微專題25定積分一、基礎(chǔ)知識1、相關(guān)術(shù)語：對于定積分Jbf(x)dxa(1)a(1)a,b:稱為積分上下限，其中a>b(2)f(x):稱為被積函數(shù)(3)J(3)JbQ2+t)d中的被積函數(shù)為f(x)=x2+tx，af(t)=xt+x2而Jb(x2+t)d的被積函數(shù)為adx:稱為微分符號，當被積函數(shù)含參數(shù)時，微分符號可以體現(xiàn)函數(shù)的自變量是哪個，例2、定積分Jbf(x)dx的幾何意義：表示函數(shù)f(x)與x軸，x=a,x=b圍成的面積(x軸上2、JbfG)dx才表示面積。Jbf(x)方部分為正，x軸下方部分為負)和，所以只有當f(JbfG)dx才表示面積。Jbf(x)dx可表示數(shù)f(x)與x軸，x=a,x=b圍成的面積的總和，但是在求定積分時，需要拆掉絕對值分段求解3、定積分的求法：高中階段求定積分的方法通常有2種:(1)微積分基本定理：如果f(x)是區(qū)間［a,b］上的連續(xù)函數(shù)，并且F(x)=f(x)，那么Jbf(x)dx二F(x)Ib=F(b)-F(a)aa使用微積分基本定理，關(guān)鍵是能夠找到以f(x)為導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)F(x)。所以常見的初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)公式要熟記于心：f(x)f(x)=Cf'(x)=0f(x)=xaf'(x)=axa-iff(x)=sinxf(x)=cosxf(x)=axf'f(x)=axf'(x)=axInaf(x)=exf(x)=logxf'(x)=-1xlnaf(x)=lnxf,(x)=」x①尋找原函數(shù)通?？梢浴跋炔略僬{(diào)”，先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的形式猜出原函數(shù)的類型，再調(diào)整系數(shù)，例如：f(x)=x3，則判斷屬于幕函數(shù)類型，原函數(shù)應(yīng)含x4，但(x4)=4x3,而f(x)=x3，所以原函數(shù)為F(x)=1x4+C(C為常數(shù))4②如果只是求原函數(shù)，則要在表達式后面加上常數(shù)C,例如f(x)=2x,則F(x)=x2+,但在使用微積分基本定理時，會發(fā)現(xiàn)F(b)-F(a)計算時會消去C，所以求定積分時，F(xiàn)(x)不需加上常數(shù)。(2)利用定積分的幾何含義：若被積函數(shù)找不到原函數(shù)，但定積分所對應(yīng)的曲邊梯形面積易于求解，則可通過求曲邊梯形的面積求定積分。但要注意曲邊梯形若位于x軸的下方，則面積與所求定積分互為相反數(shù)。4、定積分的運算性質(zhì)：假設(shè)Jbf(x)dx,Jbg(x)dx存在a(1)Jbkf(x)dx=kJbf(x)dx作用：求定積分時可將f(x)的系數(shù)放在定積分外面，不參與定積分的求解，從而簡化f(x)的復(fù)雜程度(2)Jbf(x)土g(x)]dx=Jbf(x)dx±Jbg(x)dxa a a作用：可將被積函數(shù)拆成一個個初等函數(shù)的和，從而便于尋找原函數(shù)并求出定積分，例如J2Q+x+1)dx=J2x2dx+J2xdx+J21dxi i i i其中a<c<b(3)Jbf(x)dx=Jcf(x)dx+Jbf其中a<c<b作用：當被積函數(shù)含絕對值，或者是分段函數(shù)時，可利用此公式將所求定積分按區(qū)間進行拆分，分別求解。則Jaf(x》x則Jaf(x》x=0(a>0)—a貝Jaf(x》x=Jaf(x)dx(a>0)—a 0(1)若f(x)為奇函數(shù)，(2)若f(x)為偶函數(shù)，6、利用定積分求曲面梯形面積的步驟:(1)通過作圖確定所求面積的區(qū)域(2)確定圍成區(qū)域中上，下曲線對應(yīng)的函數(shù)f(x),g(x)(3)若xeta,b]時，始終有f(x)>g(x)，則該處面積為Jb[f(x)—g(x^F^lxa7、有的曲面梯形面積需用多個定積分的和進行表示。需分段通常有兩種情況

