在第一章與第二章中,我們已經(jīng)證明了實(shí)數(shù)集中的確界定理、單調(diào)有界定理并給出了柯西收斂準(zhǔn)則.這三個(gè)定理反映了實(shí)數(shù)的一種特性,這種特性稱之為完備性.而有理數(shù)集是不具備這種性質(zhì)的.在本章中,將著重介紹與上述三個(gè)定理的等價(jià)性定理及其應(yīng)用.這些定理是數(shù)學(xué)分析理論的基石.§7.1

關(guān)于實(shí)數(shù)集完備性的基本定理返回精選課件一、區(qū)間套定理與柯西收斂定理二、聚點(diǎn)定理與有限覆蓋定理三、實(shí)數(shù)完備性基本定理的等價(jià)性精選課件定義1定義1中的條件1實(shí)際上等價(jià)于條件一、區(qū)間套定理與柯西收斂定理精選課件定理7.1(區(qū)間套定理)或者證

由定義1的條件1可知,數(shù)列{an}遞增,有上界b1.所以由單調(diào)有界定理,可知{an}的極限存在.精選課件從而由定義1的條件2可得因?yàn)閧an}遞增,{bn}遞減,所以下面來(lái)證明唯一性.設(shè)1也滿足設(shè)這樣就證明了的存在性.返回精選課件證由區(qū)間套定理的證明可得:由極限的保號(hào)性,對(duì)于任意正數(shù),存在N,則任給>0,存在N,當(dāng)nN時(shí),推論設(shè){[an,bn]}是一個(gè)區(qū)間套,精選課件注1該推論有著很強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值,請(qǐng)大家務(wù)必牢記.注2

區(qū)間套定理中的閉區(qū)間若改為開區(qū)間,那么結(jié)論不一定成立.例如對(duì)于開區(qū)間列,顯然即精選課件但是定理1中的是不存在的,這是因?yàn)樽C明過(guò)程,哪一步通不過(guò)?的精選課件例1、利用區(qū)間套定理證明柯西收斂準(zhǔn)則。即證明數(shù)列{an}收斂的充要條件是:對(duì)任意的證

(必要性)存在

N,

>0,精選課件精選課件精選課件精選課件由定理1的推論，精選課件定義2設(shè)S為數(shù)軸上的非空點(diǎn)集,為直線上的一個(gè)定點(diǎn)(當(dāng)然可以屬于S,也可以不屬于S).若對(duì)于任意正數(shù)

,在(,+)中含有S的無(wú)限個(gè)點(diǎn),二、聚點(diǎn)定理與有限覆蓋定理則稱是S的一個(gè)聚點(diǎn).即精選課件為了便于應(yīng)用,下面介紹兩個(gè)與定義2等價(jià)的定義.定義2定義2″若存在各項(xiàng)互異的收斂數(shù)列下面簡(jiǎn)單敘述一下這三個(gè)定義的等價(jià)性.若設(shè)S是[0,1]中的無(wú)理數(shù)全體,則S的聚點(diǎn)集合S(稱為

