2022年度湖南省郴州市資興第三中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知m為直線,為不同的平面，下列命題正確的是(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：D略2.如圖所示，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1內(nèi)接于半徑為的半球O，四邊形ABCD為正方形，則該四棱柱的體積最大時(shí)，AB的長是（）A．1 B． C． D．2參考答案：D【考點(diǎn)】LR：球內(nèi)接多面體．【分析】設(shè)AB=a，BB1=h，求出a2=6﹣2h2，故正四棱柱的體積是V=a2h=6h﹣2h3，利用導(dǎo)數(shù)，得到該正四棱柱體積的最大值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)AB=a，BB1=h，則OB=a，連接OB1，OB，則OB2+BB12=OB12=3，∴=3，∴a2=6﹣2h2，故正四棱柱的體積是V=a2h=6h﹣2h3，∴V′=6﹣6h2，當(dāng)0＜h＜1時(shí)，V′＞0，1＜h＜時(shí)，V′＜0，∴h=1時(shí)，該四棱柱的體積最大，此時(shí)AB=2．故選：D．3.如圖所示，是定義在[0，1]上的四個(gè)函數(shù)，其中滿足性質(zhì)：“對[0，1]中任意的x1和x2，任意恒成立”的只有

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A略4.已知向量，滿足＝3，＝2，＝5，則在方向上的投影是A．

B．

C．

D．參考答案：D5.定義在上的函數(shù)，滿足，，若，且，則有（

）A.

B.

C.

D.不確定參考答案：A略6.設(shè)a，b，c都是正實(shí)數(shù)，且a，b滿足，則使a＋b≥c恒成立的c的范圍是()A．(0,8]

B．(0,10]

C．(0,12] D．(0,16]參考答案：D7.（5分）（2006?廣東）若復(fù)數(shù)z滿足方程z2+2=0，則z3=（）A．B．C．D．參考答案：D考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算．分析：先求復(fù)數(shù)z，再求z3即可解答：解：由，故選D．點(diǎn)評(píng)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．8.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的三視圖與直觀圖【試題解析】該幾何體是半個(gè)圓錐，故

故答案為：A9.定義在R上的函數(shù)y=f（x）是減函數(shù)，且函數(shù)y=f（x﹣1）的圖象關(guān)于（1，0）成中心對稱，若s，t滿足不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2）．則當(dāng)1≤s≤4時(shí)，的取值范圍是(

)A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合；函數(shù)解析式的求解及常用方法．【專題】計(jì)算題；綜合題；壓軸題．【分析】首先由由f（x﹣1）的圖象關(guān)于（1，0）中心對稱知f（x）的圖象關(guān)于（0，0）中心對稱，根據(jù)奇函數(shù)定義與減函數(shù)性質(zhì)得出s與t的關(guān)系式，然后利用不等式的基本性質(zhì)即可求得結(jié)果．【解答】解析：由f（x﹣1）的圖象相當(dāng)于f（x）的圖象向右平移了一個(gè)單位又由f（x﹣1）的圖象關(guān)于（1，0）中心對稱知f（x）的圖象關(guān)于（0，0）中心對稱，即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)得f（s2﹣2s）≤f（t2﹣2t），從而t2﹣2t≤s2﹣2s，化簡得（t﹣s）（t+s﹣2）≤0，又1≤s≤4，故2﹣s≤t≤s，從而，而，故．故選C．【點(diǎn)評(píng)】題綜合考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性知識(shí)；同時(shí)考查由最大值、最小值求取值范圍的策略，以及運(yùn)算能力，屬中檔題．10.已知函數(shù)是定義在(－∞,－2)∪(2,+∞)上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的解集是（

）A.(－∞,－2)∪(3,4) B.(－∞,－3)∪(2,3)C.(3,4) D.(－∞,－2)參考答案：A【分析】畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象列不等式，由此求得的解集.【詳解】畫出函數(shù)圖象如下圖所示，由圖可知，或，解得.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查函數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f(x)＝|x－2|，若a≠0，且a，b∈R，都有不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|·f(x)成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

.參考答案：[0,4]12.某小學(xué)對學(xué)生的身高進(jìn)行抽樣調(diào)查，如圖，是將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，由圖中數(shù)據(jù)可知a＝▲．參考答案：略13.如圖，在等腰三角形中，已知分別是邊上的點(diǎn)，且其中若的中點(diǎn)分別為且則的最小值是

．參考答案：14.C.（幾何證明選講）如圖，是圓O的切線，切點(diǎn)為，.是圓O的直徑，與圓交于B，，則

參考答案：15.在等差數(shù)列{an}中，，則___________.參考答案：1【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得答案．【詳解】根據(jù)題意，等差數(shù)列{an}中，＝2，則（）＝1；故答案為116.已知變量x、y滿足條件則的最大值是______.

