會計學(xué)1ch鏡像法解析實用

求解泊松方程的難度、鏡像法的概念和適用條件

一般靜電問題可以通過求解泊松方程或拉普拉斯方程得到電場。但是，在許多情況下非常困難。例如，對于介質(zhì)中、導(dǎo)體外存在點電荷的情況雖然可以采用疊加法求解，但是求解比較困難。求解的困難主要是介質(zhì)分界面或?qū)w表面上的電荷一般非均勻分布的，造成電場缺乏對稱性。QQ2.

以唯一性定理為依據(jù)

在唯一性定理保證下，采用試探解，只要保證解滿足泊松方程及邊界條件即是正確解。特別是對于只有幾個自由點電荷時，可以將導(dǎo)體面上感應(yīng)電荷分布等效地看作一個或幾個點電荷來給出嘗試解。第1頁/共44頁3.

鏡像法的基本問題在點電荷附近有導(dǎo)體或介質(zhì)存在時，空間的靜電場是由點電荷和導(dǎo)體的感應(yīng)電荷或介質(zhì)的束縛電荷共同產(chǎn)生的。那么，導(dǎo)體的感應(yīng)電荷或介質(zhì)的極化電荷對場點而言能否用場空間以外的區(qū)域（導(dǎo)體或介質(zhì)內(nèi)部）某個或幾個假想的電荷來代替呢？4.

鏡像法概念、適用情況鏡像法：用假想點電荷來等效地代替導(dǎo)體邊界面上的面電荷分布，然后用空間點電荷和等效點電荷迭加給出空間電勢分布。適用情況：

所求區(qū)域有少許幾個點電荷，它產(chǎn)生的感應(yīng)電荷一般可以用假想點電荷代替。b)導(dǎo)體邊界面形狀比較規(guī)則，具有一定對稱性。c)給定邊界條件。第2頁/共44頁注意幾點：a)像電荷必須放在研究的場域外。b)不能改變原有邊界條件（實際是通過邊界條件來確定假想電荷的大小和位置）。c)

放置像電荷后，就認(rèn)為原來的真實的導(dǎo)體或介質(zhì)界面不存在，把整個空間看成是無界的均勻空間。并且其介電常數(shù)應(yīng)是所研究場域的介電常數(shù)。d)像電荷是虛構(gòu)的，它只有等效作用。而其電量并不一定與真實的感應(yīng)電荷或極化電荷相等。e)鏡像法所適應(yīng)的范圍是：①場區(qū)域的電荷是點電荷，無限長帶電直線；②導(dǎo)體或介質(zhì)的邊界面必是簡單的規(guī)則的幾何面（球面、柱面、平面）。第3頁/共44頁a)正確寫出電勢應(yīng)滿足的微分方程及給定的邊界條件；b)根據(jù)給定的邊界條件計算像電荷的電量和所在位置；c)由已知電荷及像電荷寫出勢的解析形式；d)根據(jù)需要要求出場強、電荷分布以及電場作用力、電容等。二、鏡像法的具體應(yīng)用解題步驟：第4頁/共44頁三、應(yīng)用舉例[例1]

接地?zé)o限大平面導(dǎo)體板附近有一點電荷，求空間電勢。QQ/Pz解：根據(jù)唯一性定理,左半空間右半空間，Q在（0，0，a）點，電勢滿足泊松方程。邊界上從物理問題的對稱性和邊界條件考慮，假想電荷應(yīng)在左半空間z

軸上。設(shè)電量為，位置為（0，0，）

1界面是平面第5頁/共44頁由邊界條件確定和、唯一解是

因為象電荷在左半空間，所以舍去正號解討論：（a）導(dǎo)體面上感應(yīng)電荷分布第6頁/共44頁（b）電荷Q產(chǎn)生的電場的電力線全部終止在導(dǎo)體面上它與無導(dǎo)體時，兩個等量異號電荷產(chǎn)生的電場在右半空間完全相同。

（c）

與位置對于導(dǎo)體板鏡象對稱，故這種方法稱為鏡象法（又稱電象法）（d）導(dǎo)體對電荷Q的作用力相當(dāng)兩點電荷間的作用力第7頁/共44頁討論:

