③的幾何意義注解：等于曲邊梯形面積解(1)只要定義：即可.(2)不是.(3)當時,與矛盾,不是.

函數(shù)可否是隨機變量X

的概率密度,如果X

的可能值充滿區(qū)間:例注意點(1)

(1)

(2)F(x)是(∞,+∞)上的連續(xù)函數(shù);(3)P(X=x)=F(x)F(x0)=0;注意:對于連續(xù)型r.v.X,P(X=a)=0其中a

是隨機變量

X

的一個可能的取值命題連續(xù)r.v.取任一常數(shù)的概率為零強調(diào)概率為0(1)的事件未必不發(fā)生(發(fā)生)事實上

(4)P{a<X≤b}=P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a≤X≤b}=F(b)F(a).注意點(2)(5)當F(x)在x點可導時,

f(x)=當F(x)在x點不可導時,

可令f(x)=0.連續(xù)型密度函數(shù)

X~p(x)

(不唯一)2.4.P(X=a)=0離散型分布列:pn

=P(X=xn)

(唯一

)2.F(x)=3.

F(a+0)=F(a);P(a<Xb)=F(b)F(a).4.點點計較5.F(x)為階梯函數(shù)。

5.F(x)為連續(xù)函數(shù)。

F(a0)=F(a).F(a0)

F(a).設

r.v.

X的分布函數(shù)：計算例2.4.1解:例2.4.2

已知某型號電子管的使用壽命X為連續(xù)r.v.,其d.f.為(1)求常數(shù)c(3)已知一設備裝有3個這樣的電子管,每個電子管能否正常工作相互獨立,求在使用的最初1500小時只有一個損壞的概率.(2)計算解(1)令c=1000(2)(3)設A

表示一個電子管的壽命小于1500小時設在使用的最初1500小時三個電子管中損壞的個數(shù)為Y解例2.4.3

已知連續(xù)性隨機變量X的分布函數(shù)為求：(1)常數(shù)a,b；(2)(3)X的概率密度.解:(1)由F(x)的連續(xù)性有:0==a+b1==a+be(2)(3)當x<0,x>1時,當0<x<1時,例2.4.4

例2.4.5(拉普拉斯分布)連續(xù)隨機變量X

的概率密度為求:(1)系數(shù)A;(2)隨機變量X落在區(qū)間(0,1)內(nèi)的概率;(3)隨機變量X

的分布函數(shù).解(1)(2)(3)當時,當時,設X與Y同分布，X的密度為已知事件A={X>a}和B={Y>a}獨立，解:

因為P(A)=P(B),P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B)從中解得且P(AB)=3/4,求常數(shù)a.且由A、B獨立，得=2P(A)[P(A)]2=3/4從中解得:P(A)=1/2,由此得0<a<2,因此1/2=P(A)=P(X>a)例2.4.6[注]概率密度在個別點的值不影響分布函數(shù)及事件概率的計算,因此,概率密度在個別點的取值可以任意定義.

設X~p(x)，且p(x)=p(x)，F(xiàn)(x)是X的分布函數(shù)，則對任意實數(shù)a>0，有()

①F(a)=1②F(a)=③F(a)=F(a)④F(a)=2F(a)1課堂練習②

P(|X|<a)=F(a)－F(－a)＝P(|X|>a)=2[1－F(a)]2F(a)－1設F1(x)和F2(x)都是分布函數(shù)，又a和b是兩個正常數(shù)，且a+b=1.

證明：F(x)=a

F1(x)+b

F2(x)也是一個分布函數(shù).§2.4.2

常用連續(xù)分布正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布是位置參數(shù).

是尺度參數(shù).1.正態(tài)分布亦稱高斯(Gauss)分布①②故

確是密度函數(shù)正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)④③,即關于對稱當時當時在處取極大值⑤即曲線以

軸為漸近線

關于對稱中間高，兩頭低樣子像座“山”當參數(shù)發(fā)生變化時,曲線會發(fā)生怎樣的變化?問,圖形向右平移,形狀不變小大大小,圖形向左平移,形狀不變小大,圖形變平坦大小,圖形變尖銳f(x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線.關于對稱的鐘形曲線.特點是“兩頭小，中間大，左右對稱”.正態(tài)分布的性質(zhì)(1)

f(x)關于

是對稱的.p(x)x0μ在點p(x)取得最大值.(2)若固定,改變,(3)若

固定,改變,σ大f(x)左右移動,

形狀保持不變.越大曲線越平坦;越小曲線越陡峭.σ小正態(tài)分布密度函數(shù)圖形演示正態(tài)變量的條件若r.v.