參考答案：617.（13）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是

.參考答案：16π-16三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），直線C2的方程為y=，以O(shè)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，（1）求曲線C1和直線C2的極坐標(biāo)方程；（2）若直線C2與曲線C1交于A，B兩點(diǎn)，求+．參考答案：【考點(diǎn)】Q4：簡單曲線的極坐標(biāo)方程；QH：參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，即可得出結(jié)論；（2）利用極坐標(biāo)方程，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求+．【解答】解：（1）曲線C1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），直角坐標(biāo)方程為（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，即x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，極坐標(biāo)方程為ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+7=0直線C2的方程為y=，極坐標(biāo)方程為tanθ=；（2）直線C2與曲線C1聯(lián)立，可得ρ2﹣（2+2）ρ+7=0，設(shè)A，B兩點(diǎn)對應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2，則ρ1+ρ2=2+2，ρ1ρ2=7，∴+==．19.（本小題滿分12分）

將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣洌∏蛟谡麄€(gè)下落過程中它將3次遇到黑色障礙物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時(shí)，向左、右兩邊下落的概率都是．（Ⅰ）求小球落入袋中的概率；（Ⅱ）在容器入口處依次放入2個(gè)小球，記落入袋中的小球個(gè)數(shù)為，試求的分布列和的數(shù)學(xué)期望．參考答案：解：（Ⅰ）當(dāng)且僅當(dāng)小球一直向左落下或一直向右落下時(shí)小球才會(huì)落入袋中，故．

………5分（Ⅱ）記“小球落入袋中”為事件，“小球落入袋中”為事件，則事件與事件為對立事件，從而．

………8分顯然，的取值為0、1、2，且；；．

的分布列為012p故

………12分（或由隨機(jī)變量，故）略20.如圖，AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)M，E是CD延長線上一點(diǎn)，AB=10，CD=8，3ED=4OM，EF切圓O于F，BF交CD于G．（1）求證：△EFG為等腰三角形；（2）求線段MG的長．參考答案：【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段．【分析】（1）連接AF，OF，則A，F(xiàn)，G，M共圓，∠FGE=∠BAF，證明∠EFG=∠FGE，即可證明：△EFG為等腰三角形；（2）求出EF=EG=4，連接AD，則∠BAD=∠BFD，即可求線段MG的長．【解答】（1）證明：連接AF，OF，則A，F(xiàn)，G，M共圓，∴∠FGE=∠BAF∵EF⊥OF，∴∠EFG=∠BAF，∴∠EFG=∠FGE∴EF=EG，∴△EFG為等腰三角形；（2）解：由AB=10，CD=8可得OM=3，∴ED=OM=4EF2=ED?EC=48，∴EF=EG=4，連接AD，則∠BAD=∠BFD，∴MG=EM﹣EG=8﹣4．21.如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）證明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值．參考答案：解：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B，因?yàn)镃A=CB，所以O(shè)C⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1⊥AB，又因?yàn)镺C∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交線為AB，所以O(shè)C⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC兩兩垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正向，||為單位長，建立如圖所示的坐標(biāo)系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），則=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），設(shè)=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因?yàn)橹本€與法向量的余弦值的絕對值等于直線與平面的正弦值，故直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為：．考點(diǎn)：用空間向量求直線與平面的夾角；直線與平面垂直的性質(zhì)；平面與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．專題：空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B，由已知可證OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，進(jìn)而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易證OA，OA1，OC兩兩垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正向，||為單位長，建立坐標(biāo)系，可得，，的坐標(biāo)，設(shè)=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則，可解得=（，1，﹣1），可求cos＜，＞，即為所求正弦值．解答：解：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B，因?yàn)镃A=CB，所以O(shè)C⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1⊥AB，又因?yàn)镺C∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交線為AB，所以O(shè)C⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC兩兩垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正向，||為單位長，建立如圖所示的坐標(biāo)系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），則=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，