§4正交多項式(1),則稱函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間[a,b]上正交.(2),則稱函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間[a,b]上帶權(quán)(x)正交.(3)代數(shù)多項式序列(下標(biāo)k為多項式的次數(shù),gk(x)表示k次多項式),在區(qū)間[a,b]上滿足一、正交多項式定義1當(dāng)m≠n當(dāng)m=n則稱多項式序列為區(qū)間[a,b]上帶權(quán)(x)的正交多項式序列若n次多項式gn(x)中含xn項的系數(shù)為dn,則稱dn為gn(x)的首次系數(shù);dn≠0時,稱為首次系數(shù)為1的n次多項式.定義2

若是區(qū)間[a,b]上帶權(quán)(x)的正交多項式序列,則它們線性無關(guān).對任意的x[a,b]若兩邊同乘(x)gl(x)(l=0,1,..n),并從a到b積分,由的正交性定義中的(3)可知必有cl=0故正交多項式序列線性無關(guān).性質(zhì)1證明二、正交多項式性質(zhì)若為[a,b]上帶權(quán)(x)的正交多項式序列,且,則(1)k=n+1,n+2,…(2)i=0,1,…,n-1記[a,b]上帶權(quán)函數(shù)(x)的正交多項式序列相鄰三項的遞推關(guān)系為i=1,2,…其中性質(zhì)2性質(zhì)3[a,b]上帶權(quán)函數(shù)的正交多項式序列中任意相鄰兩個正交多項式gn(x)和gn+1(x)的根相間.為的首項系數(shù)若記gn(x),gn+1(x)的根分別為,則所謂與的根相間,即是指這兩個正交多項式的根有如下的關(guān)系.i=1,…,n-1性質(zhì)4常見的正交多項式有Legendre(勒讓德)多項式、Hermite多項式、Chebyshev多項式以及Jacobi多項式。

(1)區(qū)間[a,b]上帶權(quán)函數(shù)(x)的正交多項式序列與對應(yīng)元素之間只相差一個比例常數(shù).(2)區(qū)間[a,b]上帶權(quán)函數(shù)(x)首項系數(shù)為1的正交多項式序列唯一.性質(zhì)5施密特正交化公式線性無關(guān)…三、Legendre多項式Pn(x)[-1,1]上由{1,x,…,xn,…}帶權(quán)ρ(x)≡1正交化得到的多項式序列.(1)多項式定義定義3隱式表達(dá)式顯式表達(dá)式其中當(dāng)n為偶數(shù)時當(dāng)n為奇數(shù)時在[-1,1]上帶權(quán)ρ(x)≡1正交化{1,x,…,xn,…}例解…(2)多項式的主要性質(zhì)①

n次Legendre多項式Pn(x)的首項系數(shù)當(dāng)x=-1②當(dāng)x=1,當(dāng)mn當(dāng)m=n③④Legendre多項式相鄰三項的遞推關(guān)系為n=1,2,…⑤

在所有最高項系數(shù)為1的n次多項式中,最高項系數(shù)為1的Legendre多項式Pn(x)在[-1,1]上與零的平方誤差最小.(1)多項式定義定義4四、Chebyshev多項式Tn(x)[-1,1]上由{1,x,…,xn,…}帶權(quán)

正交化得到的多項式序列.顯式表達(dá)為:Tn(x)=cos(n

arccosx),|x|≤1Chebyshev多項式序列在[-1,1]上滿足性質(zhì)6n次Chebyshev多項式Tn(x)的首項系數(shù)為2n-1性質(zhì)7n次Chebyshev多項式相鄰三項有遞推關(guān)系：

T0(x)=1,T1(x)=x,

Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x),n=1,2,….性質(zhì)8(2)Chebyshev多項式的性質(zhì)當(dāng)時，即{x1,…,xn}為Tn(x)的n個零點。當(dāng)時，交錯取到極大值1和極小值1，即記顯然是首項系數(shù)為1的n次Chebyshev多項式性質(zhì)9性質(zhì)10記為一切定義在[－1,1]上首項系數(shù)為1的n次多項式的集合在中，的無窮模最小即這個性質(zhì)，稱為Chebyshev多項式最小模性質(zhì).性質(zhì)11——多項式降次(

reducethedegreeofpolynomialwithaminimallossofaccuracy)設(shè)f(x)Pn(x)。在降低Pn(x)次數(shù)的同時,使因此增加的誤差盡可能小,也叫economiza-tionofpowerseries。從Pn中去掉一個含有其最高次項的,結(jié)果降次為,則：Pn~Pn1|)(|max|)()(|max|)()(|max]1,1[]1,1[1]1,1[xPxPxfxPxfnnn----+--~因降次而增的誤差設(shè)Pn

的首項系數(shù)為an，則取可使精度盡可能少損失。12)()(-=nnnnxTaxP(3)Chebyshev多項式的應(yīng)用f(x)=ex

在[1,1]上的4階Taylor展開為，此時誤差請將其降為2階多項式。?。ú楸碇┤。ú楸碇┤艉唵稳?，則誤差注：對一般區(qū)間[a,b]，先將x

換為

t，考慮f(t)在[1,1]上的逼近Pn(t)，再將t

換回x，最后得到Pn(x)。例1解定義6(1)第二類Chebyshev

多項式Un(x)相鄰三項的遞推關(guān)系為五、其它正交多項式(-1,+1)上權(quán)函數(shù)的正交多項式序列顯式表達(dá):U0(x)=1,U1(x)=2xn=1,2,…定義7(2)拉蓋爾Laguerre多項式Ln(x)相鄰三項的遞推關(guān)系為[0,+∞)上權(quán)函數(shù)的正交多項式序列顯式表達(dá):L0(x)=1,L1(x)=1-xn=1,2,…定義8(3)Hermite多項式Hn(x)相鄰三項的遞推關(guān)系為