X①受眾多相互獨立的隨機因素影響②每一因素的影響都是微小的③且這些正、負影響可以疊加則稱X為正態(tài)r.v.可用正態(tài)變量描述的實例極多：各種測量的誤差；人體的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸；農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；金屬線抗拉強度；熱噪聲電流強度；學生的考試成績；Ox-8-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

12345678這是什么曲線?高爾頓釘板試驗標準正態(tài)分布N(0,1)密度函數(shù)分布函數(shù)一種重要的正態(tài)分布其概率密度和分布函數(shù)分別為特別當

時,稱為標準正態(tài)分布,記為p(x)x0xx(x)的計算(1)x0時,查標準正態(tài)分布函數(shù)表.(2)x<0時,用若X~N(0,1),則

(1)P(X

a)=(a);(2)P(X>a)=1(a);(3)P(a<X<b)=(b)(a);(4)若a0,則

P(|X|<a)=P(a<X<a)=(a)(a)

=(a)[1

(a)]=2(a)1

例2.4.7

設X~N(0,1),求

P(X>1.96),P(|X|<1.96)=1(1.96)=1(1(1.96))=0.975(查表得)=2(1.96)1=0.95=(1.96)解:

P(X>1.96)P(|X|<1.96)=20.9751設X~N(0,1),P(X

b)=0.9515,

P(X

a)=0.04947,求a,b.解:(b)=0.9515>1/2,

所以b>0,

反查表得:

(1.66)=0.9515,

故b=1.66而(a)=0.0495<1/2,所以

a<0,(a)=0.9505,反查表得:

(1.65)=0.9505,

故

a=1.65例2.4.8一般正態(tài)分布的標準化定理

設X~N(,

2),則Y~N(0,1).推論:

若X~N(,

2),則X分布函數(shù)作變量代換對一般的正態(tài)分布：X~N(,2)

標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布.設X~N(10,4),

求P(10<X<13),P(|X10|<2).解:

P(10<X<13)=(1.5)(0)=0.93320.5P(|X10|<2)=

P(8<X<12)=2(1)1=0.6826=0.4332例2.4.9

設X~N(,2),P(X5)=0.045,

P(X3)=0.618,求及.例2.4.10=1.76=4解:

例2.4.11

（1）假設某地區(qū)成年男性的身高X～N(170,7.692)，求該地區(qū)成年男性的身高超過175cm的概率。（2）公共汽車車門的高度是按成年男性與車門頂頭碰頭機會在0.01以下來設計的，問車門高度應如何確定?解:(1)根據(jù)假設X～N(170,7.692)，則故事件{X>175}的概率為P{X>175}==0.2578解:(2)設車門高度為hcm,按設計要求P(X≥h)≤0.01或P(X<h)≥0.99，（2）公共汽車車門的高度是按成年男性與車門頂頭碰頭機會在0.01以下來設計的，問車門高度應如何確定?因為X～N(170,7.692),查表得(2.33)=0.9901>0.99所以=2.33,即h=170+17.92188設計車門高度為188厘米時，可使男子與車門碰頭機會不超過0.01.P(X<h)0.99下面求滿足的最小的h.X～N(170,7.692)3原理設

X~N(,2),求解一次試驗中,X落入?yún)^(qū)間(-3,+3)的概率為0.9974,而超出此區(qū)間可能性很小由3原理知，當正態(tài)分布的3原則設X~N(,2),則

P(|X|<)=0.6828.

P(|X|<2)=0.9545.

P(|X|<3)=0.9973.

未知參數(shù)

是該運動員的真實成績,由參數(shù)的意義知,可用個評分值的平均數(shù)作為估計值,即

在體育比賽中為了保證裁判評分的公正性，往往去掉一個最低分、去掉一個最高分，取余下分數(shù)的平均值作為運動員最后的得分.然而解

在某體育比賽中,設裁判給運動員的表演打的分數(shù)位裁判給某一運動員的評分分別為試問這些分數(shù)是否公正？依據(jù)原則,這幾乎是不可能的,故認為分數(shù)不公正.數(shù)據(jù)具有“穩(wěn)健性”注例已知X~N(3,22),且P{X>k}=P{X≤k},則k=().3課堂練習(1)

設X~N(,42),Y~N(,52),記

p1=P{X≤

4}，p2=P{Y≥+5},則()①對任意的

，都有p1=p2

②對任意的

，都有p1<p2

③只個別的

，才有

p1=p2

④對任意的

，都有p1>p2①課堂練習(2)

設X~N(,2),則隨的增大，

概率

P{|X

|<}()①單調(diào)增大②

單調(diào)減少③

保持不變④

增減不定③課堂練習(3)定義設連續(xù)型隨機變量X

的一切可能值充滿某一個有限區(qū)并且在該區(qū)間內(nèi)任一點有相同的概率密度，即：則這種分布叫做均勻分布（或等概率分布）。間2.均勻分布若X的d.f.

