第11章濾波器設計11.1濾波器的設計基礎1.分貝

首先，兩個功率值可以通過下面的公式（11.1.1）進行比較。比值的單

（11.1.1）

1個貝爾的增益是電路中放大后與放大前的功率比值（11.1.2）

因而使用分貝來表示兩個功率,的比值，應

如果，則此環(huán)節(jié)沒有作增益或者衰減，dB＝0。如果，則此環(huán)節(jié)應作了增益，dB>0，分貝值為正。如果，則此環(huán)節(jié)應作了衰減，dB<0，分貝值為負。有一個非常典型的分貝值，往往在揚聲器中使用這個功率點。如果兩個功率僅是增加1倍的話，也就是，則用分貝表示為

同樣，也可以使用分貝來表示電壓增益。對于純電阻，功率可以表示為

（11.1.4）

式中用下標u表示為電壓增益，與功率增益區(qū)分開來。

已知某系統(tǒng)電路的輸入信號為2mv，輸出電壓為1.2V，請用分貝表示電壓增益的大小。例1如果直接計算電壓增益，則有。解：2濾波器的定義與分類

一般來說，濾波器可以分為兩類：

（1）無源濾波器――電路由R、L、C串聯(lián)或并聯(lián)構成；

（2）有源濾波器――由有源器件，比如晶體管、運放，結合R、L、C無源器件構成電路網絡。

自60年代以來，集成運算放大器獲得了迅速的發(fā)展。由集成運算放大器和R、C組成的有源濾波電路，具有不用電感、體積小、重量輕等特點。此外，由于集成運算放大器的開環(huán)增益和輸入阻抗均很高，輸出阻抗又低，構成有源濾波電路后還具有一定的電壓放大和緩沖作用。不過，因受運算放大器帶寬的限制，這類濾波器目前還僅多應用于低頻范圍。根據頻率范圍可將其分為低通、高通、帶通與帶阻等四種濾波器。四種濾波器的衰減特性如下圖所示。

3頻率和阻抗的歸一化

濾波器在電子設備中的應用極其廣泛，不同的設備對濾波器的要求相差很大，有的要求工作頻率高，有的要求工作頻率低，負載阻抗也不一樣，因此構成濾波器的各元件值的大小就有可能有相當大的差異。為了簡化計算，通常先將頻率和阻抗（即元件R、L、C的數(shù)值）歸一化后再進行綜合設計，待設計完畢再將計算所得的濾波器的各參數(shù)還原成實際數(shù)值。

歸一化的頻率等于角頻率除以截止頻率，即

是無量綱的量，對應于截止頻率時，。

（2）電感歸一化值因為一定頻率下，電感的阻抗為，所以歸一化值為

為設計所需要的截止頻率，為上述的歸一化頻率，歸一化電感為

（11.1.12）

（3）電容的歸一化值為。一定頻率下，電容的阻抗為

則歸一化后的阻抗為

歸一化電容為

（11.1.13）

11.2.1巴特沃思逼近的概念

從信號處理要求出發(fā)，一個理想低通濾波器的幅頻特性應如下面的右圖所示，圖中，。

11.2有源濾波器該特性曲線表明低通濾波器允許信號中角頻率低于的分量毫無衰減地通過，而阻止角頻率高于的任何分量，使它們完全不通過，故稱為截止（角）頻率，而以0到的范圍為通帶，到的范圍為阻帶。但是實際上，沒有任何一個線性非時變集總電路可以實現(xiàn)這一理想特性。因為線性集總電路的轉移函數(shù)總是的有理函數(shù)，故其模值應是的連續(xù)函數(shù)，且不可能在任何頻帶上為常數(shù)，除非它在所有頻率上均為常數(shù)。

因此一個實際低通濾波器電路的電壓轉移函數(shù)的幅頻特性只能以一定的精度近似于理想特性。設計過程的第一步是要找到一個可實現(xiàn)的電壓轉移函數(shù)，使它的幅度頻率響應能滿足設計所規(guī)定的要求，巴特沃思逼近就是獲得符合這種要求的轉移函數(shù)的方法之一。除此之外，還有切比雪夫逼近，它的優(yōu)點是如果在給定帶內所允許的紋波差，可以改善其波動響應特性。下圖繪出了時的曲線。從圖示曲線可見，當時，將趨于理想低通濾波器的幅頻響應，這就是說，可以通過選擇合適的值，使之在任意精度內近似于理想低通濾波器幅頻特性。確定一個歸一化的巴特沃思低通濾波器的例11.2.1首先確定濾波器的階數(shù)。按通帶要求，有解：，使其滿足下列要求：（1）通帶內（2）阻帶內由此得，故選。于是根據式（11.2.2）和表（11.2.1）可得滿足設計要求的轉移函數(shù)由此得，按阻帶要求有

