江西省萍鄉(xiāng)市黃岡學(xué)校2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若函數(shù)在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是A．

B．或

C．

D．參考答案：B略2.已知三棱錐P﹣ABC的所有頂點(diǎn)都在半徑為1的球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，PC為球O的直徑，則該三棱錐的底面ABC上的高為（）A． B． C． D．參考答案：【考點(diǎn)】球內(nèi)接多面體．【專題】綜合題；方程思想；綜合法；立體幾何．【分析】根據(jù)題意，利用截面圓的性質(zhì)即可求出點(diǎn)O到平面ABC的距離，進(jìn)而求出點(diǎn)P到平面ABC的距離．【解答】解：因?yàn)椤鰽BC是邊長為1的正三角形，所以△ABC外接圓的半徑r=，所以點(diǎn)O到平面ABC的距離d=，PC為球O的直徑，點(diǎn)P到平面ABC的距離為2d=，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查三棱錐的底面ABC上的高，考查學(xué)生的計(jì)算能力，求出點(diǎn)O到平面ABC的距離，進(jìn)而求出點(diǎn)P到平面ABC的距離是關(guān)鍵．3.已知兩個(gè)不共線向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，則下列說法不正確

的是A．(a＋b)⊥(a－b)

B．a(chǎn)與b的夾角等于α－βC．|a＋b|＋|a－b|>2

D．a(chǎn)與b在a＋b方向上的投影相等參考答案：Ba＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，則|a|＝|b|＝1，設(shè)a，b的夾角是θ，則cosθ＝＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，∴θ與α－β不一定相等4.已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列{an}滿足a4﹣2a72+3a8=0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7=a7，則b2b8b11等于(

) A．1 B．2 C．4 D．8參考答案：D考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由已知方程結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解a7，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解答案．解答： 解：∵數(shù)列{an}是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，由a4﹣2+3a8=0，得，，，∴，解得：a7=2．則b7=a7=2．又?jǐn)?shù)列{bn}是等比數(shù)列，則b2b8b11=．故選：D．點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．5.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的對應(yīng)點(diǎn)位于（

）A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限參考答案：B略6.已知雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M與雙曲線C的焦點(diǎn)不重合，點(diǎn)M關(guān)于F1，F(xiàn)2的對稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在雙曲線的右支上，若|AN|﹣|BN|=12，則a=（）A．3 B．4 C．5 D．6參考答案：A【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)已知條件，作出圖形，MN的中點(diǎn)連接雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，便會(huì)得到三角形的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)及雙曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對值為2a，求出||AN|﹣|BN||，可得結(jié)論．【解答】解：設(shè)雙曲線C的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，如圖，連接PF1，PF2，∵F1是MA的中點(diǎn)，P是MN的中點(diǎn)，∴F1P是△MAN的中位線，∴|PF1|=|AN|，同理|PF2|=|BN|，∴||AN|﹣|BN||=2||PF1|﹣|PF2||，∵P在雙曲線上，根據(jù)雙曲線的定義知：||PF1|﹣|PF2||=2a，∴||AN|﹣|BN||=4a=12，∴a=3．故選A．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，同時(shí)考查三角形的中位線，運(yùn)用定義法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．7.設(shè)函數(shù),則（）A．

B．3

C．

D．參考答案：D8.若集合

（

）

A．[—1，0]

B．

C．

D．參考答案：答案：B9.正方體ABCD﹣A1B1C1D1中E為棱BB1的中點(diǎn)（如圖），用過點(diǎn)A，E，C1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的左視圖為（）A. B. C. D.參考答案：C試題分析：如圖補(bǔ)全過的平面，將上半部分切去，所以左視圖如C選項(xiàng)，故選C.考點(diǎn)：三視圖10.化簡=（）A．1 B．2 C． D．﹣1參考答案：B【考點(diǎn)】二倍角的余弦；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【分析】用倍角公式化簡后，再用誘導(dǎo)公式即可化簡求值．【解答】解：===2．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考察了二倍角的余弦公式的應(yīng)用，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知三個(gè)平面，若，且與相交但不垂直，直線分別為內(nèi)的直線，給出下列命題：①任意；

②任意；

③存在；④存在；

⑤任意；

⑥存在.其中真命題的序號(hào)是_________.（把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）參考答案：④⑥略12.如圖，在圓中有結(jié)論：“是圓的直徑，直線、是圓過、的切線，是圓上任意一點(diǎn)，是過的切線，則有．”類比到橢圓：“是橢圓的長軸，，是橢圓的焦點(diǎn)，直線、是橢圓過、的切線，是橢圓上任意一點(diǎn)，是過的切線，則有

