§7.2基本不等式高考數(shù)學(xué)

(北京專用)A組自主命題·北京卷題組五年高考1.(2012北京文,6,5分)已知{an}為等比數(shù)列.下面結(jié)論中正確的是()A.a1+a3≥2a2

B.

+

≥2

C.若a1=a3,則a1=a2

D.若a3>a1,則a4>a2

答案

B設(shè){an}的首項(xiàng)為a1,公比為q,則a2=a1q,a3=a1q2.∵a1+a3=a1(1+q2),又1+q2≥2q,∴當(dāng)a1>0時(shí),a1(1+q2)≥2a1q,即a1+a3≥2a2;當(dāng)a1<0時(shí),a1(1+q2)≤2a1q,即a1+a3≤2a2,故A不正確.∵

+

=

(1+q4),又1+q4≥2q2且

>0,∴

+

≥2

.故B正確.若a1=a3,則q2=1.∴q=±1.當(dāng)q=1時(shí),a1=a2;當(dāng)q=-1時(shí),a1≠a2.故C不正確.D項(xiàng)中,若q>0,則a3q>a1q,此時(shí)a4>a2;若q<0,則a3q<a1q,此時(shí)a4<a2,故D不正確.評析

本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及利用基本不等式分析解決問題的能力,考查分類討

論思想,難度適中.2.(2011北京文,7,5分)某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元.若每批生產(chǎn)x件,

則平均倉儲(chǔ)時(shí)間為

天,且每件產(chǎn)品每天的倉儲(chǔ)費(fèi)用為1元.為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品

()A.60件

B.80件C.100件

D.120件答案

B每批生產(chǎn)x件,則平均每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用是

元,每件產(chǎn)品的倉儲(chǔ)費(fèi)用是

元,則

+

≥2

=20,當(dāng)且僅當(dāng)

=

,即x=80時(shí),“=”成立,∴每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品80件,故選B.錯(cuò)因分析

審題錯(cuò)誤,不能正確表示平均每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與平均每件產(chǎn)品的倉儲(chǔ)費(fèi)

用.評析

本題考查利用基本不等式解決實(shí)際問題,難度中等.B組統(tǒng)一命題·省(區(qū)、市)卷題組考點(diǎn)一基本不等式1.(2015福建,5,5分)若直線

+

=1(a>0,b>0)過點(diǎn)(1,1),則a+b的最小值等于

()A.2

B.3

C.4

D.5答案

C將(1,1)代入直線

+

=1,得

+

=1,又a>0,b>0,故a+b=(a+b)

=2+

+

≥2+2=4,等號當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取到,故選C.解題思路

把點(diǎn)代入直線方程,問題可轉(zhuǎn)化為已知

+

=1,求a+b的最小值問題.2.(2015陜西,9,5分)設(shè)f(x)=lnx,0<a<b,若p=f(

),q=f

,r=

(f(a)+f(b)),則下列關(guān)系式中正確的是

()A.q=r<p

B.q=r>p

C.p=r<q

D.p=r>q答案

C解法一:由題意知p=f(

)=ln

,q=f

=ln

,r=

(f(a)+f(b))=

(lna+lnb)=

ln(ab)=ln

.又∵b>a>0,∴

>

>0.∵函數(shù)f(x)=lnx為增函數(shù),∴p=r<q,故選C.解法二(特殊值法):令a=1,b=2,∴p=f(

)=ln

,q=f

=f

=ln

,r=

(ln1+ln2)=ln

.∵

<

,∴l(xiāng)n

<ln

,∴p=r<q.3.(2015湖南,7,5分)若實(shí)數(shù)a,b滿足

+

=

,則ab的最小值為

()A.

B.2

C.2

D.4答案

C依題意知a>0,b>0,則

+

≥2

=

,當(dāng)且僅當(dāng)

=

,即b=2a時(shí),“=”成立.因?yàn)?/p>

+

=

,所以

≥

,即ab≥2

,所以ab的最小值為2

,故選C.4.(2019天津文,13,5分)設(shè)x>0,y>0,x+2y=4,則

的最小值為

.答案

解析本題主要考查基本不等式的運(yùn)用.考查學(xué)生對基本不等式及其簡單變形使用條件的掌

握程度,以及學(xué)生的推理、運(yùn)算能力.