(1)構(gòu)成曲面梯形的函數(shù)發(fā)生變化(2)構(gòu)成曲面梯形的函數(shù)上下位置發(fā)生變化，若要面積與定積分的值一致，則被積函數(shù)要寫成“上方曲線的函數(shù)-下方曲線函數(shù)”的形式。所以即使構(gòu)成曲面梯形的函數(shù)不變，但上下位置發(fā)生過變化，則也需將兩部分分開來寫。、典型例題:例1：已知函數(shù)f(Q=為-8A. 12思路：f(x)在[-1,0],(0,1]1例1：已知函數(shù)f(Q=為-8A. 12思路：f(x)在[-1,0],(0,1]1-X2,0<X<13兀+4B. 12的解析式不同J1f(x)dx=』(x+1)2dx+J%11-x2dx，-1則J1f(x)dx=(-14+—C.4-4D. 12所以求定積分時要“依不同而分段”:J0(x+1)2dx=3(x+1)210J\.;1-x24比法找到原函數(shù)，從而考慮其幾何意義：y=<1-x2nx2+y2=1(y>0)，0J1\；1-x2dx為單位圓面積的1，即』1<1-x2dx=—，0 4''0 4'答案：B所以J1f(x)dx=1+—=+3兀-1 34 12小煉有話說：(1)若被積函數(shù)在不同區(qū)間解析式不同時則要考慮將定積分按不同區(qū)間進行拆分(2)若被積函數(shù)具備“\：'一”特征，在無法直接找到原函數(shù)時，可考慮其圖像的幾何意義，運用面積求得定積分，但是要注意判定與定積分符號是否與面積相同r—cos2x,例2：J4 ；一dx=( )0cosx+sinxA.22-1 B.x;2+1 C.v12-1 D.2-<2思路：被積函數(shù)無法直接找到原函數(shù)，但是可以進行化簡。cos2x cos2x-sin2x .f(x)= = =cosx-sinx，所以:cosx+sinxcosx+sinxJ4(cosx-sinx)dx=(sinx+cosx)l：=v2-10答案：C例3：設(shè)f(x)=2x，則J4f(x)dx=-4思路：本題可以通過對X的符號進行分類討論，將fG)寫成分段函數(shù)，再將定積分拆分為兩段分別求解，但若觀察到f(x)為偶函數(shù)，則可利用對稱性得:-42x-42x42xdx=2——304=——ln20ln2答案:30答案:例4：已知J2Qx2+k)dx例4：0A.1B.C.3D.4思路：先按部就班求解定積分，再解出關(guān)于k的方程即可:解：J2(3x2+k)dx=QA.1B.C.3D.4思路：先按部就班求解定積分，再解出關(guān)于k的方程即可:解：J2(3x2+k)dx=Q+kx).?.8+2k=16解得k=4答案：DIx=t例5：由曲線《 (t為參數(shù))和y=x+2圍成的封閉圖形的面積等于Iy=t2思路：所給曲線為參數(shù)方程，考慮化為普通方程為y=x2兩個曲線圖像，可得兩個交點的橫坐標為x=-1,x=2，象可得:S=f2Q+2-x21/x-11、 9-x3|2二一-1 29答案：5例6：設(shè)f(x)=<x2,x￡0]1 /1(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))，則y=f(x)的圖像與x=0,x=e一,x式eJ〔x以及x軸所圍成的圖形的面積為思路：作出圖像可得f(x)恒在x軸的上方，則面積可用定積分表示，但由于兩個區(qū)間的函數(shù)不同，所以要拆成兩個定積分：S=f1x2dx+fe1dx=1x31+Inx0 1x34答案：§ 2」… …,例7：曲線y=—與直線y=x-1,x=4所圍成的封閉圖形的面積為( )xA.2ln2 b.2-ln2 c.4-ln2 d.4-2ln2思路：作出圖像觀察可得：所圍成的區(qū)域上方曲線為y=x-1,下方為y=-,自變量的取值范圍為E,F,其x2y=x思路：作出圖像觀察可得：所圍成的區(qū)域上方曲線為y=x-1,下方為y=-,自變量的取值范圍為E,F,其x2y=xnx=2，F(xiàn)(4,0)y=x-1所以所求面積(-2'.x—1——dx=(1 ?