三階幻方風(fēng)子編輯第一課基礎(chǔ)部分幻方起源：大約兩千多年前西漢時(shí)代，流傳夏禹治水時(shí)，黃河中躍出一匹神馬，馬背上馱著一幅圖，人稱「河圖」；又洛水河中浮出一只神龜，龜背上有一張象征吉祥的圖案稱為「洛書」.他們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)圖案每一列，每一行及對(duì)角線，加起來的數(shù)字和都是一樣的。中國(guó)不僅擁有幻方的發(fā)明權(quán)，而且是對(duì)幻方進(jìn)行深入研究的國(guó)家。公元13世紀(jì)的數(shù)學(xué)家楊輝已經(jīng)編制出3－10階幻方?；梅降陌l(fā)展：經(jīng)過國(guó)內(nèi)外幻方數(shù)學(xué)家和愛好者的研究，幻方得到了快速的發(fā)展。從最初的三階幻方發(fā)展到現(xiàn)在的高階幻方，由和幻方發(fā)展到乘幻方。對(duì)平面幻方的構(gòu)造，分為三種情況：N為奇數(shù)、N為4的倍數(shù)、N為其它偶數(shù)(4n+2的形式）。清末民初數(shù)學(xué)家壽孝天三階幻方：就是將9個(gè)自然數(shù)填在3×3（三行三列）的正方形內(nèi)，使每一行、每一列以及每一條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)的和都相等。例1：（p.45例1）將1-9這9個(gè)數(shù)填入上圖，使它成為一個(gè)三階幻方。動(dòng)動(dòng)手：

p.45隨堂1幻和與中央數(shù)：一個(gè)幻方的幻和=3×中央數(shù)=總和÷3例1：（p.46例3）動(dòng)動(dòng)手：

p.46隨堂3已知三個(gè)數(shù)填寫幻方例1：（p.47例4）動(dòng)動(dòng)手：

p.47隨堂4ABCDEFGHI對(duì)九宮格每個(gè)格子進(jìn)行編號(hào)為A-I，設(shè)S=A+B+C+D+E+F+G+H+I，即九個(gè)數(shù)的和。定義：幻和=A+B+C=D+E+F=G+H+I=A+D+G=B+E+H=C+F+I=A+E+I=C+E+G，即每條橫、豎、斜線上的三個(gè)數(shù)的和相等，為幻和。3×幻和=（A+B+C）+（D+E+F）+（G+H+I）=S，即幻和是總和的1/3。D+E+F=B+E+H=A+E+I=C+E+G，即4×幻和=A+B+C+D+E+F+G+H+I+3E=3×幻和+3E所以，3E=幻和，即E是幻和的1/3，是總和的1/9S=（A+B+C）+（A+E+I）+（A+D+G）=（A+B+C）+（D+E+F）+（G+H+I）所以，2A=F+H同理可得：2G=B+F，2I=B+D，2C=D+HABCDEF8GH例：在下圖空格上填上互不相等,且不大于15的自然數(shù)，使每行、每例、對(duì)角線上的和為30。71112151058913為方便表述，對(duì)每個(gè)空格編號(hào)為A-H。1、根據(jù)中心數(shù)是幻和的1/3，可得到E=102、根據(jù)幻和為30，可知C=30-10-8=123、根據(jù)A+H=B+G=D+F=20,且每個(gè)數(shù)不大于15，

則最小為5。符合條件的數(shù)對(duì)還

有四對(duì)：｛5,15｝、｛6,14｝、｛7,13｝、｛9,11｝，只有一堆為偶數(shù)。4、選｛6、14｝放入任何格對(duì)中，因?yàn)榕紨?shù)+偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，但剩下的數(shù)都

是奇數(shù)，所以不符合。5、選擇包含最大數(shù)的一對(duì)｛5，15｝，如果15與12在同一行或列，則這行或列的另一個(gè)數(shù)為3，小于5。所以，15不能與12在同一行或列，因此放在D格。

