高等數(shù)學(xué)

第3章單元函數(shù)積分學(xué)

解顯然(B),(C),(D)中的函數(shù)均不是的原函數(shù),應(yīng)排除.事實(shí)上，將積分兩次得取即知應(yīng)選（A）.或?qū)溥x答案對(duì)求導(dǎo)兩次，看是否等于？

二、積分法1.第一換元法〔湊微分法〕：此法應(yīng)用廣泛，必須熟練掌握！此法靈活性強(qiáng)，只有熟記根本積分公式〔１〕～〔２３〕、一些重要的微分式，加上足夠的練習(xí)，才有可能掌握！

2.第二換元法：著重掌握三角代換：當(dāng)被積式中含有二次根號(hào)下的二項(xiàng)式而不能湊微分時(shí)一般要做三角代換或雙曲代換，〔回代時(shí)可利用輔助直角三角形〕；還有倒代換等.

3.分部積分法：

當(dāng)被積函數(shù)是兩個(gè)不同類(lèi)型函數(shù)的乘積，而不能湊微分時(shí)，一般要用分部積分法，特別是對(duì)數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)的積分只能用分部積分法；分部積分的關(guān)鍵是正確選取公式中的.但不論如何選擇，都不能直接得出結(jié)果，可連續(xù)使用分部積分法，每次堅(jiān)持選擇相同類(lèi)型函數(shù)作為，得到一個(gè)以所求積分為未知量的方程，解之即得，還有一些積分也出現(xiàn)類(lèi)似情況；利用分部積分法還可建立一些遞推公式.4.可積函數(shù)類(lèi)1〉任何有理函數(shù)或本身是一個(gè)真分式，或可化為一個(gè)整式與一個(gè)真分式之和；而任何真分式都可以分解為以下4種局部分式〔也稱(chēng)為最簡(jiǎn)分式〕之和：（1）有理函數(shù)的積分2〉局部分式的積分3〉有理函數(shù)一定能夠“積得出來(lái)〞——有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)，且為多項(xiàng)式、有理函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、反正切函數(shù)，或它們的和.（2）三角函數(shù)有理式的積分——可化為有理函數(shù)進(jìn)行積分1〉三角函數(shù)有理式可表示為2〉用萬(wàn)能置換可化為有理函數(shù)的積分，故三角函數(shù)的有理式都能“積得出來(lái)”.3〉萬(wàn)能置換令，則故注:既是萬(wàn)能置換,自然對(duì)某些積分來(lái)說(shuō)就不一定是最簡(jiǎn)單的，因此，對(duì)于三角函數(shù)有理式的積分，首先考慮的不是萬(wàn)能置換，甚至要盡量防止使用，因?yàn)楫吘馆^麻煩.不過(guò)對(duì)形如

的積分，卻只能作萬(wàn)能置換.②當(dāng)時(shí),可令③當(dāng)時(shí),可令

①當(dāng)時(shí),或?qū)ψ鞔鷵Q

比萬(wàn)能置換簡(jiǎn)單；4〉的其他代換:6.關(guān)于不定積分的幾點(diǎn)說(shuō)明〔1〕原函數(shù)存在，但不是初等函數(shù)〔或至少不是有限形式〕的不定積分，有人稱(chēng)為可積但“積不出來(lái)〞.已經(jīng)證明“積不出來(lái)〞的積分有：〔2〕對(duì)于較難的積分，首先考慮使用湊微分法，其次看可否用三角代換或分局部積法積出來(lái)，最后再依被積函數(shù)所屬類(lèi)型選擇積分方法.〔3〕使用積分表.〔4〕使用數(shù)學(xué)軟件.

1.定積分概念掌握定積分問(wèn)題的引例，定義，可積條件，幾何意義及注意2.定積分性質(zhì)

熟記并會(huì)使用定積分性質(zhì)估計(jì)定積分的值,證明等式、不等式;事項(xiàng)；會(huì)用定積分定義求某種類(lèi)型的極限.[例1]設(shè)在上，若記那么〔〕.3.變上限的定積分及其性質(zhì)正確理解變上〔下〕限定積分所確定的函數(shù)，記住其性質(zhì)，能熟練求這類(lèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；特別是與在性質(zhì)上的比較.[例5]已知有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),記若當(dāng)時(shí),與為同階無(wú)窮小,則().4.定積分的計(jì)算〔1〕根本方法——使用Newton—Leibniz公式：〔2〕換元法:〔3〕分部積分法：〔4〕分段函數(shù)(含帶絕對(duì)值的函數(shù))分區(qū)間積分.5.假設(shè)干重要結(jié)果6.廣義積分與函數(shù)

四、定積分應(yīng)用〔1〕計(jì)算平面圖形的面積(直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系下的公式)：〔2〕求平行截面面積為函數(shù)的立體體積：〔3〕求平面曲線(xiàn)段的弧長(zhǎng):〔4〕求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積〔3〕求平面曲線(xiàn)段的弧長(zhǎng):（5）求變力沿直線(xiàn)所做的功〔6〕求液體的側(cè)壓力；〔7〕求質(zhì)點(diǎn)與物體之間的引力；〔8〕求連續(xù)函數(shù)的平均值：[例3]對(duì)數(shù)螺線(xiàn)（）從到的一段弧長(zhǎng),用定積分表示——————————————.

解

解由條件知，在上可積,故連續(xù).又若是奇函數(shù)，則是偶函數(shù)，所以選（B）.故例3.7設(shè)在內(nèi)連續(xù)，且證明：（1）若為偶函數(shù)，則也是偶函數(shù)；（2）若非增，則非減.

4.積分不等式、等式的證明方法

〔1〕利用定積分的保序性；〔2〕利用定積分中值定理和被積函數(shù)的單調(diào)性、有界性〔3〕利用變上限定積分的單調(diào)性；〔4〕利用Cauchy不等式〔5〕證明等式主要是應(yīng)用中值定理.

關(guān)于Cauchy不等式的證明：

證法1

,有

兩邊積分得

于是一元二次方程的判別式證法2〔作輔助函數(shù)〕只需證明,即只需證明在所以在上單調(diào)減.上單調(diào)減即可.

例4.6設(shè)在上二階可導(dǎo),且