第05講極值點(diǎn)偏移:平方型參考答案與試題解析一．解答題（共9小題）1．（2021?廣州一模）已知函數(shù)． （1）證明：曲線在點(diǎn)，（1）處的切線恒過定點(diǎn)；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，證明：．【解答】證明：（1），（1），又（1），曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，即，當(dāng)時(shí)，，故直線過定點(diǎn)，；（2），是的兩個(gè)零點(diǎn)，且，，可得，，令，，構(gòu)造函數(shù)，，令，則，則在上單調(diào)遞增，而（2），，則在上單調(diào)遞增，（2），可得，則，即，則．2．（2021?浙江開學(xué)）已知，（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，求證：．【解答】解：，，時(shí)，，，時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；時(shí)，，時(shí)，增區(qū)間為：；時(shí)，，，時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；綜上：時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；時(shí)，增區(qū)間為：；時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；（Ⅱ）證法一：由（1）知，時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；且時(shí)，，，函數(shù)的大致圖像如下圖所示：因?yàn)闀r(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，所以，即，不妨設(shè)，則，先證：，即證：，因?yàn)?，所以，又在單調(diào)遞增，所以即證：又，所以即證：，，令函數(shù)，，則，因?yàn)?，所以，，故，函?shù)在單調(diào)遞增，所以，因?yàn)椋?，，即，所以．（Ⅱ）證法二：因?yàn)闀r(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，則兩個(gè)零點(diǎn)必為正實(shí)數(shù)，，問題等價(jià)于有兩個(gè)正實(shí)數(shù)解；令則，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，令，，則，所以在單調(diào)遞增，，又，故，，又，所以，又，所以，，又在單調(diào)遞增，所以，所以．3．（2021秋?泉州月考）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且，，，證明：．【解答】解：（1）函數(shù)，則，令，解得，若，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：因?yàn)椋瑑蛇吶?duì)數(shù)，可得，即，所以，此時(shí)當(dāng)時(shí)，存在且，，，滿足；由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，所以，，①若，，則成立；②若，則，記，，則，所以在上單調(diào)遞增，則（1），即，所以，因?yàn)椋?，又，在上單調(diào)遞減，所以，即，又，，以上兩式左右分別相加，可得，即，綜合①②可得，．4．（2021?開封三模）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，對(duì)于任意，證明：．【解答】解：（1）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，，此時(shí)在上單調(diào)遞減；綜上可知：當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是．（2）證明：由，，，由于，所以．設(shè)，故：，令，則，由于，故，則在上單調(diào)遞增，故（1），即：所證不等式成立．5．（2021?浙江模擬）函數(shù)．（1）若，求函數(shù)在處的切線；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，（?。┣髮?shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）證明：．【解答】解：（1）設(shè)，，（1），且（1），切線方程：．（2）函數(shù)，，若，則單調(diào)，至多一個(gè)零點(diǎn)；若，則，在上是增函數(shù)，上是減函數(shù)，，．證明：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，由極值點(diǎn)可得，，只需證，即證，即證，即證，即證成立．6．（2021春?渝中區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，，函數(shù)的唯一極小值點(diǎn)為，點(diǎn)，和，是曲線上不同兩點(diǎn)，且，求證：．【解答】（1）的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由題意得，不妨設(shè)，由，得，即，且，所以，要證，即證，顯然在上是增函數(shù)，故只需證，即證，即證，即證，又由于，故只需證，即證，令，則，所以即證．令，則，所以在上為減函數(shù)，從而（1），即有，從而成立．7．（2021?成都模擬）已知函數(shù)，其中，，．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；（Ⅱ）若函數(shù)在，上恰有兩個(gè)極小值點(diǎn)，，求的取值范圍；并判斷是否存在實(shí)數(shù)，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則，設(shè)，則在上恒成立，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，函數(shù)的值域?yàn)?；（Ⅱ），在上為偶函?shù)，函數(shù)在上恰有兩個(gè)極小值點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)在上恰有一個(gè)極小值點(diǎn)，設(shè)，則，①當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，，則，在上單調(diào)遞減，無極小值；②當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，，則，在上單調(diào)遞增，無極小值；③當(dāng)時(shí)，存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，又，當(dāng)，即時(shí)，，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，無極小值；當(dāng)，即時(shí)，，則存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上恰有一個(gè)極小值點(diǎn)，此時(shí)是函數(shù)的極大值點(diǎn)，當(dāng)函數(shù)在上恰有兩個(gè)極小值點(diǎn)時(shí)的取值范圍為；，若，則，由知，，，整理可得，又，，存在，使得成立．8．（2021?潮州二模）已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）若，是方程的兩個(gè)不同的正實(shí)根，證明：．【解答】解：（1），，令，△，當(dāng)時(shí)，△，，無極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，解得：，當(dāng)，，時(shí)，，遞增，，時(shí)，，遞減，故極大值點(diǎn)是，極小值點(diǎn)是；綜上：時(shí)，無極值點(diǎn)，時(shí)，極大值點(diǎn)是，極小值點(diǎn)是；（2）由，即，令，，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在遞減，在，上遞增，又有2個(gè)零點(diǎn)，，即，解得：，且，兩式相減得：，設(shè)，，，要證明，即證明，，，即證明，令，，在上單調(diào)遞減，（1），即．9．（2021?攀枝花模擬）已知函數(shù)有最小值，且．（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）當(dāng)取得最大值時(shí)，設(shè)（b），有兩個(gè)零點(diǎn)為，，證明：．【解答】解：（Ⅰ）有題意，當(dāng)時(shí)，，在上單增