為則稱X

服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布或稱記為X~U(a,b)

X

服從參數(shù)為a,b的均勻分布，當時，當時，當時，X

的分布函數(shù)為即X落在(a,b)內(nèi)任何長為

d–c的小區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無關,只與其長度成正比.這正是幾何概型的情形.進行大量數(shù)值計算時,若在小數(shù)點后第k

位進行四舍五入,則產(chǎn)生的誤差可以看作服從應用場合的r.v.隨機變量

X~U(2,5).現(xiàn)在對X進行三次獨立觀測，試求至少有2次觀測值大于3的概率.解：記A={X>3},

則P(A)=P(X>3)=2/3設Y表示三次獨立觀測中A出現(xiàn)的次數(shù),則Y~b(3,2/3)，所求概率為

P(Y≥2)=P(Y=2)+P(Y=3)=20/27例2.4.123.指數(shù)分布指數(shù)分布密度函數(shù)圖形演示1xF(x)0xf(x)0指數(shù)分布隨機變量只可能取非負實數(shù)，故指數(shù)分布常被用作各種“壽命”分布的近似，例如：無線電元件的壽命；動物的壽命；電話問題中的通話時間；隨機服務系統(tǒng)中服務時間等都常假定服從指數(shù)分布應用與背景事實上對任意s，t>0,有指數(shù)分布具有類似于幾何分布的“無記憶性”注意點假如把X解釋為壽命，它對已活過的s年沒有記憶。也就是說，如果已知壽命長于s年，則再活t年的概率與年齡s無關，所以又稱“永遠年青”的分布。例2.4.14設某類日光燈管的使用壽命X服從參數(shù)為θ=2000的指數(shù)分布(單位:小時).(1)任取一只,求能正常使用1000小時以上的概率.(2)有一只已經(jīng)正常使用了1000小時以上,求還能使用1000小時以上的概率.

X的分布函數(shù)為解指數(shù)分布的重要性質(zhì):“無記憶性”.分布函數(shù)小結(jié)2.常見連續(xù)型隨機變量的分布均勻分布正態(tài)分布(或高斯分布)指數(shù)分布如果一個變量如果受到大量微小的、獨立的隨機因素的影響,那么這個變量一般是一個正態(tài)隨機變量.3.正態(tài)分布是概率論中最重要的分布另一方面,有些分布(如二項分布、泊松分布)的極限分布是正態(tài)分布.所以,無論在實踐中,還是在理論上,正態(tài)分布是概率論中最重要的一種分布.二項分布向正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換作業(yè)：71頁18(2)，20－－24，26－－31。§2.5隨機變量函數(shù)的分布問題：已知X

的分布，求Y=g(X)的分布。例如：Y1=4X+3；Y2=|X|；Y3=X2.方法

將與Y

有關的事件轉(zhuǎn)化成X

的事件當X為離散隨機變量時,Y=g(X)為離散隨機變量.將g(xi)一一列出,再將相等的值合并即可.2.5.1離散隨機變量函數(shù)的分布例2.5.1設隨機變量X的分布律為－10120.20.30.10.4試求：（1）Y=3X+1的分布律；（2）Y=的分布律。已知

X的d.f.

f(x)或分布函數(shù)求Y=g(X)的d.f.

方法：（1）從分布函數(shù)出發(fā)（2）用公式直接求d.f.2.5.2連續(xù)隨機變量函數(shù)的分布例2.5.2已知X的d.f.為為常數(shù)，且

a0,求fY

(y)解當a>0時，當a<0時，故例2.5.3

設X~N(,2),Y=aX+b,則Y~N(a+b,a22)特別地，若X~N(,2),則正態(tài)變量的線性不變性定理

設X~N(,2)，則當a

0時，

Y=aX+b

~N(a+b,a22).由此得：

若X~N(,2),則Y=(X

)/

N(0,1).注:

正態(tài)變量的線性變換仍為正態(tài)變量.如：

若X~N(10,22),則Y=3X+5

N(,).如：

若X~N(0,22),則Y=－X

N(,).例2.5.4