=

=

=2+

.∵x>0,y>0,∴4=x+2y≥2

,解得0<xy≤2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=2,即x=2且y=1時(shí)“=”成立.此時(shí)

≥

,∴2+

≥2+

=

,故

的最小值為

.思路分析

首先將分子展開,并把已知條件x+2y=4代入,則原式化簡為2+

,注意到x與2y的和為定值,用基本不等式即可求xy的最大值,最終得到原式的最小值,在此應(yīng)特別注意基本不等式

的使用條件“一正、二定、三相等”,注意等號是否成立.5.(2019江蘇,10,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,P是曲線y=x+

(x>0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是

.答案4解析本題通過曲線y=x+

(x>0)上的動(dòng)點(diǎn)到直線的最小距離考查點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式等有關(guān)知識,利用點(diǎn)到直線的距離公式變形考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,體現(xiàn)了從幾何

關(guān)系到代數(shù)關(guān)系的直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).設(shè)P

,x0>0,則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離d=

=

≥4,當(dāng)且僅當(dāng)x0=

,即x0=

時(shí)取“=”.故點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是4.一題多解

當(dāng)點(diǎn)P到直線x+y=0的距離最小時(shí),在點(diǎn)P處的切線與直線x+y=0平行.設(shè)P

,x0>0,易知y'=1-

,令1-

=-1,得

=2.∵x0>0,∴x0=

,∴P(

,3

).此時(shí)點(diǎn)P到直線x+y=0的距離為

=4.故點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是4.6.(2019天津理,13,5分)設(shè)x>0,y>0,x+2y=5,則

的最小值為

.答案4

解析本題主要考查利用基本不等式求最值;通過不等式的應(yīng)用考查學(xué)生推理論證能力及運(yùn)

算求解能力;體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).∵x+2y=5,x>0,y>0,∴

=

=

=2

+

≥2

=4

,當(dāng)且僅當(dāng)

即

或

時(shí),原式取得最小值4

.7.(2019上海,7,5分)若x,y∈R+,且

+2y=3,則

的最大值為

.答案

解析本題主要考查函數(shù)的最值,考查學(xué)生的邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力.∵x>0,

=3-2y,∴3-2y>0,∴y<

,又y>0,∴0<y<

,∴

=3y-2y2=-2

+

,當(dāng)y=

時(shí),

=

.一題多解

∵x,y∈R+,則3=

+2y≥2

,∴

≤

,即

≤

,當(dāng)且僅當(dāng)

=2y=

,即x=

,y=

時(shí),

取最大值,為

.8.(2018天津,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,則2a+

的最小值為

.答案

解析本題主要考查運(yùn)用基本不等式求最值.由已知,得a-3b=-6,故2a+

=2a+2-3b≥2

=2

=2

=

,當(dāng)且僅當(dāng)2a=2-3b,即a=-3b時(shí)等號成立,由a=-3b,a-3b+6=0,得a=-3,b=1,故當(dāng)a=-3,b=1時(shí),2a+

取得最小值

.易錯(cuò)警示

利用基本不等式求最值應(yīng)注意的問題:(1)使用基本不等式求最值,易失誤的原因是忽視其使用的前提“一正、二定、三相等”.要利

用基本不等式求最值,這三個(gè)條件缺一不可.(2)在運(yùn)用基本不等式時(shí),要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧.9.(2017天津文,13,5分)若a,b∈R,ab>0,則

的最小值為

.答案4解析本題考查基本不等式的應(yīng)用.∵a4+4b4≥2a2·2b2=4a2b2(當(dāng)且僅當(dāng)a2=2b2時(shí),“=”成立),∴

≥

=4ab+

,由于ab>0,∴4ab+

≥2

=4

當(dāng)且僅當(dāng)4ab=

時(shí),“=”成立

,故當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí),

的最小值為4.規(guī)律方法

利用基本不等式求最值,若需多次應(yīng)用基本不等式,則要注意等號成立的條件必須

一致.10.(2017山東,12,5分)若直線

+

=1(a>0,b>0)過點(diǎn)(1,2),則2a+b的最小值為

.答案8解析本題考查基本不等式及其應(yīng)用.由題設(shè)可得

+

=1,∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)