▲如果導(dǎo)體板不接地，左半空間有電場存在。這時左、右兩半空間的電勢必須滿足以下條件：第8頁/共44頁注意：光線是直線傳播到導(dǎo)體板面上的。有的地方是與板面⊥，有的地方是與板面有一定夾角；但電力線切線方向是場強的方向，電力線在板面附近處處與板面⊥，這一點通過靜電平衡原理可知。Q‘Qba根據(jù)光的反射可找到Q'的大小和位置▲鏡象法的圖形與光路用此圖比較：第9頁/共44頁[例2]在無窮大空間中充滿介電常數(shù)為和的兩種均勻電介質(zhì)，其分界面為平面。設(shè)在介質(zhì)中放一點電荷Q，其所在位置距分界面為a，試求二介質(zhì)中的電勢分布。QaSolution:

設(shè)中電勢的，中的電勢為，并滿足如下定解條件：1界面是平面第10頁/共44頁第11頁/共44頁a)

求空間的電勢時，設(shè)想將半空間換成與半空間一樣，而以假想的電荷Q'來代替分界面上極化電荷對半空間的場的影響；處理問題的方法：

b)

求半空間的電勢時，設(shè)想將半空間換成半空間一樣，而以假想的電荷Q"來代替Q和分界面上的極化電荷對半空間場的影響。xxSS右半空間左半空間acbQ'Q"Qr"rr'RooP(x,y,z)yy換成P'換成Rθ第12頁/共44頁在x>0的區(qū)域，空間一點的電勢為在x<0的區(qū)域，空間任一點的電勢為xSabQ'Qrr'oP(x,y,z)y換成RθxS左半空間cQ"r"RoyP'換成第13頁/共44頁電荷守恒守律：Q=Q'+Q"x>0區(qū)域電勢：x<0區(qū)域電勢：第14頁/共44頁根據(jù)光的反射可找到Q‘

的大小和位置；根據(jù)光的折射可找到Q"的大小和位置,（但嚴(yán)格說來光線在不同介質(zhì)內(nèi)傳播，其方向有所改變。這里僅是理想化的，根據(jù)實際問題類比思維）。Q‘Qba折射反射▲分界面為介質(zhì)時，鏡象法與光路圖比較：第15頁/共44頁[例3]有一點電荷

位于兩個互相垂直的半無限大接地導(dǎo)體板所圍成的直角空間內(nèi)，它到兩個平面的距離為a和b，求空間的電勢。

假想電荷應(yīng)在第

I

象限之外。要保證互相垂直的兩個接地導(dǎo)體板的電勢同時為零，應(yīng)當(dāng)放幾個電荷？解：（1）分析：Q（-a,-b,0）-Q（a,-b,0）xyOQ（a,b,0）-Q（-a,b,0）1界面是平面第16頁/共44頁S2S1Q（2）電勢分布

放在處用鏡像法求解的條件是什么？

（3）若兩平面夾角像電荷數(shù)界面為劈形的情況1界面是平面第17頁/共44頁解：（1）分析：導(dǎo)體球接地，球的電勢為零。根據(jù)鏡象法原則假想電荷應(yīng)在球內(nèi)。因空間只有兩個點電荷，場應(yīng)具有軸對稱，故假想電荷應(yīng)在線上，即極軸上。[例4]真空中有一半徑R0的接地導(dǎo)體球，距球心

a

>R0

處有一點電荷

Q，求空間各點電勢。球坐標(biāo)系PROZ2界面是球面第18頁/共44頁2界面是球面（2）由邊界條件確定和設(shè)

因任意的解得①

②RobQ'aQxrr'P(x,y,z)θ第19頁/共44頁①

，因此Q發(fā)出的電力線一部分會聚到導(dǎo)體球面上，剩余傳到無窮遠(yuǎn)。②球面感應(yīng)電荷分布（3）討論：導(dǎo)體球接地后，感應(yīng)電荷總量不為零，可認(rèn)為電荷

