解:由轉(zhuǎn)動方程第六章振動和波6-1用一根金屬絲把一均勻圓盤懸掛起來,懸線OC通過圓盤質(zhì)心,圓盤呈水平狀態(tài),這個裝置稱扭擺,使圓盤轉(zhuǎn)過一個角度時,金屬線受到扭轉(zhuǎn),從而產(chǎn)生一個扭轉(zhuǎn)的回復(fù)力矩.若扭轉(zhuǎn)角度很小,扭轉(zhuǎn)力矩與扭轉(zhuǎn)角度成正比:M=k.求扭擺的振動周期.補(bǔ)充6.1一質(zhì)量為m細(xì)桿狀米尺,將其一端懸掛起來,軸處摩擦不計(jì),求其振動周期.

解:復(fù)擺(物理擺)小角度振動時方程為:mgh1.ba

解:浮力與重力相等處于平衡狀態(tài)有:補(bǔ)充6.2有一立方形的木塊浮于靜水中,靜止時浸入水中的那部分深度為a.若用力稍稍壓下,使其浸入水中深度為b,如圖所示,然后放手,任其作自由振動,求其振動的周期和振幅.6-2一質(zhì)量為1.0x10-3

千克的質(zhì)點(diǎn),作簡諧振動,其振幅為2.0x10-4

米,質(zhì)點(diǎn)在離平衡位置最遠(yuǎn)處的加速度為8.0x103米/秒.(1)試計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的振動頻率;(2)質(zhì)點(diǎn)通過平衡位置的速度;(3)質(zhì)點(diǎn)位移為1.20x10-4

米時的速度;(4)寫出作用在這質(zhì)點(diǎn)上的力作為位置的函數(shù)合作為時間的函數(shù).2.解:過平衡點(diǎn)時:3.km解:(1)振動頻率(2)振幅(3)初相位(v0>0取正號,v0<0取負(fù)號)(4)振動表達(dá)式.X=0.02cos(10t-0.46)(m)6-3如圖所示,一重力作用下的彈簧振子,振子靜止時彈簧伸長l=10厘米;將振子向下拉一段距離d=2.0厘米,并在位移方向給它一個向下的初始速度v0=10厘米/秒,任其運(yùn)動,不計(jì)空氣阻力,試求:(1)振動頻率;(2)振幅A;(3)初相位;(4)振動表達(dá)式.(g=10米/秒2)4.m2m1k解:無外力整個過程質(zhì)心不動,t時刻m1和m2位置分別為x1,x2故有:最大位移:補(bǔ)充6.3不計(jì)質(zhì)量,自然長度為l的彈簧,兩端分別系上質(zhì)量為m1和m2的質(zhì)點(diǎn),放在光滑的水平桌面上,開始時兩手持m1和m2把彈簧拉長至l’,停止不動,然后兩手同時放開,試問這系統(tǒng)如何運(yùn)動？此系統(tǒng)作振幅為A,圓頻率為的簡振動.5.

解:樹技與烏組成一個諧振子6-4一只鳥落在樹枝上每4秒擺動6次,鳥飛走后,用一千克砝碼系在鳥呆過地方樹枝彎下12厘米,問這只鳥的質(zhì)量是多少？解:碰撞時動量守恒,碰后機(jī)械能守恒可列方程:6-5如圖所示,有一彈簧振子,彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k,振子的質(zhì)量為m’開始時處于靜止平衡狀態(tài),有一發(fā)質(zhì)量為m的子彈以速度v0沿彈簧方向飛來,擊中振子并卡在其中,試以擊中為時間零點(diǎn),寫出此系統(tǒng)的振動表達(dá)式.6.0xmv0km’解：設(shè)平衡點(diǎn)為彈簧原長時，又彈簧質(zhì)量不計(jì)，對圓柱體在運(yùn)動中受力有：補(bǔ)充6.4圖所示振動系統(tǒng)，振子是一個作純滾動的圓柱體，以知圓柱體的質(zhì)量為m,半徑為R，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k，并且彈簧是系于圓柱體的中心旋轉(zhuǎn)對稱軸上.試求這一振動系統(tǒng)的頻率。mk7.6-6如圖彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k,定滑輪的質(zhì)量為m’,半徑為R,轉(zhuǎn)動慣量為k，物體的質(zhì)量為m。軸處摩擦不計(jì)，彈簧和繩的質(zhì)量也不計(jì),繩與滑輪間無相對滑動,(1)試求這一振動系統(tǒng)的振動頻率,(2)如果在彈簧處于原長時由靜止釋放物體m,m向下具有最大速度時開始計(jì)時,并令m向下運(yùn)動為x的正坐標(biāo),試寫出m振動表達(dá)式。解：(1)設(shè)彈簧原長l0平衡時伸長x0kx0=mg以x0伸長時m所在點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，運(yùn)動中，有:8.對于m，有又聯(lián)立可得：IxTx0l0mg(2)以彈簧原長時釋放m,又：∴振動表達(dá)式為9.

