函數(shù)的積分第六章§1.定積分的概念和性質(zhì)一、定積分的概念1.曲邊梯形面積曲邊梯形圓的面積的計(jì)算

割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣.––––劉徽《九章算書注》????????????曲邊梯形面積A的計(jì)算(1)分割：a=x0<x1<…<xi–1<xi<…<xn=b分割[a,b]得:[xi–1,xi](i=1,2,…,n)且記xi=xi–xi–1任取分點(diǎn)：(2)作近似：任取

i[xi–1,xi],Aif(i)xi(i=1,2,…,n)(3)求和：作(4)取極限1≤i≤n2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程0abttiti–1

已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度v=v(t).求在時(shí)間段[a,b]內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程s.勻速運(yùn)動(dòng)：距離＝速度×?xí)r間(1)分割：任取分點(diǎn):

a=t0<t1<…<ti–1<ti<…<tn=b分割[a,b]得:[ti–1,ti](i=1,2,…n)且記：ti=ti–ti–1(2)作近似：任取

i[ti–1,ti],(3)求和:(4)取極限：1≤i≤ni0abttiti–1作3.定積分定義

設(shè)f(x)在[a,b]上有界，若極限的存在與[a,b]的分法和i(xi–1≤i≤xi)的取法無(wú)關(guān)，則稱其為f(x)在[a,b]上的定積分.此時(shí)稱f(x)在[a,b]上可積.記為f(x)R([a,b]).記上例有定理：(1)若f(x)C([a,b]),則f(x)R([a,b]) (2)若f(x)在[a,b]上單調(diào)有界，則f(x)R([a,b]) (3)若f(x)在[a,b]上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在[a,b]上可積. (4)若f(x),g(x)R([a,b])，則kf(x),f(x)+g(x),f(x)·g(x),|f(x)|R([a,b]).其中k為常數(shù).4.幾何意義y=f(x)a

0bxyf(x)>00xbf(x)<0a

yy=f(x)例1.例2.0y=sinxyx顯然二、定積分的性質(zhì)規(guī)定又有下面的討論假設(shè)所列積分均存在.性質(zhì)1.證：其中,為常數(shù).線性性性質(zhì)2.若a<c<b,則ya

y=f(x)0bxc可加性證：因?yàn)閒(x)R([a,b]),故取[a,b]的分劃，使c成為分點(diǎn):則令0得性質(zhì)3.

若x[a,b]有f(x)1,

則a

0bxy1性質(zhì)4.

若x[a,b]有f(x)≥0，則≥0推論1.

若x[a,b]有f(x)≥g(x),則≥a

0bxyy=f(x)a

0bxy=g(x)y推論2.

≤(a<b)證：由于|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|則≤≤故≤性質(zhì)5.設(shè)≤≤證：由于m≤f(x)≤M則≤≤故≤≤估值定理x0yMmx0yx0ya

ba

by=f(x)a

b例3.估計(jì)解：容易求得在[1,1]上最大值1，故有≤≤2性質(zhì)6(定積分中值定理)若f(x)C([a,b]),則[a,b]使得分析：欲證證：由性質(zhì)5有≤≤或≤≤mM其中由閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的介值定理知[a,b]，使得ya

y=f(x)0bxf()§2.微積分基本公式一、原函數(shù)與積分上限函數(shù)定義1.設(shè)區(qū)間IR，若F(x)使xI

有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx則稱F(x)為f(x)在I上的一個(gè)原函數(shù)(反導(dǎo)數(shù)).例如sinx是cosx在R上的一個(gè)原函數(shù)ln|x|是在(,0)(0,+)內(nèi)的一個(gè)原函數(shù).關(guān)于原函數(shù)，我們有(1)若F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則對(duì)任何常數(shù)C，F(xiàn)(x)+C也是f(x)的原函數(shù).這是因?yàn)閇F(x)+C]'=F'(x)=f(x)

因此，f(x)若有原函數(shù)，則它就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù).(2)f(x)的任意兩個(gè)原函數(shù)之間僅相差一個(gè)常數(shù).設(shè)

F(x)和(x)是f(x)的任兩個(gè)原函數(shù)，則F'(x)=f(x),'(x)=f(x)于是[(x)F(x)]'='

(x)F'(x)=f(x)f(x)0故(x)F(x)=C0

(C0為常數(shù))于是，若F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)則{F(x)+C|CR}為f(x)的全體原函數(shù).設(shè)f(x)R([a,b]),有xx(a≤≤b)xt稱為積分上限函數(shù).記為y=f(x)ya

0bxxt定理1.若f(x)R([a,b])，則分析：欲證x0[a,b],即>0,>0,使當(dāng)|xx0|<時(shí)，都有|(x)(x0)|<證：首先由f(x)R([a,b])知M>0,使x[a,b]有|f(x)|≤M從而x0,x[a,b]有

≤≤M|xx0|于是

>0，取則當(dāng)|xx0|<時(shí)f(x)C([a,b]).≤M|xx0|定理2.若f(x)C([a,b])，則在[a,b]上可導(dǎo)，且(a≤x≤b)分析：欲證x[a,b]，證：x[a,b]，取x使x+x[a,b]=(x+x)(x)令x0,得'(x)=f(x)推論1.(原函數(shù)存在定理).若f(x)C([a,b]),則f(x)在[a,b]上存在原函數(shù)，且為f(x)的一個(gè)原函數(shù).例1.一般地另外例2.=1例3.求解：F'(x)=(x1)(x2)2令F'(x)=0得駐點(diǎn)x=1,x=2對(duì)x=1,當(dāng)x<1時(shí)F'(x)<0,當(dāng)2>x>1時(shí)F'(x)>0故x=1為F(x)的極小值點(diǎn)對(duì)x=2,當(dāng)1<x<2時(shí)F'(x)>0,當(dāng)x>2時(shí)F'(x)>0故x=2不是F(x)的極值點(diǎn)F(x)的極小值二、微積分基本公式例4.

變速直線運(yùn)動(dòng)的路程：求時(shí)間段[a,b]內(nèi)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程s.一方面：v=v(t)故另一方面：s=s(t)故于是應(yīng)有注意到s'(t)=v(t).即s(t)是v(t)的一個(gè)原函數(shù).b00s(a)s(b)asts定理3.設(shè)f(x)C([a,b])，F(xiàn)(x)是f(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)，則證：由定理2之推論知Newton-Leibniz公式的一個(gè)原函數(shù)，于是也是f(x)再令x=b