—x2-x-2lnx124=4-2ln22中為答案：D例8：如圖所示，正弦曲線y=sinx，余弦曲線y=cosx與兩直線x=0,x=冗所圍成的陰影部分的面積為（）A.1 B. <2C.2 D,2<2思路：觀察到兩部分陰影區(qū)域，函數(shù)的上下位置不同，所以考慮面積用兩段定積分表示，在[o,九]中，y=sinx與y=cosx的交點橫坐標為x='，（c九、一...所以0,—時，余弦函數(shù)位于上方I47S=J4(cosx-sinx)dx，o，兀、 「在-,兀處，正弦函數(shù)位于上方，S\4 7 :'=J，(sinx-cosx)dx正4所以S=S+S=J：(cosx-sinx)dx+J兀(sinx-cosx)dx=2<12兀.4答案：D小煉有話說：（1）在求曲線圍成的面積時，可遵循被積函數(shù)始終“上一下”的原則，如果函數(shù)發(fā)生變化或上下位置改變時，則可以將面積分割為若干段，分別求定積分即可（2）本題還可以采用“填補法”觀察到左邊較小陰影部分與x=兀右側(cè)部分中心對稱，所以面積相同，從而可將較小陰影部分填補至x=兀右側(cè)。新的陰影部分始終y=sinx位于上方，兀5兀可求得陰影部分位于-,—兀5?？汕蟮藐幱安糠治挥?,—44A.1B.2C.3D.4所以S=J4(sinx-cosx)dx=2<2x4例9：已知a<b，若函數(shù)f(x),g(x)滿足Jbf(x)dx=Jbg(x)dx，則稱f(x),g(x)為區(qū)a間［a,b］上的一組“等積分”函數(shù)，給出四組函數(shù):f(x)=2|x|,g(x)=x+1②f(f(x)=2|x|,g(x)=x+1f(x)=<1-x2,g(x)=3兀x2函數(shù)f(x),g(x)分別是定義在［-1,1］上的奇函數(shù)且積分值存在其中為區(qū)間［-1,1］上的“等積分”函數(shù)的組數(shù)是( )思路：按照“等積分”的定義，只需計算出兩個函數(shù)在［-1,1］處的積分，再判斷是否相等即可。解：①J1f(x)dx=J12|x|dx=4J1xdx=4--1-1J1-1-1J1g(x)dx=J1(x+1)dx=0)-x2+x-i-11=2-1/.J1f(x)dx=J1g(x)dx所以①為“等積分”-1②f(x)為奇函數(shù)，-1g(x)為偶函數(shù)/.J1f-1②f(x)為奇函數(shù)，-1g(x)為偶函數(shù)/.J1f(x)dx=0-1J1g(x)d若J%osxdx￡1③由幾何含義可得:cos的dx2s1idnx2sin10-1 -1 0J1f(x)dx=J1v1-x2dx=—x-1 211=-x-12-1J1g(x)dx=J1—x2dx=—xx3-1 -14 4/.J1f(x)dx=J1g(x)dx-1-1所以③為一組“等積分”函數(shù)④因為f(x),g(x)為奇函數(shù)所以...J1f(x)dx=J1g(x)dx=0-1-1④為一組“等積分”函數(shù)綜上所述，①③④為“等積分”函數(shù)答案：C例10：已知函數(shù)fG)=ex-1,直線ljx=1,12:y=例10：已知函數(shù)fG)=ex-1,直線ljx=1,12:y=et-1(t為常數(shù)，且0<t<1)，直線l1，12與函數(shù)f(x)的圖像圍成的封閉圖形如圖中陰影所示，當t變化時陰影部分的面積的最小值為 思路：可解得f(4)與直線l的交點為(t,et-1),從而用t可表示出陰2影部分面積：S=S+S=JTe-1-(ex-1)dx+1 2 °L 」J1[Q-1)-(et-)tdx,化簡后可得:S(t)=2tet-3et+e+1，再通過導(dǎo)數(shù)分析S(t)單調(diào)性即可求出S(t)的最小值解：f(x*12的交點為：f(x)=et-1nex-1=et-1，解得：x=t所以陰影面積S=S+S=JTet-1-(ex

1 2 0L-1力dx+J1[(ex-1)-(et-0tdx=Jt(et-ex)dx+J1Qx-e)dx0(etx-ex")t+

0t(ex-etx)1=2tet-3et+e+1t設(shè)S(t)=2tet-3et+e+1，則S'(t)=2tet-et=et(21-