第四章非平穩(wěn)序列的確定性分析分析對象：非平穩(wěn)序列分析方法：確定性時序分析和隨機時序分析本章主要介紹：確定性時序分析本章主要內容本章結構時間序列的分解確定性因素分解趨勢分析季節(jié)效應分析綜合分析X－11過程4.1時間序列的分解Wold分解定理Cramer分解定理Wold分解定理（1938）對于任何一個離散平穩(wěn)過程，它都可以分解為兩個不相關的平穩(wěn)序列之和，其中一個為確定性的，另一個為隨機性的，不妨記作其中：為確定性序列，為隨機序列，且它們需要滿足如下條件（1）（2）（3）確定性序列與隨機序列的定義

確定性序列：若，說明序列的發(fā)展具有很強的規(guī)律性或確定性，用歷史數(shù)據可以很好預測未來

隨機序列：若，說明序列的發(fā)展隨機性很強，過去對于現(xiàn)時值的估計，或預測效果很差。對任意序列而言，令關于q期之前的序列值作線性回歸：

其中為回歸殘差序列，。ARMA模型分解確定性平穩(wěn)序列隨機平穩(wěn)序列Cramer分解定理（1961）任何一個時間序列都可以分解為兩部分的疊加：其中一部分是由多項式決定的確定性趨勢成分，另一部分是平穩(wěn)的零均值誤差成分，即隨機性影響確定性影響對兩個分解定理的理解Wold分解定理說明任何平穩(wěn)序列都可以分解為確定性序列和隨機序列之和。它是現(xiàn)代時間序列分析理論的靈魂，是構造ARMA模型擬合平穩(wěn)序列的理論基礎。Cramer分解定理是Wold分解定理的理論推廣，它說明任何一個序列的波動都可以視為同時受到了確定性影響和隨機性影響的綜合作用。平穩(wěn)序列要求這兩方面的影響都是穩(wěn)定的，而非平穩(wěn)序列產生的機理就在于它所受到的這兩方面的影響至少有一方面是不穩(wěn)定的。4.2確定性因素分解在自然界中，由確定性因素導致的非平穩(wěn)，往往顯示出非常明顯的規(guī)律性，如有顯著的趨勢或有固定的變換周期，這種規(guī)律性比較容易提取，而由隨機因素導致的波動則非常難確定和分析。傳統(tǒng)的時序方法通常把分析的重點放在確定性信息的提取上，忽視對隨機信息的提取，將序列簡單地假定為：式中，為零均值白噪聲序列。這種分析方法稱為確定性分析方法。最常用的確定性分析方法是確定性因素分解方法。4.2確定性因素分解因素分解長期趨勢：如遞增、遞減等；循環(huán)波動：呈現(xiàn)出從低到高再由高到低的反復循環(huán)波動；季節(jié)性變化：呈現(xiàn)出和季節(jié)變化相關的穩(wěn)定的周期波動；隨機波動確定性時序分析的目的克服其它因素的影響，單純測度出某一個確定性因素對序列的影響推斷出各種確定性因素彼此之間的相互作用關系及它們對序列的綜合影響4.3趨勢分析目的有些時間序列具有非常顯著的趨勢，我們分析的目的就是要找到序列中的這種趨勢，并利用這種趨勢對序列的發(fā)展作出合理的預測

常用方法趨勢擬合法平滑法趨勢擬合法趨勢擬合法就是把時間作為自變量，相應的序列觀察值作為因變量，建立序列值隨時間變化的回歸模型的方法

分類線性擬合非線性擬合（曲線擬合）線性擬合使用場合長期趨勢呈現(xiàn)出線性特征模型結構例4.1:擬合澳大利亞政府1981——1990年每季度的消費支出序列

線性擬合模型參數(shù)估計方法最小二乘估計參數(shù)估計值線性擬合的SAS過程dataa;inputgov_cons@@;time=intnx('quarter','1jan1981'd,_n_-1);formattimeyear2.;t=_n_;cards;原始數(shù)據;procgplot;plotgov_cons*time=1;symbol1c=blackv=stari=join;procautoreg;/*自回歸過程*/modelgov_cons=t;outputout=outp=forecast;procgplotdata=out;plotgov_cons*time=1forecast*time=2/overlayhaxis='1jan1981'dto'1jan1991'dbyyear;symbol2c=redv=nonei=joinw=2l=3;run;線性擬合模型結果(autoreg過程)擬合效果圖非線性擬合使用場合長期趨勢呈現(xiàn)出非線性特征

參數(shù)估計指導思想能轉換成線性模型的都轉換成線性模型，用線性最小二乘法進行參數(shù)估計實在不能轉換成線性的，就用迭代法進行參數(shù)估計

常用非線性模型模型變換變換后模型參數(shù)估計方法線性最小二乘估計線性最小二乘估計－－迭代法－－迭代法－－迭代法例4.2：對上海證券交易所1991年1月-2001年10月每月末上證指數(shù)序列進行模型擬合