S的導(dǎo)集)為閉區(qū)間[0,1].精選課件定義2定義2由定義直接得到.定義2定義2因?yàn)槟敲淳x課件互異,并且定義2定義2由極限的定義可知這是顯然的.定理7.2(聚點(diǎn)定理)實(shí)數(shù)軸上的任意有界無(wú)限點(diǎn)集必有聚點(diǎn).精選課件我們?cè)俅问褂脜^(qū)間套定理來(lái)證明聚點(diǎn)定理,請(qǐng)務(wù)必證因?yàn)镾為有界點(diǎn)集,所以存在正數(shù)M,使現(xiàn)將[a1,b1]等分為兩個(gè)子區(qū)間[a1,c1],[c1,b1],中至少有一個(gè)區(qū)間含有S的無(wú)限多個(gè)點(diǎn).記該區(qū)間為[a2,b2].要注意在區(qū)間套的構(gòu)成中所建立的性質(zhì)(iii).精選課件再將[a2,b2]等分為兩個(gè)子區(qū)間.同樣至少有一個(gè)子區(qū)間含有S的無(wú)限多個(gè)點(diǎn),將這個(gè)區(qū)間記為[a3,b3].精選課件(iii)每個(gè)閉區(qū)間[an,bn]均含S的無(wú)限多個(gè)點(diǎn).無(wú)限重復(fù)這個(gè)過(guò)程,就可得到一列閉區(qū)間精選課件所以由所建立的性質(zhì)(iii)這就證明了是S的一個(gè)聚點(diǎn).定理7.2有一個(gè)非常重要的推論(致密性定理).該定理在整個(gè)數(shù)學(xué)分析中,顯得十分活躍.精選課件證設(shè){xn}為有界數(shù)列,若{xn}中有無(wú)限項(xiàng)相等,取這些相等的項(xiàng)可成一個(gè)子列.該子列顯然是收斂若數(shù)列{xn}不含有無(wú)限多個(gè)相等的項(xiàng),則{xn}作為點(diǎn)集是有界的.由聚點(diǎn)原理,可設(shè)是{xn}的一個(gè)推論(致密性定理)有界數(shù)列必有收斂子列.的.收斂于

.聚點(diǎn),那么再由定義2,可知{xn}中有一個(gè)子列精選課件證又因由極限的不等式性質(zhì),可得例1作為致密性定理的應(yīng)用,我們來(lái)看下面兩個(gè)例題.精選課件例2用致密性定理證明柯西收斂準(zhǔn)則.證精選課件.下面證明{an}以A為極限.因?yàn)閧an}是柯西列,所以對(duì)于任意正數(shù)精選課件定義3

設(shè)

S為數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)集,H為一些開區(qū)間則稱H是S的一個(gè)開覆蓋.若H是S的一個(gè)開覆蓋,并且H中的元素(開區(qū)間)僅有有限個(gè),則稱H是S的一個(gè)有限開覆蓋.一個(gè)開覆蓋.精選課件定理7.3(海涅－博雷爾有限覆蓋定理)設(shè)H是閉區(qū)間[a,b]的一個(gè)開覆蓋,則從H中可選證證明該定理有多種海涅(Heine,H.E.1821-1881,德國(guó))博雷爾(Borel,E.1871-1956,法國(guó))

出有限個(gè)開區(qū)間,構(gòu)成閉區(qū)間[a,b]的一個(gè)子覆蓋.要注意區(qū)間套的取法.間套定理來(lái)證明,仍然方法.這里還是運(yùn)用區(qū)精選課件若定理不成立,也就是說(shuō)[a,b]不能被

H中任何再將[a1,b1]等分成兩個(gè)子區(qū)間,其中至少有一個(gè)有限個(gè)開區(qū)間所覆蓋.將區(qū)間[a,b]等分成兩個(gè)子區(qū)間,那么這兩個(gè)子區(qū)間中至少有一個(gè)不能被H中任意有限個(gè)開區(qū)間所覆蓋,設(shè)該區(qū)間為[a1,b1].不能被H中有限個(gè)開區(qū)間所覆蓋.設(shè)該區(qū)間為顯然有精選課件(iii)對(duì)每一個(gè)閉區(qū)間[an,bn],都不能被H中有限個(gè)滿足下列三個(gè)性質(zhì):[a2

,b2].同樣有將上述過(guò)程無(wú)限進(jìn)行下去,可得一列閉區(qū)間精選課件這就是說(shuō),[aN

,bN]被H中的一個(gè)開區(qū)間所覆蓋,開區(qū)間所覆蓋.矛盾.精選課件區(qū)間(0,1).很明顯,H中的任何有限個(gè)開區(qū)間均不注定理7.3中的閉區(qū)間不可以改為開區(qū)間.能覆蓋(0,1).精選課件我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了關(guān)于實(shí)數(shù)完備性的六個(gè)定理,它三、實(shí)數(shù)完備性定理的等價(jià)性確界定理單調(diào)有界定理區(qū)間套定理下面證明這六個(gè)定理是等價(jià)的.們是:聚點(diǎn)定理有限覆蓋定理柯西收斂準(zhǔn)則精選課件

