會計學1D78常系數(shù)非齊次是非齊次方程的解,又Y中含有兩個獨立任意常數(shù),例如,

方程有特解對應齊次方程有通解因此該方程的通解為證畢因而②也是通解.機動目錄上頁下頁返回結束第1頁/共52頁定理8.2分別是方程的特解,是方程的特解.(非齊次方程之解的疊加原理)定理8.1,定理8.2均可推廣到n階線性非齊次方程.機動目錄上頁下頁返回結束第2頁/共52頁定理是對應齊次方程的n

個線性無關特解,給定n

階非齊次線性方程是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解機動目錄上頁下頁返回結束第3頁/共52頁常數(shù)變易法常數(shù)變易法:對應齊次方程的通解:設非齊次方程的解為代入原方程確定對二階非齊次方程情形1.

已知對應齊次方程通解:設③的解為③由于有兩個待定函數(shù),所以要建立兩個方程:④機動目錄上頁下頁返回結束二、通解的求法第4頁/共52頁⑤令于是將以上結果代入方程①:得⑥故⑤,⑥的系數(shù)行列式是對應齊次方程的解P10目錄上頁下頁返回結束第5頁/共52頁積分得:代入③即得非齊次方程的通解:于是得說明:將③的解設為只有一個必須滿足的條件即方程③,因此必需再附加一個條件,方程⑤的引入是為了簡化計算.機動目錄上頁下頁返回結束第6頁/共52頁情形2.僅知③的齊次方程的一個非零特解代入③化簡得設其通解為積分得(一階線性方程)由此得原方程③的通解:代入③目錄上頁下頁返回結束第7頁/共52頁例8.1求非齊次線性微分方程的通解.解：對應齊次方程特征方程為特征根為于是對應齊次方程的通解為設所給方程的通解為這是確定C1(x),C2(x)的方程組為設所給方程的通解為第8頁/共52頁三、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程

根據(jù)解的結構定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù)

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數(shù).①—待定系數(shù)法機動目錄上頁下頁返回結束第9頁/共52頁一、

為實數(shù),設特解為其中為待定多項式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為為m

次多項式.Q(x)為

m次待定系數(shù)多項式機動目錄上頁下頁返回結束第10頁/共52頁(2)若是特征方程的單根

,為m

次多項式,故特解形式為(3)若是特征方程的重根,是m

次多項式,故特解形式為小結對方程①,此結論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.即即當是特征方程的k重根時,可設特解機動目錄上頁下頁返回結束第11頁/共52頁例8.2求方程的一個特解.解：是二階常系數(shù)非齊次微分方程對應齊次方程的特征方程為由于λ=0不是特征根，故所給方程特解為設所給方程的一個特解為將它帶入所給方程得第12頁/共52頁例8.3求方程的通解.解：是二階常系數(shù)非齊次微分方程對應齊次方程的特征方程為由于λ=2是單特征根，故所給方程特解為設所給方程的一個特解為將它帶入所給方程得對應齊次方程的通解為第13頁/共52頁n階常系數(shù)非齊次微分方程的一般形式為若則上述方程具有形如的特解，其中Qm(x)是與Rm(x)同次的多項式，而k按λ不是特征根和是r重根分別取0和r.第14頁/共52頁例8.5求方程的通解.解：是四階常系數(shù)非齊次微分方程對應齊次方程的特征方程為由于λ=0是二重特征根，故所給方程特解為所給方程的一個特解為將它帶入所給方程得對應齊次方程的通解為第15頁/共52頁二、第二步求出如下兩個方程的特解分析思路:第一步將f(x)轉化為第三步利用疊加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特點機動目錄上頁下頁返回結束第16頁/共52頁第一步利用歐拉公式將f(x)變形機動目錄上頁下頁返回結束第17頁/共52頁