移到地中去了。2界面是球面第20頁/共44頁感應(yīng)電荷：電通量：電荷受到的作用力：2界面是球面第21頁/共44頁討論：１．導(dǎo)體球不帶電不接地邊界條件：在球心處再添一像電荷：2界面是球面第22頁/共44頁２．導(dǎo)體球不帶電，接電勢在球心處再添一像電荷：2界面是球面第23頁/共44頁３．點電荷Q在導(dǎo)體球殼內(nèi)距球心

a處像電荷的電量Q‘大于源電荷的電量Q。2界面是球面第24頁/共44頁2界面是球面４．導(dǎo)體球帶有電荷，不接地點電荷受到的力：RobQ'aQxrr'Pq-Q'球心有電荷（q-Q‘)

，P點的電勢為第25頁/共44頁ooaaQ'Q'QQ點電荷Q在球內(nèi)點電荷Q在球外bb▲鏡像法與光路圖比較2界面是球面第26頁/共44頁R0------++++++Solution:

本題的物理圖象是在原有的均勻電場中放置一中性導(dǎo)體球。此時導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷也要在空間激發(fā)場，故使原來的場空間電場發(fā)生了變化。球外空間任一點的場將是一個均勻場和一個球體感應(yīng)電荷等效的偶極子的場的迭加。場區(qū)域只能在球外。由于靜電屏蔽，[例5]均勻場中的導(dǎo)體球所產(chǎn)生的電勢。第27頁/共44頁

第一步：用兩個點電荷±Q激發(fā)一均勻場點電荷±Q放在對稱軸z=±a處，a很大，Q也很大，在坐標(biāo)原點附近的區(qū)域內(nèi)。+Q-Qzaao第二步：將一中性導(dǎo)體球放在均勻場中第28頁/共44頁此時+Q在球面上感應(yīng)的電量為，-Q在球面上感應(yīng)電量為，這仍然保持導(dǎo)體球為電中性(不管導(dǎo)體球接地與否)。根據(jù)唯一性定理，導(dǎo)體球外的電勢就是這四個點電荷分別在某點產(chǎn)生的。

+Q-QzaaR0bbo±Q相當(dāng)于兩個場源電荷，球面上將出現(xiàn)感應(yīng)電荷，由像電荷來代替，即第29頁/共44頁電勢迭加，即因為a>>R，

,則選略去和第30頁/共44頁又因為皆為小量，應(yīng)用展開式即第31頁/共44頁第32頁/共44頁

的第一項恰好等于一個原均勻場以o點為參考點電勢。第二項恰好等于位于o點的電偶極矩為的電偶極子的電勢。令則第33頁/共44頁（3）界面為柱面的情況[例6]有一線電荷要密度為η的無限長帶電直線與半徑為

R0的接地?zé)o限長導(dǎo)體圓柱軸線平行。求空間電勢分布。yaaηxηR0R0Solution:

由于導(dǎo)體柱面把整個空間分成柱內(nèi)、柱外兩個區(qū)域，而柱內(nèi)有，柱外區(qū)域電勢滿足定解條件：3界面是柱面第34頁/共44頁

處于帶電直線的電場中的導(dǎo)體圓柱，其柱面上要出現(xiàn)感應(yīng)電荷，空間任一點的電勢就是帶電線和感應(yīng)電荷分別產(chǎn)生的電勢的迭加。

現(xiàn)假定導(dǎo)體圓柱面的感應(yīng)電荷密度為，距軸線為b，由于帶電直線不僅帶電(均勻)且是無限長的，導(dǎo)體圓柱也是無限長的，故垂直于柱軸的任何平面上的電勢分布是完全相同的，即是一個二維場，因此可取一垂直于柱軸的平面來討論。Robλ'aηxrr'P(x,y)θR0第35頁/共44頁取oa連線與圓柱面的交點為電勢參考點。則圓柱外空間任一點的電勢為Robλ'aηxrr'P(x,y)θR0即第36頁/共44頁其中由得第37頁/共44頁即要使該等式成立，必有比較兩邊系數(shù)，即