1第四節(jié)定積分一元函數(shù)積分學(xué)不定積分定積分概念、計(jì)算應(yīng)用二、定積分的定義一、定積分問(wèn)題舉例三、定積分的性質(zhì)2一、定積分問(wèn)題舉例矩形面積梯形面積1.曲邊梯形的面積由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成的圖形稱為曲邊梯形.求曲邊梯形的面積A.3在上連續(xù)變化.曲線誤差分析4說(shuō)明分割越細(xì),誤差越小.誤差越小(用小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積.)51)作分割在區(qū)間[a,b]中任意插入

n–1個(gè)分點(diǎn)用直線將曲邊梯形分成n

個(gè)小曲邊梯形;2)近似代替在第i

個(gè)小曲邊梯形上任取作以為底,以為高的小矩形,并以此小矩形面積近似代替相應(yīng)小曲邊梯形面積得

由以上分析,我們得到計(jì)算曲邊梯形面積的具體步驟：(常代變)(整體分為局部和)63)

求和4)取極限令則有(整體近似)(由近似到精確)72變速直線運(yùn)動(dòng)的距離.勻速直線運(yùn)動(dòng):速度是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù)分析:變速直線運(yùn)動(dòng)：..內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離s如何求?

在時(shí)間間隔8用任意一組分點(diǎn)則第i個(gè)小區(qū)間的1)作分割(大化小)用類似的方法解決如下：將時(shí)間區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間,長(zhǎng)度為:2)近似代替(以不變代變)得第i個(gè)小區(qū)間上物體經(jīng)過(guò)的路程為93)

求和4)取極限上述兩個(gè)問(wèn)題的共性:

解決問(wèn)題的方法步驟相同:“分割，近似代替，求和,取極限.”

所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:特殊乘積和式的極限10二、定積分定義任一種分法任取總趨于確定的值

I,則稱此極限值I為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即記作(P164-165)11積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和引例1.曲邊梯形面積引例2.

變速直線運(yùn)動(dòng)的路程注意：積分變量的變化區(qū)間是積分區(qū)間.12即:當(dāng)和的極限存在時(shí),其極限值I僅與變量的記法無(wú)關(guān),注和積分區(qū)間有關(guān),被積函數(shù)的分法無(wú)關(guān),也與點(diǎn)的取法無(wú)關(guān).如果在上可積，則積分值與區(qū)間(1)(2)而與積分對(duì)定義的幾點(diǎn)說(shuō)明13曲邊梯形面積.曲邊梯形面積的負(fù)值.(3)定積分的幾何意義14定積分的幾何意義各部分面積的代數(shù)和.?15定理1.定理2.且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)1)對(duì)可積函數(shù)變動(dòng)有限個(gè)點(diǎn)的值,可積性不變,積分值不變.2)定理的條件不是必要條件.注(存在定理)可積的充分條件16三、定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在)(k為常數(shù))定積分的

線性性質(zhì)積分區(qū)間可加性當(dāng)a,b,c

的相對(duì)位置任意時(shí),也有上述結(jié)論.

176.

若在[a,b]上則證

推論1.

若在[a,b]上則保號(hào)性

保序性

18推論2.證:由即7.

設(shè)則積分上下界的估計(jì)19解20若

f

在[a,b]連續(xù)，則存在一點(diǎn)使稱為

f

在[a,b]上的平均值．事實(shí)上故它是有限個(gè)數(shù)的平均值概念的推廣.8.

積分中值定理21證設(shè)f

在[a,b]上的最小值與最大值分別為m,M,則于是根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,使因此定理成立.22例3

計(jì)算從0秒到T秒這段時(shí)間內(nèi)自由落體的平均速度.解

已知自由落體速度為故所求平均速度23小結(jié)1．定積分的實(shí)質(zhì)：特殊和式的極限．2．定積分的思想和方法：分割化整為零求和積零為整取極限精確值——定積分以直(不變)代曲(變)取極