第二步求如下兩方程的特解

是特征方程的k重根(k=0,1),故等式兩邊取共軛:為方程③的特解.②③設則②有特解:機動目錄上頁下頁返回結束第18頁/共52頁第三步求原方程的特解

利用第二步的結果,根據(jù)疊加原理,原方程有特解:原方程

均為

m

次多項式.機動目錄上頁下頁返回結束第19頁/共52頁第四步分析因均為

m

次實多項式.本質上為實函數(shù),機動目錄上頁下頁返回結束第20頁/共52頁例8.6求方程的通解.解：二階常系數(shù)非齊次微分方程對應齊次方程的特征方程為由于不是特征根，故所給方程特解為于是所給方程的一個特解為帶入所給方程得對應齊次方程的通解為第21頁/共52頁例8.7求滿足的特解.解：二階常系數(shù)非齊次微分方程對應齊次方程的特征方程為由于是單特征根，故所給方程特解為所給方程的一個特解為帶入所給方程得對應齊次方程的通解為由初始條件得C1=0,C2=1,第22頁/共52頁例8.8(RLC電路)在一個由電阻R,電感L,電容C和電源E組成的閉合回路中(如圖)，電源電動勢E=100sin60t(V)，電阻R=2(Ω)，電感L=0.1(H)，電容C=1/260(F).如果開始時電路中的電流為零，電容器上的電荷量為零，求該電路接通后電容器上的電荷量隨時間的變化關系.解：設時刻t該回路中的電流為I(t)，電容器上的電荷量為Q(t).有基爾霍夫定律得由電學知識有第23頁/共52頁由題意知初始條件為是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，f(t)=1000sin60t,由于不是特征根，故所給方程特解為帶入所給方程得對應齊次方程的通解為對應齊次方程特征方程為所給方程的一個通解為由初始條件得C1=30/61,C2=36/61,第24頁/共52頁n階常系數(shù)非齊次微分方程具有形如的特解，其中Qm(x)是m次多項式，而k按不是特征根和是r重根分別取0和r.第25頁/共52頁例8.9求的通解.解：三階常系數(shù)非齊次微分方程由于不是特征根，故所給方程特解為所給方程的一個特解為帶入所給方程得對應齊次方程的通解為第26頁/共52頁機動目錄上頁下頁返回結束常系數(shù)線性微分方程四、歐拉方程第27頁/共52頁歐拉方程的算子解法:

則計算繁!機動目錄上頁下頁返回結束第28頁/共52頁則由上述計算可知:用歸納法可證于是歐拉方程轉化為常系數(shù)線性方程:機動目錄上頁下頁返回結束第29頁/共52頁例8.10求的通解.解：作變換即所給方程化為由于不是特征根，故所給方程特解為所給方程的一個特解為帶入所給方程得對應齊次方程的特征方程為第30頁/共52頁例1.解:則原方程化為亦即其根則①對應的齊次方程的通解為特征方程①機動目錄上頁下頁返回結束第31頁/共52頁①的通解為換回原變量,得原方程通解為設特解:代入①確定系數(shù),得機動目錄上頁下頁返回結束第32頁/共52頁例2.解:

將方程化為(歐拉方程)

則方程化為即②特征根:設特解:代入②解得A=1,所求通解為機動目錄上頁下頁返回結束第33頁/共52頁常數(shù),則該方程的通解是().設線性無關函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解,是任意例.提示:都是對應齊次方程的解,二者線性無關.(反證法可證)(89考研)機動目錄上頁下頁返回結束第34頁/共52頁例.

已知微分方程個解求此方程滿足初始條件的特解.解:是對應齊次方程的解,且常數(shù)因而線性無關,故原方程通解為代入初始條件故所求特解為有三機動目錄上頁下頁返回結束第35頁/共52頁例1.的一個特解.解:

本題而特征方程為不是特征方程的根.設所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為機動目錄上頁下頁返回結束第36頁/共52頁例2.求解定解問題解:本題特征方程為其根為設非齊次方程特解為代入方程得故故對應齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得機動目錄上頁下頁返回結束第37頁/共52頁于是所求解為解得機動目錄上頁下頁返回結束第38頁/共52頁例4的一個特解

.解:本題特征方程故設特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù),得于是求得一個特解機動目錄上頁下頁返回結束第39頁/共52頁例5.的通解.

解:特征方程為其根為對應齊次方程的通解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根,因此設非齊次方程特解為機動目錄上頁下頁返回結束第40頁/共52頁例6.解:(1)特征方程有二重根所以設非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設非齊次方程特解為設下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:機動目錄上頁下頁返回結束第41頁/共52頁思考與練習時可設特解為時可設特解為提示:1.(填空)

設機動目錄上頁下頁返回結束第42頁/共52頁2.已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解.解:

將特解代入方程得恒等式比較系數(shù)得故原方程為對應齊次方程通解:原方程通解為機動目錄上頁下頁返回結束第43頁/共52頁例8.11解:由第七節(jié)例1(P293)

知,位移滿足質量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,在無外力作用下做自由運動,初始求物體的運動規(guī)律立坐標系如圖,設t=0時物體的位置為取其平衡位置為原點建因此定解問題為自由振動方程,機動目錄上頁下頁返回結束五、應用舉例第44頁/共52頁方程:特征方程:特征根:利用初始條件得:故所求特解:方程通解:1)無阻尼自由振動情況(

n=0)機動目錄上頁下頁返回結束第45頁/共52頁解的特征:簡諧振動A:振幅,:初相,周期:固有頻率機動目錄上頁下頁返回結束(僅由系統(tǒng)特性確定