=2+

+

+2≥4+2

=8

.故2a+b的最小值為8.11.(2015山東,14,5分)定義運(yùn)算“?”:x?y=

(x,y∈R,xy≠0).當(dāng)x>0,y>0時(shí),x?y+(2y)?x的最小值為

.答案

解析

x?y+(2y)?x=

+

=

=

=

+

,∵x>0,y>0,∴

+

≥2

=

,當(dāng)且僅當(dāng)

=

,即x=

y時(shí)等號成立,故所求最小值為

.考點(diǎn)二不等式的綜合應(yīng)用1.(2019課標(biāo)全國Ⅱ理,6,5分)若a>b,則

()A.ln(a-b)>0

B.3a<3bC.a3-b3>0

D.|a|>|b|答案

C本題考查不等式的性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性;通過特值法和綜合法考

查了推理論證能力;考查的核心素養(yǎng)為邏輯推理.∵a>b,∴a-b>0,取a-b=1,則ln(a-b)=0.故A錯(cuò)誤.由y=3x在R上單調(diào)遞增可知3a>3b,故B錯(cuò)誤.由y=x3在R上是增函數(shù)可知a3>b3,故C正確.取a=0,b=-1,則|a|<|b|,故D錯(cuò)誤.

易錯(cuò)警示

容易由a>b直接得|a|>|b|而致錯(cuò).2.(2017天津,8,5分)已知函數(shù)f(x)=

設(shè)a∈R,若關(guān)于x的不等式f(x)≥

在R上恒成立,則a的取值范圍是()A.

B.

C.[-2

,2]

D.

答案

A本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用及不等式恒成立問題.①當(dāng)x≤1時(shí),關(guān)于x的不等式f(x)≥

在R上恒成立等價(jià)于-x2+x-3≤

+a≤x2-x+3在R上恒成立,即有-x2+

x-3≤a≤x2-

x+3在R上恒成立.由y=-x2+

x-3圖象的對稱軸為x=

,可得在x=

處取得最大值-

;由y=x2-

x+3圖象的對稱軸為x=

,可得在x=

處取得最小值

,則-

≤a≤

.②當(dāng)x>1時(shí),關(guān)于x的不等式f(x)≥

在R上恒成立等價(jià)于-

≤

+a≤x+

在R上恒成立,即有-

≤a≤

+

在R上恒成立,由于x>1,所以-

≤-2

=-2

,當(dāng)且僅當(dāng)x=

時(shí)取得最大值-2

;因?yàn)閤>1,所以

x+

≥2

=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取得最小值2,則-2

≤a≤2.由①②可得-

≤a≤2,故選A.思路分析討論當(dāng)x≤1時(shí),運(yùn)用絕對值不等式的解法和分離參數(shù),可得-x2+

x-3≤a≤x2-

x+3,由二次函數(shù)的最值求法,可得a的取值范圍;討論當(dāng)x>1時(shí),同樣可得-

≤a≤

+

,再利用基本不等式可得最值,從而可得a的取值范圍,求交集即可得到所求范圍.3.(2015課標(biāo)Ⅰ,12,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整數(shù)x0使得f(x0)<0,則a

的取值范圍是

()A.

B.

C.

D.

答案

D由f(x0)<0,即

(2x0-1)-a(x0-1)<0得

(2x0-1)<a(x0-1).當(dāng)x0=1時(shí),得e<0,顯然不成立,所以x0≠1.若x0>1,則a>

.令g(x)=

,則g'(x)=

.當(dāng)x∈

時(shí),g'(x)<0,g(x)為減函數(shù),當(dāng)x∈

時(shí),g‘(x)>0,g(x)為增函數(shù),要滿足題意,則x0=2,此時(shí)需滿足g(2)<a≤g(3),得3e2<a≤

e3,與a<1矛盾,所以x0<1.因?yàn)閤0<1,所以a<

.易知,當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),g'(x)>0,g(x)為增函數(shù),當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g'(x)<0,g(x)為減函數(shù),要滿足題意,則x0=0,此時(shí)需滿足g(-1)≤a<g(0),得

≤a<1(滿足a<1).故選D.思路分析先分離參數(shù),再構(gòu)造函數(shù)求解,要注意應(yīng)用分類討論思想.4.(2017江蘇,10,5分)某公司一年購買某種貨物600噸,每次購買x噸,運(yùn)費(fèi)為6萬元/次,一年的總