非線性擬合模型變換參數(shù)估計方法線性最小二乘估計擬合模型口徑dataa;inputindex@@;time=intnx('month','1jan1991'd,_n_-1);formattimeyear2.;t=_n_;cards;原始數(shù)據;t2=t**2;procgplot;plotindex*time=1;symbol1c=blackv=nonei=join;procreg;modelindex=tt2;modelindex=t2;outputout=outp=index_cup;procgplotdata=out;plotindex*time=1index_cup*time=2/overlay;symbol2c=redv=nonei=joinw=2l=3;run;非線性擬合模型SAS結果非線性擬合模型SAS結果擬合效果圖平滑法平滑法是進行趨勢分析和預測時常用的一種方法。它是利用修勻技術，削弱短期隨機波動對序列的影響，使序列平滑化，從而顯示出長期趨勢變化的規(guī)律。

平滑法廣泛應用于計量經濟、人口研究等諸多領域；常用平滑方法移動平均法指數(shù)平滑法移動平均法基本思想假定在一個比較短的時間間隔里，序列的取值是比較穩(wěn)定的，它們之間的差異主要是由隨機波動造成的。根據這種假定，我們可以用一定時間間隔內的平均值作為某一期的估計值。分類n期中心移動平均n期移動平均n期中心移動平均5期中心移動平均n期移動平均5期移動平均移動平均期數(shù)確定的原則事件的發(fā)展有無周期性以周期長度作為移動平均的間隔長度，以消除周期效應的影響對趨勢平滑的要求移動平均的期數(shù)越多，擬合趨勢越平滑對趨勢反映近期變化敏感程度的要求

移動平均的期數(shù)越少，擬合趨勢越敏感所以，如果想得到長期趨勢，則用期數(shù)較大的移動平均，如果想密切關注序列的短期趨勢，就用期數(shù)較小的移動平均。移動平均預測在預測領域，n期移動平均還是一種常用的預測方法。假定最后一期的觀察值為，那么使用n期移動平均方法，向前l(fā)期的預測值為：例4.3某一觀察值序列最后4期的觀察值為：5，5.4，5.8，6.2（1）使用4期移動平均法預測。（2）求在二期預測值中前面的系數(shù)等于多少？例4.3解在二期預測值中前面的系數(shù)等于

指數(shù)平滑法指數(shù)平滑方法的基本思想在實際生活中，我們會發(fā)現(xiàn)對大多數(shù)隨機事件而言，一般都是近期的結果對現(xiàn)在的影響會大些，遠期的結果對現(xiàn)在的影響會小些。為了更好地反映這種影響作用，我們將考慮到時間間隔對事件發(fā)展的影響，各期權重隨時間間隔的增大而呈指數(shù)衰減，這就是指數(shù)平滑法的基本思想。

分類簡單指數(shù)平滑Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑簡單指數(shù)平滑基本公式等價公式經驗確定初始值的確定平滑系數(shù)的確定經驗表明的值介于0.05至0.3之間，修勻效果比較好。1、一般對于變化緩慢的序列，常取較小的值；2、對于變化迅速的序列，常取較大的值；簡單指數(shù)平滑預測一期預測值二期預測值期預測值例4.4對某一觀察值序列使用指數(shù)平滑法。已知，，平滑系數(shù)(1)求二期預測值。(2)求在二期預測值中前面的系數(shù)等于多少？例4.4解所以使用簡單指數(shù)平滑法二期預測值中前面的系數(shù)就等于平滑系數(shù)4.3季節(jié)效應分析【例4.6】以北京市1995年——2000年月平均氣溫序列為例，介紹季節(jié)效應分析的基本思想和具體操作步驟。

時序圖季節(jié)指數(shù)季節(jié)指數(shù)的概念所謂季節(jié)指數(shù)就是用簡單平均法計算的周期內各時期季節(jié)性影響的相對數(shù)。

季節(jié)模型季節(jié)指數(shù)的計算步驟Step1：計算周期內各期平均數(shù)Step2：計算總平均數(shù)Step3：計算季節(jié)指數(shù)季節(jié)指數(shù)的理解季節(jié)指數(shù)反映了該季度與總平均值之間的一種比較穩(wěn)定的關系；如果這個比值大于1，就說明該季度的值常常會高于總平均值；如果這個比值小于1，就說明該季度的值常常低于總平均值；如果序列的季節(jié)指數(shù)都近似等于1，那就說明該序列沒有明顯的季節(jié)效應。