；參考答案：13.從2男3女共5名同學(xué)中任選2名（每名同學(xué)被選中的機(jī)會(huì)均等），這2名都是男生或都是女生的概率等于．參考答案：【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】計(jì)算從2男3女5名學(xué)生中任選2名學(xué)生和選出的2名都是男同學(xué)或都是女同學(xué)的選法種數(shù)，利用古典概型概率公式計(jì)算可得答案．【解答】解：從2男3女5名學(xué)生中任選2名學(xué)生有=10種選法；其中選出的2名都是女同學(xué)的有=3種選法，其中選出的2名都是男同學(xué)的有=1種選法，∴這2名都是男生或都是女生的概率是=，故答案為：．14.若存在實(shí)數(shù)，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：

略15.在曲線xy=1上，橫坐標(biāo)為的點(diǎn)為An，縱坐標(biāo)為的點(diǎn)為Bn，記坐標(biāo)為（1，1）的點(diǎn)為M，Pn（xn，yn）是△AnBnM的外心，Tn是{xn}的前n項(xiàng)和，則Tn=

．參考答案：考點(diǎn)：數(shù)列的求和．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由已知可得An，Bn，則線段AnBn的垂直平分線為y=x．可得線段AnM的垂直平分線為：=，把y=x代入解得xn．再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．解答： 解：由已知可得An，Bn，則線段AnBn的垂直平分線為y=x．線段AnM的垂直平分線為：=，把y=x代入解得xn=2+．∴{xn}的前n項(xiàng)和Tn=2n++…+=2n+=2n+=．故答案為：．點(diǎn)評：本題考查了線段的垂直平分線及其性質(zhì)、三角形的外心、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．16.已知，則

.參考答案：-4函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以，解得，所以，所以，所以。17.已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長等于

參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，過點(diǎn)和的直線與原點(diǎn)的距離為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知定點(diǎn)，若直線與橢圓交于C、D兩點(diǎn)．問：是否存在k的值，使以為直徑的圓過點(diǎn)?請說明理由．參考答案：（Ⅰ）直線AB方程為：依題意解得

∴橢圓方程為． 4分（Ⅱ）假若存在這樣的k值，由得．∴① 6分設(shè)，、，，則② 7分而． 8分要使以CD為直徑的圓過點(diǎn)E（-1，0），當(dāng)且僅當(dāng)CE⊥DE時(shí)，則，即

∴

③將②式代入③整理解得． 10分經(jīng)驗(yàn)證，，使①成立． 11分綜上可知，存在，使得以CD為直徑的圓過點(diǎn)E． 12分19.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)A（1，f(1)）處的切線平行于x軸.(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(Ⅱ)證明：當(dāng)a=-3時(shí)，對任意，都有.參考答案：解：(Ⅰ)，，∴，∴

……1分.

(1)當(dāng)時(shí)，，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；

………2分(2)當(dāng)時(shí)，=0的兩個(gè)根為x1=1和x2=，若，則，由得或,由得；∴的遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為.

…4分若，則，由得,由得或，∴的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為和.

……6分

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，由(Ⅰ)知，函數(shù)在為減函數(shù)，∴，，，∴對任意，，即．

……………12分略20.（1）是否存在正整數(shù)的無窮數(shù)列，使得對任意的正整數(shù)n都有。（2）是否存在正無理數(shù)的無窮數(shù)列，使得對任意的正整數(shù)n都有。參考答案：解析：（1）假設(shè)存在正整數(shù)數(shù)列滿足條件。又所以有對n=2，3，4，…成立。所以。設(shè)，取，則有，這與是正整數(shù)矛盾。所以不存在正整數(shù)數(shù)列滿足條件。（2）就是滿足條件的一個(gè)無理數(shù)數(shù)列。此時(shí)有。

21.（本大題12分）

某出版社新出版一本高考復(fù)習(xí)用書，該書的成本為元一本，經(jīng)銷過程中每本書需

付給代理商元的勞務(wù)費(fèi)，經(jīng)出版社研究決定，新書投放市場后定價(jià)為

元一本，，預(yù)計(jì)一年的銷售量為萬本.

（Ⅰ）求該出版社一年的利潤（萬元）與每本書的定價(jià)的函數(shù)關(guān)系式；

（Ⅱ）若時(shí)，當(dāng)每本書的定價(jià)為多少元時(shí)，該出版社一年利潤最大，并求出

的最大值.

參考答案：（1）

（2）略22.（12分）某項(xiàng)科研活動(dòng)共進(jìn)行了5次試驗(yàn)，其數(shù)據(jù)如表所示：特征量第1次第2次第3次第4次第5次x555559551563552y601605597599598（Ⅰ）從5次特征量y的試驗(yàn)數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取兩個(gè)數(shù)據(jù)，求至少有一個(gè)大于600的概率；（Ⅱ）求特征量y關(guān)于x的線性回歸方程；并預(yù)測當(dāng)特征量x為570時(shí)特征量y的值．（附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，）參考答案：【考點(diǎn)】線性回歸方程．【分析】（Ⅰ）利用對立事件的概率公式，可得結(jié)論；（Ⅱ）求出回歸系數(shù)，即可求特征量y關(guān)于x的線性