存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則x的值是

.答案30解析本題考查基本不等式及其應(yīng)用.設(shè)總費(fèi)用為y萬元,則y=

×6+4x=4

≥240.當(dāng)且僅當(dāng)x=

,即x=30時(shí),等號成立.易錯(cuò)警示1.a+b≥2

(a>0,b>0)中“=”成立的條件是a=b.2.本題是求取最值時(shí)變量x的值,不要混同于求最值.C組教師專用題組考點(diǎn)一基本不等式1.(2014重慶,9,5分)若log4(3a+4b)=log2

,則a+b的最小值是

()A.6+2

B.7+2

C.6+4

D.7+4

答案

D由log4(3a+4b)=log2

,得3a+4b=ab,且a>0,b>0,∴

+

=1,∴a+b=(a+b)·

=

+

+7≥7+2

=2

+7=4

+7

當(dāng)且僅當(dāng)

=

時(shí),等號成立

,即a+b的最小值為7+4

.2.(2013山東,12,5分)設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0.則當(dāng)

取得最大值時(shí),

+

-

的最大值為

()A.0

B.1

C.

D.3答案

B由x2-3xy+4y2-z=0,得z=x2-3xy+4y2,∴

=

=

.又x、y、z為正實(shí)數(shù),∴

+

≥4,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取等號,此時(shí)z=2y2.∴

+

-

=

+

-

=-

+

=-

+1,當(dāng)

=1,即y=1時(shí),上式有最大值1,故選B.評析

本題考查基本不等式的應(yīng)用、二次函數(shù)求最值等知識,考查學(xué)生的運(yùn)算能力.3.(2015重慶,14,5分)設(shè)a,b>0,a+b=5,則

+

的最大值為

.答案3

解析解法一:令t=

+

,則t2=(

+

)2=a+1+b+3+2

·

≤9+a+1+b+3=18,當(dāng)且僅當(dāng)

=

,即a=

,b=

時(shí),等號成立.即t的最大值為3

.解法二:設(shè)

=m,

=n,則m,n均大于零,因?yàn)閙2+n2≥2mn,所以2(m2+n2)≥(m+n)2,所以m+n≤

·

,所以

+

≤

·

=3

,當(dāng)且僅當(dāng)

=

,即a=

,b=

時(shí),“=”成立,所以所求最大值為3

.4.(2014浙江,16,4分)已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,則a的最大值是

.答案

解析∵b2+c2≥2bc,即2(b2+c2)≥b2+c2+2bc=(b+c)2,∴b2+c2≥

.由a+b+c=0,得b+c=-a.由a2+b2+c2=1,得1-a2=b2+c2≥

=

(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取“=”),∴a2≤

,∴-

≤a≤

,故a的最大值為

.5.(2013四川,13,5分)已知函數(shù)f(x)=4x+

(x>0,a>0)在x=3時(shí)取得最小值,則a=

.答案36解析∵x>0,a>0,∴f(x)=4x+

≥2

=4

,當(dāng)且僅當(dāng)4x=

時(shí)等號成立,此時(shí)a=4x2,由已知x=3時(shí)函數(shù)取得最小值,所以a=4×9=36.考點(diǎn)二不等式的綜合應(yīng)用1.(2013課標(biāo)全國Ⅱ,12,5分)若存在正數(shù)x使2x(x-a)<1成立,則a的取值范圍是

()A.(-∞,+∞)

B.(-2,+∞)C.(0,+∞)

D.(-1,+∞)答案

D由2x(x-a)<1得a>x-

,令f(x)=x-

,即a>f(x)有解,則a>f(x)min,又y=f(x)在(0,+∞)上遞增,所以f(x)>f(0)=-1,所以a>-1,選D.2.(2014遼寧,16,5分)對于c>0,當(dāng)非零實(shí)數(shù)a,b滿足4a2-2ab+b2-c=0且使|2a+b|最大時(shí),