柯西收斂準(zhǔn)則

區(qū)間套定理

聚點(diǎn)定理

確界定理

有限覆蓋定理

單調(diào)有界定理

654321精選課件例3用有限覆蓋定理證明聚點(diǎn)定理.證設(shè)S是無(wú)限有界點(diǎn)集,則存在M>0,使得在上圖的等價(jià)性關(guān)系中,僅和尚未證明.這里46給出的證明,請(qǐng)大家自己閱讀教材.46精選課件很明顯,H覆蓋了閉區(qū)間[–M,M].根據(jù)有限覆蓋設(shè)開區(qū)間集由H的構(gòu)造,所以矛盾.定理,存在

H中的有限子覆蓋精選課件§7.2

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)實(shí)數(shù)完備性理論的一個(gè)重要作用就是證一、最大、最小值定理經(jīng)在第四章給出過(guò).明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，這些性質(zhì)曾

三、一致連續(xù)性定理二、介值性定理返回精選課件首先來(lái)看一個(gè)常用的定理.有界性定理若f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f(x)證用兩種方法給出證明.第一種方法使用有限覆蓋定理.因?yàn)閒(x)在[a,b]一、最大、最小值定理局部有界的性質(zhì)化為整體有界性質(zhì).上每一點(diǎn)連續(xù),從而局部有界.我們的任務(wù)就是將精選課件

H覆蓋了閉區(qū)間[a,b].由有限覆蓋定理,在H中存顯然在有限個(gè)開區(qū)間精選課件第二種證法采用致密性定理.因?yàn)閧xn}有界,從而存在一個(gè)收斂的子列.為了書寫方便,不妨假設(shè){xn}自身收斂,令設(shè)f(x)在[a,b]上無(wú)界,不妨設(shè)f(x)無(wú)上界.則存在精選課件故由歸結(jié)原理可得矛盾.最大、最小值定理(定理4.6)

若函數(shù)f(x)在[a,b]證

f(x)在[a,b]上連續(xù),因而有界.由確界定理,f(x)在[a,b]上的值域有上確界.設(shè)上連續(xù),則f(x)在[a,b]上取最大、最小值.精選課件在[a,b]上連續(xù),從而有界,故存在G>0,使這樣就有精選課件這與M是f(x)在[a,b]上的上確界矛盾.這就證明了上確界M與下確界m都是可取到的,同理可證:下確界也屬于f([a,b]).最小值.這也就是說(shuō),M與m是f(x)在[a,b]上的最大、精選課件(定理4.7)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且證在第四章中,我們已經(jīng)用確界定理證明此定理.現(xiàn)在用區(qū)間套定理來(lái)證明.二、介值性定理f(a)f(b).精選課件將[a,b]等分成兩個(gè)區(qū)間[a,c],[c,b],若F(c)=0,下去,得到一列閉子區(qū)間個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)上的值異號(hào).將這個(gè)過(guò)程無(wú)限進(jìn)行F(c1)=0,已證.不然同樣可知函數(shù)F(x)在其中一將[a1