解:補(bǔ)充6.5在LC電路中,電容極板上的電量若為q,此時電容器儲有電能q2/2c,通過電感電流為i,此時電感儲有磁能Li2/2,i=dq/dt,且q2/2c+Li2/2=常量,試求LC電路的固有振蕩頻率.解:(1)保守力平衡點(diǎn)f=0補(bǔ)充6.6假定有兩個質(zhì)量均為m離子,它們之間的勢能為:求:(1)用a和b表示平衡位置;(2)證明其振動圓頻率10.(2)作微振動f可寫成將f作一級近似:6-7質(zhì)量1.0x10-2

千克的小球與輕質(zhì)彈簧組成的振動系統(tǒng)按的規(guī)律振動，式中各量均為SI單位。求(1)振動的圓頻率、周期、振幅和初始相位；(2)振動的速度和加速度(函數(shù)式)；(3)振動的總能量E(4)振動的平均動能和平均勢能；(5)

t=1.0秒、10秒等時刻的相位。11.解：與振動表達(dá)式比較便直接可得:12.解:(1)(2)(3)6-8在阻尼振動中,量=1/叫做弛豫時間(1)證明的量綱是時間;(2)經(jīng)過時間后,這振子的振幅變?yōu)槎嗌?？能量最大值變?yōu)槎嗌伲?/p>

(3)把振幅減到初值的一半所需的時間(用表示);(4)當(dāng)經(jīng)過的時間為(3)的2倍,3倍···時,求振幅的值.13.解:固有振動周期等于強(qiáng)迫力周期時發(fā)生共振此時火車恰好走一節(jié)鐵軌6-9火車在鐵軌上行駛，每經(jīng)過鐵軌接軌處即受一次震動，使裝在彈簧上面的車廂上下振動。設(shè)每段鐵軌長12.5米，彈簧平均負(fù)重5.5噸，而彈簧每受1.0噸力將壓縮16毫米。試問，火車速度多大時，振動特別強(qiáng)？6-10已知兩個同方向的諧振動為(1)求它們合振動的振幅和初始相位;(2)另有一個同方向的簡諧振動問為何值時,

x1+x2

的振幅為最大?

為何值時x2+x3

的振幅為最小?(各量皆用SI單位.)14.解:(1)(2)A最大時A最小時6-11一質(zhì)點(diǎn)同時受兩個同頻率和同方向簡諧振動的作用，它們的運(yùn)動方程分別為x1=1.0×10-2cos(2t+π/4)和

x2=0.6×10-2cos(2t+2π/3),試寫出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程。解：仍是諧振動15.解：以知T=0.5s，得拍頻或若在待測音叉上滴上一滴石蠟，其頻率變低，如果再測，拍頻變低成立6-12一待測頻率的音叉與一頻率為440赫茲的標(biāo)準(zhǔn)音叉并排放置,并同時振動.聲音響度有周期性起伏，每隔0.5秒聽到一次最大響度的音（即拍聲),問拍頻是多少？音叉的頻率可能是多少？為了進(jìn)一步唯一確定其值，可以在待測測音叉上滴上一點(diǎn)石蠟，重做上述實(shí)驗(yàn),若此時拍頻變低,則說明待測音叉的頻率是多少？16.解：（1）波源,初相為0,是恰好在正的最大位移處開始計(jì)時，若x與同向，波函數(shù)為：(2)如右圖y又∵∴補(bǔ)充6.7（1）波源的振動頻率表達(dá)式為y=Acost，我們的計(jì)時零點(diǎn)是怎樣選擇的？如果以波源所在處為坐標(biāo)原點(diǎn)，波沿x正方向傳播，那么對應(yīng)的波函數(shù)應(yīng)該怎樣寫？（設(shè)波速為v）。（2）如果選取波源為y方向振動，且位移為A/2的時刻為計(jì)時零點(diǎn)，波源處為坐標(biāo)原點(diǎn)，波速仍為v，波函數(shù)該怎樣寫？（3）如果在上題中把波源的位置定為x0點(diǎn)，波函數(shù)又該怎樣寫？17.（3）若波源在x0點(diǎn)，若與x同向，任意x的振動要比x0點(diǎn)落后x點(diǎn)t時刻的振動是x0點(diǎn)在時刻的振動其中6-13一沿很長弦線行進(jìn)的橫波波函數(shù)為

y=6.0x10-2sin(0.02x+4.0t)(m)式中各量均為國際單位。試求振幅、波長、頻率、波速、波的傳播方向和弦線上質(zhì)元的最大橫向振動速率。解：18.x點(diǎn)比原點(diǎn)位相超前與x反向又6-14如圖曲線(a)和(b)分別表示t=0和t=2.0秒的某一平面間諧波的波形圖。寫出此平面簡諧波的表達(dá)式解：從曲線(a)可以看出A=2,=2,用余弦函數(shù)表示時v2-212345(a)(b)0x(a)(b)y從曲線(a)(b)t=2s19.∴波函數(shù)為補(bǔ)充6.8設(shè)在某一時刻,一個向右傳播的平面簡諧橫波曲線如圖所示，試分別說明圖中A、B、C、D等各點(diǎn)在該時刻的振動方向，并作出T/4前和T/4后的波形圖解：CABDEFGHIxyvyABDEFGHIxCxy20.解：A點(diǎn)，t=0時，y=-A振動表達(dá)式B點(diǎn),t=0時,y0=0,并且v0〈0見圖)C點(diǎn)D點(diǎn)t0yA點(diǎn)t0yB點(diǎn)V<0yABCDxV<0V<0V>0A’A’/2A’補(bǔ)充6.9已知一列波速為V，沿X正向傳播的波在t=0時的波形曲線如圖,畫出圖中A，B，C，D各點(diǎn)在第一周期內(nèi)的振動曲線。21.6-15在直徑為14厘米的直管中傳播的平面簡諧波,其平均能流密度為9.0x10-3瓦/米,頻率=300赫茲,波速V=300米/秒.求(1)最大能量密度和平均能量度;(2)相鄰兩同相位波面間(即相位差位2