+

+

的最小值為

.答案-1解析由題意得c=4a2+b2-2ab=(2a+b)2-6ab.∵2ab≤

,當(dāng)且僅當(dāng)2a=b時(shí)取“=”,∴-6ab≥-3

,∴c=(2a+b)2-6ab≥(2a+b)2-3

,即c≥

,∴|2a+b|≤2

,∴當(dāng)且僅當(dāng)2a=b時(shí),|2a+b|有最大值2

,此時(shí)|2a+2a|=2

,∴c=4a2,∴

+

+

=

+

+

=

+

=

-1≥-1,∴

+

+

的最小值為-1.評析

本題考查基本不等式及函數(shù)思想的應(yīng)用,考查了分析問題、解決問題的能力和運(yùn)算求

解能力.靈活運(yùn)用基本不等式是求解的關(guān)鍵.3.(2013天津,14,5分)設(shè)a+b=2,b>0,則

+

的最小值為

.答案

解析∵a+b=2,b>0,∴b=2-a>0,得a<2.令t=

+

=

+

,(i)當(dāng)0<a<2時(shí),t=

+

=

+

+

≥

+2

=

,當(dāng)且僅當(dāng)

=

,即b=2a,a=

∈(0,2)時(shí),t取得最小值

.(ii)當(dāng)a<0時(shí),t=-

-

=-

+

+

≥-

+2

=

,當(dāng)且僅當(dāng)-

=-

,即b=-2a,a=-2時(shí),t取得最小值

.∵

>

,∴

+

的最小值為

.三年模擬A組2017—2019年高考模擬·考點(diǎn)基礎(chǔ)題組考點(diǎn)一基本不等式1.(2018北京朝陽二模文,11)已知x>0,y>0,且滿足x+y=4,則lgx+lgy的最大值為

.答案2lg2解析因?yàn)閤+y=4,x>0,y>0,所以xy≤

=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí),等號成立.則lgx+lgy=lg(xy)≤lg4=2lg2.2.(2017北京豐臺(tái)一模文,11)設(shè)a+b=M(a>0,b>0),M為常數(shù),且ab的最大值為2,則M等于

.答案2

解析∵a+b=M(a>0,b>0),∴ab≤

=

.∵ab的最大值為2,∴

=2,又M>0,∴M=2

.3.(2018北京豐臺(tái)一模文,12)已知點(diǎn)A(2,0),B(0,1),若點(diǎn)P(x,y)在線段AB上,則xy的最大值為

.答案

解析已知點(diǎn)A(2,0),B(0,1),則線段AB所在直線的方程為y=-

x+1,即x+2y=2,x∈[0,2],此時(shí)y∈[0,1],xy≥0,則x+2y=2≥2

?xy≤

當(dāng)且僅當(dāng)x=1,y=

時(shí)取等號

.故xy的最大值為

.考點(diǎn)二不等式的綜合應(yīng)用1.(2017北京朝陽二模文,4)“x>0,y>0”是“

+

≥2”的

()A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件答案

A當(dāng)x>0,y>0時(shí),可得

>0,

>0.根據(jù)基本不等式得

+

≥2

=2

.故充分性成立.當(dāng)x<0,y<0時(shí),

+

≥2也成立.故必要性不成立.∴“x>0,y>0”是“

+

≥2”的充分而不必要條件.故選A.思路分析分別說明充分性和必要性是否成立.方法點(diǎn)撥在證必要性不成立時(shí),也可舉反例,如x=-2,y=-1,得結(jié)論.2.(2019北京昌平期末文,13)能說明“若點(diǎn)M(a,b)與點(diǎn)N(5,5)在直線x+y-2=0的同側(cè),則a+b>4”

是假命題的一個(gè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為

.答案(2,1)(答案不唯一)解析點(diǎn)M(a,b)與點(diǎn)N(5,5)在直線x+y-2=0的同側(cè)?(a+b-2)(5+5-2)>0?a+b-2>0,所以取一組數(shù)

使2<a+b≤4即可,例如(2,1),(1,2),(0,3),(3,0)等.B組2017—2019年高考模擬·專題綜合題組時(shí)間:15分鐘分值:15分一、選擇題(每小題5分,共15分)1.(2017北京房山一模,6)“a>0”是“a+

≥2

”的

()A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件答案

C當(dāng)a>0時(shí),由基本不等式得a+

≥2

,當(dāng)且僅當(dāng)a=

時(shí)取等號,故充分性成立;當(dāng)a+

≥2

時(shí),移項(xiàng)得a+

-2

≥0,即

≥0,∴

≥