,b1]等分成兩個(gè)區(qū)間[a1,c1],[c1,b1],若間端點(diǎn)上的值異號(hào),將這個(gè)區(qū)間記為[a1,b1].再已證.不然,函數(shù)F(x)在這兩個(gè)區(qū)間中有一個(gè)區(qū)精選課件由區(qū)間套定理,存在惟一的{[an,bn]},滿足:精選課件(定理4.9)若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),則f(x)在證(證法一)首先用致密性定理來(lái)證明該定理.在設(shè)f(x)在[a,b]上不一致連續(xù),即存在三、一致連續(xù)性定理[a,b]上一致連續(xù).究.下述證明過(guò)程中,選子列的方法值得大家仔細(xì)探精選課件現(xiàn)分別取……精選課件因?yàn)閧x'n}有界,從而由致密性定理,存在{x'n}的精選課件因?yàn)樗杂蓸O限的不等式性質(zhì)連續(xù),所以由歸結(jié)原理得到矛盾.(證法二)再用有限覆蓋定理來(lái)證明.以及f精選課件考慮開區(qū)間集那么H是[a,b]的一個(gè)開覆蓋.由有限覆蓋定理,因f(x)在[a,b]上連續(xù),對(duì)任意一點(diǎn)存在有限個(gè)開區(qū)間精選課件對(duì)于任何那么必屬于上述n個(gè)小區(qū)間中的一個(gè),也覆蓋了[a,b].精選課件所以由小區(qū)間的定義得知這就證明了在[a,b]上的一致連續(xù)性.精選課件*§7.3上極限和下極限數(shù)列的上極限與下極限是非常有用的概念,通過(guò)一、上(下)極限的基本概念程來(lái)說(shuō),上(下)極限也是不可缺少的工具.極限或下極限來(lái)解決問(wèn)題.此外,對(duì)于不少后繼課考慮的某些數(shù)列不存在極限的情形,那時(shí)需要用上冊(cè)第十二、十四章討論級(jí)數(shù)收斂性時(shí),常會(huì)遇到所它們可得出數(shù)列極限存在的另一個(gè)充要條件.

在下二、上(下)極限的基本性質(zhì)返回精選課件一、上(下)極限的基本概念注點(diǎn)集的聚點(diǎn)與數(shù)列的聚點(diǎn)之間的區(qū)別在于:定義1若數(shù)列滿足:在數(shù)的任何一個(gè)鄰域內(nèi)均含有

中的無(wú)限多項(xiàng),則稱x0是數(shù)列常數(shù)列只有一個(gè)聚點(diǎn):a.