11.2.2有源二階電路頻率特性

用一階電路只能實現(xiàn)低通和高通頻率特性。帶通和帶阻特性必須使用二階（或二階以上）RLC無源或有源電路來實現(xiàn)。而用有源電路實現(xiàn)的二階選頻電路，可以避免使用電感元件，便于控制或提高Q值，實現(xiàn)傳遞函數(shù)的幅度增益等。下面用例題來說明有源電路對二階頻率特性的實現(xiàn)。

(2)由于，即，取電阻，則，根據

得

根據前面對二階低通頻響的討論，可以算出幅頻特性有最大值，得

因此，幅頻曲線有一個5倍于通帶增益的諧振峰值。

（1）在圖（a）中，運放與組成一個電阻性同相放大器電路，其增益為，在s域模型中，我們把這部分電路等效為一個受控源，如圖（b）所示。對于圖（b）電路列出s域節(jié)點方程，找出關系。例11.2.3下圖（a）為RC雙T運放電路，試證明其關系為帶阻濾波器。選擇電路元件參數(shù)，在輸出中抑制頻率成分。要求。（a）（b）

解：從中解出

對比二階帶阻傳遞函數(shù)原型，可知其中

因此，時，，信號被完全抑制。

11.3濾波器的快速設計方法

常用的逼近方法有巴特沃思（butterworth）最大平坦響應和切比雪夫（chebysher）波動響應。在不允許帶內有波動時，用巴特沃思響應較好。如果給定帶內所允許的紋波差，則用切比雪夫響應較好。本節(jié)主要介紹具有巴特沃思響應的二階RC有源濾波器的設計。一階低通有源濾波器如下圖（a），其傳遞函數(shù)為

（11.3.2）

（11.3.1）

截止角頻率為，直流增益為。一階高通有源濾波器如下圖（b），其傳遞函數(shù)為（a）（b）

二階RC濾波器的傳輸函數(shù)如書中表11.3.1所示。其常用電路有電壓控制電壓源（VCVS）電路和無限增益多路反饋（MFB）電路。上圖（a）所示電路為壓控電壓源電路，其中運放為同相輸入，輸入阻抗很高，輸出阻抗很低，濾波器相當于一個電壓源，故稱電壓控制電壓源電路。其優(yōu)點是電路性能穩(wěn)定、增益容易調節(jié)。圖（b）所示電路為無限增益多路反饋電路，其中運放為反相輸入，輸出端通過形成兩條反饋支路，故稱無限增益多路反饋電路。其優(yōu)點是電路有倒相作用，使用元件較少，但增益調節(jié)對其性能參數(shù)會有影響，故應用范圍比VCVS電路要小。

（a）（b）通常C的容量宜在數(shù)量級以下，R的數(shù)值一般約為幾百千歐以內。選擇C＝0.047，則解（1）選擇電容器C的容量，計算電阻R的阻值。參看表11.3.1中的低通濾波函數(shù)，并考慮－3dB截止角頻率，則令并對照表11.2.1中的情況，

有

由圖可得到電路的傳遞函數(shù)為

由上式可知

（2）求值

考慮到運放兩輸入端的外接電阻必須滿足平衡條件，即，這樣和聯(lián)解，可得和。由于濾波器性能對元件的誤差比較靈敏，電路宜選用穩(wěn)定而精密的電阻器和電容器。例11.3.2解設計一個二階無限增益多路反饋高通濾波器，要求截止頻率增益首先根據圖11.3.2二階無限增益多路反饋低通濾波電路，R與C互換位置，可得到如下圖所示的高通電路。

對電路參數(shù)進行實驗測試，可以看到信號的增益低于理想值。在測高通濾波器幅頻特性時，應注意隨著頻率升高，信號發(fā)生器的輸出幅度可能下降，從而出現(xiàn)濾波器的輸入信號與輸出信號同時下降的現(xiàn)象。這時應調整輸入信號的幅度，使其輸出保證原值不變。例11.3.3下圖為含有3個運放的Two-Thomas濾波電路，試求電壓傳遞函數(shù)和，并給出濾波函數(shù)的和的表達式。

解運放A1及有關無源元件組成有損積分器，對A1反相端應用KCL顯然，為帶通濾波器，而為低通濾波器。其中A2和，組成反相積分器，而A3及兩個電阻R組成反相比例器，因此有求解兩式得：例11.3.4用級聯(lián)方法設計一有源RC電路，實現(xiàn)下式傳遞函數(shù)解設取。可用圖（a）實現(xiàn)，其中根據題目要求，，若取，比較有關系數(shù)，得可用sallen－key低通濾波電路實現(xiàn)，如圖(b)，其中由于，可取