對(duì)應(yīng)的F格則為5。6、剩下的空格就很容易了。61212104814?19132倍角格=不相鄰的兩個(gè)邊格之和？=（13+19）÷2=16三條直線上的數(shù)字的和=幻方所有數(shù)字之和+2個(gè)？-（19+13）幻和=一條直線上的三個(gè)數(shù)字之和所有數(shù)字之和=3×幻和所以：三條直線上的數(shù)字的和=幻方所有數(shù)字之和則：？=（13+19）÷21030103030103010305305530530原先每條邊的和為：30+10+10=50新的填法每條邊的和為：50+15=65總和減少，每邊和增加，則應(yīng)該把大數(shù)移到公共角的位置則有：30+10+30=7070-65=5所以，四個(gè)10各減5，合計(jì)正好減了20.223026223026223026223026302622262230三組｛22，26，30｝，為等差數(shù)列，所以先把中間數(shù)放中間；以中間格為中心，畫四條直線；在一條對(duì)角線上放與中間格相同的數(shù)，另一條對(duì)角線上放兩個(gè)不同的數(shù)；剩下四個(gè)位置只要保證同一行或列上沒有重復(fù)的數(shù)字。3105864729利用角格是不相鄰的兩個(gè)邊數(shù)和的一半，可以得到右下角方格的數(shù)字；其次利用紅線和相等關(guān)系，知道下中間的數(shù)為2；利用藍(lán)線和相等，得到中右格數(shù)為4。利用幻和=3×中間數(shù)3×幻和=所有數(shù)，可知中間那個(gè)數(shù)為6。這樣其他幾個(gè)利用幻和可以得到了。101589111314712本題與上體方法一樣，自己嘗試下501204102551002先在兩條藍(lán)線上確定左下角的數(shù)：1×10÷2=5，在兩條線段上的公共格不用考慮；再找有兩個(gè)確定數(shù)的線段，通過未知角畫出另外的線段，如圖紅線，則可知左中格為：2×10÷5=4，右上格為：2×10÷1=20。利用一條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)的積5×10×20=1000，可以得到其它幾個(gè)數(shù)。2025608064016040320101280三個(gè)數(shù)相乘的幻方的屬性：1、等差數(shù)列或者三組等差數(shù)列：找一個(gè)包含10的等差數(shù)列（如圖）

或者：｛1、2、4｝、｛5、10、20｝、｛25、50、100｝2、角格的平方=不相鄰的邊格之積2100525104201501294375376189按三條紅線排列三組等差或等比數(shù)列，再按紅數(shù)字位置調(diào)整968357241942753861上下對(duì)調(diào)左右對(duì)調(diào)第二課拓展部分平面幻方的構(gòu)造一奇幻方：N為奇數(shù)時(shí)⑴將1放在第一行中間一列；⑵從2開始直到n×n止各數(shù)依次按下列規(guī)則存放：按45°方向行走，如向右上每一個(gè)數(shù)存放的行比前一個(gè)數(shù)的行數(shù)減1，列數(shù)加1⑶如果行列范圍超出矩陣范圍，則回繞。例如1在第1行，則2應(yīng)放在最下一行，列數(shù)同樣加1;⑷如果按上面規(guī)則確定的位置上已有數(shù)，或上一個(gè)數(shù)是第1行第n列時(shí)，則把下一個(gè)數(shù)放在上一個(gè)數(shù)的下面。

雙偶幻方：N為4的倍數(shù)。采用對(duì)稱元素交換法。

1)把數(shù)1到n×n按從上至下，從左到右順序填入矩陣

2)將方陣的所有4×4子方陣中的兩對(duì)角線上位置的數(shù)關(guān)于方陣中心作對(duì)稱交換，即a(i,j）與a(n+1-i,n+1-j）交換，所有其它位置上的數(shù)不變。（或者將對(duì)角線不變，其它位置對(duì)稱交換也可）**以上方法只適合于n=4時(shí)**平面幻方的構(gòu)造二

單偶幻方：N為4m+2的偶數(shù)

1）把大方陣分解為4個(gè)奇數(shù)(2m+1階）子方陣。按上述奇數(shù)階幻方給分解的4個(gè)子方陣對(duì)應(yīng)賦值。由小到大依次為上左子陣（i），下右子（i+v），上右子陣（i+2v)，下左子陣（i+3v），即4個(gè)子方陣對(duì)應(yīng)元素相差v，其中v=n*n/4四個(gè)子矩陣由小到大排列方式為①③④②2）此時(shí)各列和與幻和相同，對(duì)角線、上三行與下三行之和不符合幻和要求。因此，只需在同列間交換數(shù)字。

上述交換使行列及對(duì)角線上元素之和相等。294202722753252321618241926293631111813343230161412332835151017293120272273232523216135241926293641118133453016141233288151017Merzirac法生成奇階幻方：在第一行居中的方格內(nèi)放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有數(shù)字，則向下移一格繼續(xù)填寫。loubere法生成奇階幻方：在居中的方格向上一格內(nèi)放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有數(shù)字，則向上移二格繼續(xù)填寫。17241815235714164613202210121921311182529236192151018114221751321941225816112472033.橫補(bǔ)角，以中間行為基準(zhǔn)，將突出的數(shù)字補(bǔ)回本行所缺的方格內(nèi)，4，5補(bǔ)到1的前，10補(bǔ)到6前，16補(bǔ)到20后，21，22補(bǔ)到25后。從而重新得到一個(gè)n*n方格。錯(cuò)位補(bǔ)角1.對(duì)于所有的奇階幻方，1-n*n從小到大填入n*n的方格中。以n=5時(shí)，1-25為例。2.橫錯(cuò)位，將方格橫向錯(cuò)位，每行錯(cuò)位數(shù)為n-行數(shù)，即第一行橫向移動(dòng)n-1位，第二行橫向移動(dòng)n-2位...直到形成一個(gè)左低右高的樓梯。小結(jié)：錯(cuò)位補(bǔ)角可以先橫后豎，也可以先豎后橫。樓梯可以左低右高，也可以左高右低。