探索勾股定理（第1課時(shí)）

第一節(jié)探索勾股定理你知道畢達(dá)哥拉斯想到了什么嗎？情境引入相傳兩千多年前，古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯去朋友家做客。在宴席上，其他的賓客都在盡情歡樂，只有畢達(dá)哥拉斯卻看著朋友家的方磚地發(fā)起呆來。原來，朋友家的地是用一塊塊直角三角形形狀的磚鋪成的，黑白相間，非常美觀大方。主人看到畢達(dá)哥拉斯的樣子非常奇怪，就想過去問他，誰知，畢達(dá)哥拉斯突然恍然大悟的樣子，站起來，大笑著跑回家去了。原來，他發(fā)現(xiàn)了地磚上的三個(gè)正方形存在某種數(shù)學(xué)關(guān)系。（黑白相間的地磚）

探究活動(dòng)1

問題1：你能發(fā)現(xiàn)下圖中三個(gè)正方形面積之間有怎樣的關(guān)系？

一、情境引入

會(huì)標(biāo)中央的圖案是趙爽弦圖，它與“勾股定理”有關(guān)，數(shù)學(xué)家曾建議用“勾股定理”的圖來作為與“外星人”聯(lián)系的信號(hào).

2002年世界數(shù)學(xué)家大會(huì)在我國(guó)北京召開，下圖是本屆數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)：探究活動(dòng)一：

觀察下面地板磚示意圖：二、探索發(fā)現(xiàn)勾股定理

觀察這三個(gè)正方形你發(fā)現(xiàn)圖中三個(gè)正方形的面積之間存在什么關(guān)系嗎？換個(gè)角度來看呢？結(jié)論1

以等腰直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積.你發(fā)現(xiàn)了什么？探究活動(dòng)二：觀察右邊兩幅圖：

填表（每個(gè)小正方形的面積為單位1）：A的面積B的面積C的面積左圖右圖4

？怎樣計(jì)算正方形C的面積呢？9

16

9

“割”“補(bǔ)”“拼”方法一：方法二：方法三：分割為四個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形補(bǔ)成大正方形，用大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積將幾個(gè)小塊拼成一個(gè)正方形，如圖中兩塊紅色（或綠色）可拼成一個(gè)小正方形分析表中數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

A的面積B的面積C的面積左圖4913右圖16925結(jié)論2

以直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積.議一議：

（1）你能用直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)a，b和斜邊長(zhǎng)c來表示圖中正方形的面積嗎？

abcabc

（2）你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長(zhǎng)度之間存在什么關(guān)系嗎？

（3）分別以5厘米、12厘米為直角邊作出一個(gè)直角三角形，并測(cè)量斜邊的長(zhǎng)度.（2）中的規(guī)律對(duì)這個(gè)三角形仍然成立嗎？動(dòng)手實(shí)踐

如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c

，那么即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

勾股定理（gou-gutheorem）

我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，“勾股定理”因此而得名.（在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理）數(shù)學(xué)小史三、簡(jiǎn)單應(yīng)用

例如圖所示，一棵大樹在一次強(qiáng)烈臺(tái)風(fēng)中于離地面10米處折斷倒下，樹頂落在離樹根24米處.大樹在折斷之前高多少米？基礎(chǔ)鞏固練習(xí)：（口答）求下列圖形中未知正方形的面積或未知邊的長(zhǎng)度：

已知直角三角形兩邊，求第三邊.生活中的應(yīng)用：小明媽媽買了一部29英寸（74厘米）的電視機(jī).小明量了電視機(jī)的屏幕后，發(fā)現(xiàn)屏幕只有58厘米長(zhǎng)和46厘米寬，他覺得一定是售貨員搞錯(cuò)了.你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？我們通常所說的29英寸或74厘米的電視機(jī)，是指其熒屏對(duì)角線的長(zhǎng)度∴售貨員沒搞錯(cuò)熒屏對(duì)角線大約為74厘米∵

1．這一節(jié)課我們一起學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)和思想方法？

2．對(duì)這些內(nèi)容你有什么體會(huì)？請(qǐng)與你的同伴交流.四、課堂小結(jié)

知識(shí)：勾股定理如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c

，那么.方法：1.觀察—探索—猜想—驗(yàn)證—?dú)w納—應(yīng)用；

2.“割、補(bǔ)、拼、接”法.思想：1.特殊—一般—特殊；

2.數(shù)形結(jié)合思想.1．習(xí)題1.1.2．閱讀《讀一讀》——勾股世界.3．觀察下圖，探究圖中三角形的三邊長(zhǎng)是否滿足

?