例4.6季節(jié)指數(shù)的計算-0.2380.0780.5511.1191.5501.9192.0951.9481.5761.0450.386-0.027例4.6季節(jié)指數(shù)圖綜合分析-既有趨勢起伏變動又有季節(jié)效應的復雜序列常用綜合分析模型1、加法模型適用條件：這種模型適用于既有線性變化趨勢又含有季節(jié)變動，且季節(jié)波動幅度不隨趨勢的增加而變換的時間序列。這類時間序列的波動往往呈現(xiàn)為正弦波或余弦波。建立這種模型至少需要兩年分月（或季）的數(shù)據資料。綜合分析-既有趨勢起伏變動又有季節(jié)效應的復雜序列常用綜合分析模型2、乘法模型適用條件：適用于既有季節(jié)變動又有線性增長趨勢，且季節(jié)波動幅度隨趨勢增加而加大的時間序列；它所需的歷史數(shù)據至少兩年分月（或季）的資料。綜合分析-既有趨勢起伏變動又有季節(jié)效應的復雜序列常用綜合分析模型3、混合模型1）模型a的適用條件：適用于無明顯趨勢變動，主要受季節(jié)變動和不規(guī)則變動影響的時間序列；它所需的歷史數(shù)據一般為3-5年分月（或季）的資料。2）模型b的適用條件：適用于既有季節(jié)變動又有線性增長趨勢，且季節(jié)波動幅度隨趨勢增加而加大的時間序列；它所需的歷史數(shù)據至少兩年分月（或季）的資料。例4.7對1993年——2000年中國社會消費品零售總額序列（數(shù)據見附錄1.11）進行確定性時序分析。(1)繪制時序圖(2)選擇擬合模型長期遞增趨勢和以年為固定周期的季節(jié)波動同時作用于該序列，因而嘗試使用混合模型（b）擬合該序列的發(fā)展(3)計算季節(jié)指數(shù)月份季節(jié)指數(shù)月份季節(jié)指數(shù)10.98270.92920.94380.94030.92091.00140.911101.05450.925111.10060.951121.335季節(jié)指數(shù)圖從季節(jié)指數(shù)圖非常直觀地看出每年的四季度是我國社會消費品銷售旺季，而前三個季度的銷售狀況起伏不大，季節(jié)效應不明顯。季節(jié)調整后的序列圖(4)擬合長期趨勢(5)殘差檢驗殘差圖顯示殘差序列存在一定的相關性。說明擬合的模型并沒有把原序列中蘊含的相關信息充分提取出來，這是確定性分析方法常見的確定。(6)短期預測本例中，盡管確定性因素分解方法對信息的提取不夠充分，但由于確定性因素影響非常強勁，相比而言，殘差序列的影響非常微弱，遺漏殘差序列中蘊含的小部分相關信息，對模型的擬合精度沒有顯著影響，所以該確定性因素分解模型仍然是顯著有效的。(7)例4.7的SAS過程dataa;inputx@@;t=intnx('month','1jan1993'd,_n_-1);formattyear4.;cards;原始數(shù)據;procgplot;plotx*t;symbolc=redi=joinv=star;run;

對原始數(shù)據集a畫時序圖，對應書4-6圖(7)例4.7的SAS過程databb;inputxx@@;t=intnx('month','1jan1993'd,_n_-1);formattyear4.;cards;剔除季節(jié)效應后的數(shù)據;procgplotdata=bb;plotxx*t;symbolc=blacki=nonev=star;run;

對消除季節(jié)效應后的數(shù)據集bb畫圖，對應書4-8圖(7)例4.7的SAS過程Datab;setbb(keep=xx);t=_n_;procreg;modelxx=t;outputout=outp=xxx;procprintdata=out;run;procgplotdata=out;plotxx*t=1xxx*t=2/overlay;symbol2c=redv=nonei=join;run;

線性趨勢擬合后的效果圖，對應書4-9圖對數(shù)據集b進行趨勢擬合(7)例4.7的SAS過程datac;setout;r=xx-xxx;procprint;run;procgplotdata=c;plotr*t;run;

畫殘差序列圖，對應書4-10圖創(chuàng)建殘差數(shù)據集cX-11過程簡介X-11過程是美國國情調查局編制的時間序列季節(jié)調整過程。它的基本原理就是時間序列的確定性因素分解方法。因素分解長期趨勢起伏季節(jié)波動不規(guī)則波動交易日影響模型加法模型乘法模型方法特色普遍采用移動平均的方法用多次短期中心移動平均消除隨機波動用周期移動平均消除趨勢用交易周期移動平均消除交易日影響在整個過程中要使用11次移動平均例4.7續(xù)對1993年——2000年中國社會消費品零售總額序列使用X-11過程進行季節(jié)調整

選擇模型（無交易日影響）X11過程獲得的季節(jié)指數(shù)(因素)X11過程獲得的季節(jié)指數(shù)(因素)月份季節(jié)指數(shù)月份季節(jié)指數(shù)1104.609792.525299.462892.398395.884998.066493.93710100.974594.25711105.197696.03612126.721X11過程獲得的季節(jié)指數(shù)(因素)圖季節(jié)調整后的序列圖趨勢擬合圖

隨機波動序列圖X-11的SAS過程dataa;inputx@@;t=intnx('month','1jan1993'd,_n_-1);formattyear4.;cards;原始數(shù)據;procx11data=a;monthlydate=t;varx;outputout=outb1=xd10=seasond11=adjustedd12=trendd13=irr;procgplotdata=out;plotx*t=1

season*t=2adjusted*t=2trend*t=2irr*t=2/overlay;symbol1c=blacki=joinv=star;symbol2c=redi=joinv=nonew=2;run;X-11的SAS過程語句說明：procx11data=a;

：對數(shù)據集a的數(shù)據進行X-11分析；monthlydate=t;：告訴系統(tǒng)這是月度數(shù)據(如是季度數(shù)據就