的兩波面間)的總能量.解：yt0C點(diǎn)t0yD點(diǎn)22.時,對應(yīng)與壓力變化的波函數(shù)為P是相對與未擾動時的壓力p0的壓強(qiáng)變化值,0是介質(zhì)的體密度。（1）人耳能夠忍受的強(qiáng)聲波中的最大壓強(qiáng)變化pm約為28牛頓/米2（正常的大氣壓強(qiáng)約為1.0105牛頓/米2),若這一強(qiáng)聲波的頻率為1000赫茲,試求這聲波所對應(yīng)的最大位移。（2）在頻率為1000赫茲的聲波中，可以聽得出最微弱的聲音的壓強(qiáng)振幅約為2.010-5牛頓/米2，試求相應(yīng)的位移振幅，設(shè)0=1.29千克/米2，v=321米/秒。補(bǔ)充6-10聲波是流體或固體中的壓縮波,在討論聲波中的壓強(qiáng)(即力)變化要比討論聲波中質(zhì)元的位移更方便些,可以證明,當(dāng)聲波的位移波函數(shù)為23.解：6-16無線電波以3.0×108米/秒的速度傳播，有一無線電波的波源功率為50千瓦，假設(shè)該波源在各向同性介質(zhì)中發(fā)射球面波，求離波源200公里遠(yuǎn)處無線電波的能量密度。

解:(1)最大位移:(2)最小位移24.解：(1)∵是兩同頻率的波∴（2）如果振動方向也相同，得到兩相干波（3）如果振動方向垂直又同相，合成后仍是諧振動，補(bǔ)充6.11如圖所示，設(shè)B點(diǎn)發(fā)出的平面橫波在B點(diǎn)的振動表達(dá)式為=2x10-3cos2t

沿方向傳播；C點(diǎn)發(fā)出的平面橫波在C點(diǎn)的振動表達(dá)式為=2x10-3cos(2t+)

沿方向傳播，兩式中各量均為SI單位,設(shè)=0.40米，=0.50米波速為0.2米/秒，求（1）兩列波傳到P處時的相位差；（2）如果這兩列波的振動方向相同，求P點(diǎn)的合成振幅；(3）如果這兩列波的振動方向垂直，則合成振動的振幅如何？pBC25.SD

解法一:極大為波腹,極小為波節(jié),相鄰波腹波節(jié)問距:解法二:D處干涉極大,極小取決干波程差,相鄰板大極小僅差半個波長,,故有:6.17如圖表示一個聲學(xué)干涉儀，它是用來演示聲波的干涉，S是電磁鐵作用下的振動膜片，D是聲波探測器，例如耳朵或者傳聲器，路程SBD的長度可以改變，但路程SAD卻是固定的，干涉儀內(nèi)充有空氣，實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)B在某一位置時，聲強(qiáng)有最小值（100單位），而從這個位置向后拉1.65厘米到第二個位置時聲強(qiáng)就漸漸上升到最大值（900單位）。試求（1）由聲源發(fā)出的聲波的頻率以及（2）當(dāng)B在上述兩個位置時到達(dá)探測器的兩個波的相對振幅和（3）到達(dá)D處時二路聲波的分振幅之比，聲速340米/秒。26.解：6-18在同一媒質(zhì)中的兩個相干波源位于AB兩點(diǎn)，其振動方向相同，振幅皆為5厘米，頻率皆為100赫茲，但A點(diǎn)為波峰時，B點(diǎn)適為波谷，且在此媒質(zhì)中波速為10米/秒。設(shè)AB相距20米，經(jīng)過A點(diǎn)作一條垂線，在此垂線上取一點(diǎn)P，AP=15米，(1)試分別寫出P點(diǎn)處兩波在該點(diǎn)的振動表達(dá)式(2)求兩波在P點(diǎn)的相位差.(3)寫出干涉后的振動表達(dá)式(波動中振幅不變)APB27.o波節(jié)波節(jié)123x解：(2)若為理想駐波駐波端點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)，x=0，表達(dá)式為設(shè)入射波波函數(shù)為則反射波波函數(shù)為6-19

在一個兩端固定的3.0米長的弦上有3個波腹的“駐波”,其振幅為1.0厘米，弦上波速為100米/秒.(1)試計(jì)算頻率；(2)若視為入、反射波