五、布置作業(yè)

拓展練習(xí)

1.如圖，一個(gè)25m長(zhǎng)的梯子AB，斜靠在一豎直的墻AO上，這時(shí)的AO距離為24m，如果梯子的頂端A沿墻下滑4m，那么梯子底端B也外移4m嗎？解：由勾股定理得：

OB2=AB2-AO2=252-242

解得：OB=7OD2=CD2-CO2=252-(24-4)2

解得：OD2=225

所以O(shè)D=15

OD-OB=8m>4m

答：梯子低端B外移大于4m。生活中勾股定理的應(yīng)用ABOCD拓展練習(xí)

生活中勾股定理的應(yīng)用

2.有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，請(qǐng)問這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各是多少？解：設(shè)水深為X尺，則蘆葦長(zhǎng)為（X＋1）尺，由勾股定理得：

（X＋1）2＝X2＋（）2

解得X＝12 ∴X＋1＝13答：水池的深度為12尺，蘆葦長(zhǎng)為13尺。勾股定理的歷史

勾股定理是初等幾何中的一個(gè)基本定理．這個(gè)定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國(guó)（希臘、中國(guó)、埃及、巴比倫、印度等）對(duì)此定理都有所研究。希臘對(duì)勾股定理的研究

最早研究的是希臘著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯（前580至568-前501至500），故西方國(guó)家均稱此定理為畢達(dá)哥拉斯定理，據(jù)說畢達(dá)哥拉斯十分喜愛這個(gè)定理，當(dāng)他在公元前550前年左右發(fā)現(xiàn)這個(gè)定理時(shí)，宰殺了百頭牛羊以謝神的默示．但畢達(dá)哥拉斯對(duì)勾股定理的證明方法已經(jīng)失傳．畢達(dá)哥拉斯

勾股定理的歷史

勾股定理是初等幾何中的一個(gè)基本定理．這個(gè)定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國(guó)（希臘、中國(guó)、埃及、巴比倫、印度等）對(duì)此定理都有所研究。中國(guó)對(duì)勾股定理的研究

在我國(guó)，這個(gè)定理的敘述最早見于《周髀算經(jīng)》（大約成書于公元前一世紀(jì)前的西漢時(shí)期），書中有一段商高（約前1120）答周公問中有“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”的話，意即直角三角形的兩條直角邊是3及4、則斜邊是5．

周髀算經(jīng)

請(qǐng)你利用自己準(zhǔn)備的四個(gè)全等的直角三角形拼出以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形.

有不同的拼法嗎？

驗(yàn)證勾股定理aaaabbbbcccc∴a2+b2=c2

驗(yàn)證方法一圖1你還能用圖2進(jìn)行驗(yàn)證嗎？

方法小結(jié)：我們利用拼圖的方法，將形的問題與數(shù)的問題結(jié)合起來，再進(jìn)行整式運(yùn)算，從理論上驗(yàn)證了勾股定理.

據(jù)傳是當(dāng)年畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理時(shí)做出的證明。

將4個(gè)全等的直角三角形拼成邊長(zhǎng)為(a＋b)的正方形ABCD，使中間留下邊長(zhǎng)c的一個(gè)正方形洞．畫出正方形ABCD．移動(dòng)三角形至圖2所示的位置中，于是留下了邊長(zhǎng)分別為a與b的兩個(gè)正方形洞．則圖1和圖2中的白色部分面積必定相等，所以c2=a2+b2圖1圖2

驗(yàn)證方法二cab

a∴a2+b2=c2

你還有其他的方法嗎？下來繼續(xù)研究喔！圖3驗(yàn)證方法三美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法：（1881.3.4--1881.9.19）bcabc