前段時間我們研究了用空間向量求角(包括線線角、線面角和面面角)、求距離(包括線線距離、點面距離、線面距離和面面距離)今天我來研究如何利用空間向量來解決立體幾何中的有關(guān)證明問題。立體幾何中的有關(guān)證明問題，大致可分為“平行”“垂直”兩大類：平行：線面平行、面面平行垂直：線線垂直、線面垂直和面面垂直平行與垂直的問題的證明，除了要熟悉相關(guān)的定理之外，下面幾個性質(zhì)必須掌握。1、已知b⊥α，a不在α內(nèi)，如果a⊥b，則a∥α。2、如果a⊥α，a⊥β，則α∥β。3、如果a∥b，a⊥α，則b⊥α。（課本P22.6）4、如果a⊥α，b⊥β，a⊥b，則α⊥β。一、用空間向量處理“平行”問題一、用空間向量處理“平行”問題↑→↑↑GAEDCBFHMN例1.如圖：ABCD與ABEF是正方形，CB⊥平面ABEF，H、G分別是AC、BF上的點，且AH=GF.求證：HG∥平面CBE.MH∥AB,NG∥ABMH∥NGAH=FGCH=BGCH:CA=BG:BFMH=NGGAEDCBFHPPH∥CB,PG∥BE平面HPG∥平面CBE

HG∥平面CBE

GAEDCBFHozy證明：由已知得：AB、BC、BE兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o-xyz.x設(shè)正方形邊長為1,AH=FG=a,則H(0,1-a,a)、G(1-a,1-a,0),故,而平面CBE的法向量為(0,1,0),故,而平面CBE故HG∥平面CBERDBCAA1QPNMD1C1B1例2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分別是A1B1和BC上的動點，且A1P=BQ，M是AB1的中點，N是PQ的中點.求證：MN∥平面AC.M是中點，N是中點MN∥RQMN∥平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1作PP1⊥AB于P1，作MM1⊥AB于M1，連結(jié)QP1，作NN1⊥QP1于N1，連結(jié)M1N1N1M1P1NN1∥PP1MM1∥AA1又NN1、MM1均等于邊長的一半故MM1N1N是平行四邊形，故MN∥M1N1MN∥平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1zyxo證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o-xyz設(shè)正方形邊長為2，又A1P=BQ=2x則P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0)故N(2-x,1+x,1),而M(2,1,1)所以向量(-x,x,0)，又平面AC的法向量為(0,0,1)，∴∴又M不在平面AC內(nèi)，所以MN∥平面ACDCBAD1C1B1A1例3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：平面A1BD∥平面CB1D1平行四邊形A1BCD1

A1B∥D1C平行四邊形DBB1D1

B1D1∥BD于是平面A1BD∥平面CB1D1DCBAD1C1B1A1ozyx證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o-xyz設(shè)正方形邊長為1，則向量設(shè)平面BDA1的法向量為則有x+z=0x+y=0令x=1,則得方程組的解為x=1y=-1z=-1故平面BDA1的法向量為同理可得平面CB1D1的法向量為則顯然有即得兩平面BDA1和CB1D1的法向量平行所以平面BDA1∥CB1D1

通過本例的練習(xí)，同學(xué)們要進(jìn)一步掌握平面法向量的求法：即用平面內(nèi)的兩個相交向量與假設(shè)的法向量求數(shù)量積等于0，利用解方程組的方法求出平面法向量(在解的過程中可令其中一個未知數(shù)為某個數(shù))?！?、2與例3在利用法向量時有何不同？DCBAD1C1B1A1FGHE例4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中點.求證：平面AEH∥平面BDGFAD∥GF，AD=GF又EH∥B1D1，GF∥B1D1EH∥GF平行四邊形ADGEAE∥DG故得平面AEH∥平面BDGFDCBAD1C1B1A1HGFEozyx略證：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o-xyz則求得平面AEF的法向量為求得平面BDGH的法向量為顯然有故平面AEH∥平面BDGF二、用空間向量處理“垂直”問題二、用空間向量處理“垂直”問題↑DACBBCDAFEXYZ證明:

分別以為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系例6：如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1/3=a，E、F分別是BB1、CC1上的點，且BE=a，CF=2a。求證:面AEF面ACF。AFEC1B1A1CBxzyAFEC1B1A1CBzy不防設(shè)a=2，則A（0，0，0），B（3，1，0），C（0，2，0），E（3，1，2），F(xiàn)（0，2，4），AE=（3，1，2）AF=（0，2，4），因為，x軸面ACF，所以可取面ACF的法向量為m=（1，0，0），設(shè)n=（x,y,z)是面AEF的法向量，則x{nAE=3x+y+2z=0nAF=2y+4z=0{x=0y=-2z令z=1得,n=（0，-2，1）顯然有mn=0，即，mn面AEF面ACF證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，ADCB⑴求證：平面MNC⊥平面PBC；⑵求點A到平面MNC的距離。已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝a，AD＝，M、N分別是AD、PB的中點。PMN練習(xí)1小結(jié)：

利用向量的有關(guān)知識解決一些立體幾何的問題，是近年來很“熱”的話題，其原因是它把有關(guān)的“證明”轉(zhuǎn)化為“程序化的計算”。本課時講的內(nèi)容是立體幾何中的證明“線面平行、垂直”的一些例子，結(jié)合我