的一個(gè)聚點(diǎn).限多個(gè)項(xiàng)”.現(xiàn)舉例如下:前者要求“含有無(wú)限多個(gè)點(diǎn)”,后者要求“含有無(wú)精選課件定理7.4有界數(shù)列至少存在一個(gè)聚點(diǎn),并且有最大但作為數(shù)列來(lái)說(shuō),它卻有兩個(gè)聚點(diǎn):有五個(gè)聚點(diǎn):數(shù)列從數(shù)列聚點(diǎn)的定義不難看出,x0是數(shù)列的聚作為點(diǎn)集來(lái)說(shuō)它僅有兩個(gè)點(diǎn),故沒(méi)有聚點(diǎn);點(diǎn)的一個(gè)充要條件是:存在的一個(gè)子列聚點(diǎn)和最小聚點(diǎn).精選課件又設(shè)由于E非空有界,故由確界原理,存在下面證明是{xn}的最大聚點(diǎn),亦即證設(shè)為有界數(shù)列,由致密性定理,存在一個(gè)的一個(gè)聚點(diǎn).收斂子列于是首先,由上確界的性質(zhì),存在使精選課件存在使存在使的無(wú)限多項(xiàng).現(xiàn)依次令存在使因?yàn)槭堑木埸c(diǎn),所以對(duì)任意正數(shù)在區(qū)間精選課件這樣就得到了{(lán)xn}的一個(gè)子列滿足:同理可證定義2有界數(shù)列的最大聚點(diǎn)與最小聚點(diǎn)分別稱為的上、下極限,記為即證得精選課件注由定理7.4得知,有界數(shù)列必有上、下極限.提供了一個(gè)新的平臺(tái).的上、下極限總是存在的,這為研究數(shù)列的性質(zhì)極限來(lái)研究該數(shù)列往往是徒勞的;但是有界數(shù)列數(shù)列若有界,它的極限可以不存在,此時(shí)想通過(guò)這樣,上、下極限的優(yōu)越性就顯現(xiàn)出來(lái)了:一個(gè)精選課件例1考察以下兩個(gè)數(shù)列的上、下極限:從中可大致看出數(shù)列的極限和數(shù)列的上、下極限之間存在著的內(nèi)在聯(lián)系.詳細(xì)討論請(qǐng)見(jiàn)下文.精選課件二、上(下)極限的基本性質(zhì)由上、下極限的定義,立即得出:定理7.5對(duì)任何有界數(shù)列有下面這個(gè)定理刻畫了極限與上、下極限之間的關(guān)系.定理7.6有界數(shù)列存在極限的充要條件是:(1)(2)精選課件證設(shè)對(duì)于任意正數(shù)在之外只有有限項(xiàng).這樣,對(duì)任意的若只有有限項(xiàng).這就是說(shuō),B不是的聚點(diǎn),故僅有一個(gè)聚點(diǎn)A,從而那么在內(nèi)(此時(shí)必取反之,若上式成立,則的聚點(diǎn)惟一(設(shè)為A),精選課件一的假設(shè)相矛盾.另一聚點(diǎn),導(dǎo)致與聚點(diǎn)惟性定理,這無(wú)限多項(xiàng)必有的無(wú)限多項(xiàng).由致密之外含有使得在倘若不然,則存在此時(shí)易證精選課件定理7.7設(shè)為有界數(shù)列,則有的充要條件是:對(duì)于任意的(i)存在N,當(dāng)n>N時(shí),的充要條件是:對(duì)于任意的(i)存在N,當(dāng)n>N時(shí),證在形式上是對(duì)稱的,所以僅證明.精選課件必要性設(shè)因?yàn)锳是的一個(gè)聚點(diǎn),使得所以存在故對(duì)于任意的存在當(dāng)k>K時(shí)，將中的前面K項(xiàng)剔除,這樣就證明了(ii).上,至多只含的有限項(xiàng).不然的話,因?yàn)橛薪?故在上還有聚點(diǎn),這與A是最大聚點(diǎn)相矛盾.設(shè)這有限項(xiàng)又因A是的最大聚點(diǎn),所以對(duì)上述在區(qū)間,e精選課件的最大下標(biāo)為N,那么當(dāng)n>N時(shí),充分性任給綜合(i)和(ii),在上含有{xn}的無(wú)限項(xiàng),即A是{xn}的聚點(diǎn).而對(duì)于任意的這說(shuō)明在精選課件定理7.8(保不等式性)設(shè){xn},{yn}均為有界數(shù){xn}的有限項(xiàng),故

不是{xn}的上也至多只有從而有聚點(diǎn),所以

A是的最大聚點(diǎn).列,并且滿足:存在當(dāng)n>N0時(shí),

有則取上(下)極限后,原來(lái)的不等號(hào)方向保持不變:精選課件證設(shè)因?yàn)锽是{yn}的聚點(diǎn),所以存在,特別若則更有故存在的一個(gè)收斂子列,(3)(4)精選課件同理可證關(guān)于上極限的不等式;而(4)式則可由又因(1)與(3)式直接推得.的最小聚點(diǎn)

A理應(yīng)滿足的聚點(diǎn),

它與也是.由于的極限,便得取精選課件證這里只證明(i),(ii)可同理證明.設(shè)由定理7.7,存在N,當(dāng)n>N時(shí),(5)(6)例1都是有界數(shù)列,那么設(shè)精選課件再由定理7.8的(4)式,得因?yàn)槭侨我獾?故注這里嚴(yán)格不等的情形確實(shí)會(huì)發(fā)生,例如故精選課件例2設(shè),且求證的全體聚點(diǎn)的集合為證設(shè)E是的全體聚點(diǎn)的集合,顯然有內(nèi)僅含的有限項(xiàng):在任給,欲證如若不然,則存在精選課件之內(nèi).又因所以存在這就是說(shuō),當(dāng)時(shí),所有的均不在當(dāng)

n>K時(shí),由(7)導(dǎo)致所有的或者都有或者都有前者與B是的聚點(diǎn)矛盾;后者與A是精選課件的聚點(diǎn)矛盾.故證得,即