2023年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題一、填空題〔每題10分，共分〕1.某人在將中間的兩個(gè)數(shù)碼分別換成兩位數(shù)與時(shí)，恰好都得到完全平方數(shù)：，那么數(shù)組．2.假設(shè)一個(gè)橢圓的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)分別是雙曲線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，那么橢圓的方程為：．3.實(shí)數(shù)滿足，那么的最大值是．4.四面體中，平面與平面成的二面角，那么點(diǎn)到平面的距離為．5.從集合中，去掉所有的倍數(shù)以及的倍數(shù)后，那么中剩下的元素個(gè)數(shù)為．.函數(shù)的值域是．.．.九個(gè)連續(xù)正整數(shù)自小到大排成一個(gè)數(shù)列，假設(shè)的值為一平方數(shù)，的值為一立方數(shù)，那么這九個(gè)正整數(shù)之和的最小值是．二、解答題〔共分〕.〔20分〕給定軸上的一點(diǎn)〔〕，對(duì)于曲線上的動(dòng)點(diǎn)，試求兩點(diǎn)之間距離的最小值〔用表示〕．.〔分〕如圖，、、是一個(gè)圓中三條互不相交的弦，以其中每?jī)蓷l弦為一組對(duì)邊，各得到一個(gè)凸四邊形，設(shè)這三個(gè)四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)分別為；證明：三點(diǎn)共線．.〔25分〕項(xiàng)正整數(shù)列的各項(xiàng)之和為，如果這個(gè)數(shù)既可分為和相等的個(gè)組，又可分為和相等的個(gè)組，求的最小值．答案1.提示：注意到，對(duì)于整數(shù)，假設(shè)的末位數(shù)為，那么的末位數(shù)必為或，易知，〔〕，，因此，于是，假設(shè)要滿足條件，只可能是，，由于，，所以，．2.提示：雙曲線的兩頂點(diǎn)為，兩焦點(diǎn)為，故由條件，橢圓的兩焦點(diǎn)為，兩頂點(diǎn)為，因此，，，那么橢圓的方程為．3.提示：令，那么，由，得，因?yàn)閷?shí)數(shù)，那么判別式，得．4.提示：，作平面，垂足為，連，由三垂線逆定理，，所以，故，，又因?yàn)檎叫?，，那么，因此正三角形的面積為，設(shè)到平面的距離為，由，得5.．提示：集合中，的倍數(shù)有個(gè)，的倍數(shù)有個(gè)，的倍數(shù)有個(gè)，那么剩下的元素個(gè)數(shù)為個(gè)．.提示：，令，那么，由此，，當(dāng)時(shí)兩邊分別取得等號(hào)．.．提示：．〔注：由，那么，即．〕.提示：設(shè)這九數(shù)為，那么有，，，，那么，得①令，得，所以，再取，，化為，取，可使左式成立，這時(shí)，，．.如圖，易求得曲線上諸點(diǎn)的坐標(biāo)為：，當(dāng)，即時(shí)，曲線方程為……①；而當(dāng)時(shí)，曲線方程為……②，對(duì)于情形①，即時(shí)，顯然當(dāng)位于頂點(diǎn)處時(shí)，距離取得最小值；對(duì)于情形②，即在或時(shí)，設(shè)點(diǎn)，由于，因，那么，，于是，當(dāng)時(shí)，取得最小值；再比擬與：令，那么當(dāng)時(shí)，，，即最小值為；而當(dāng)時(shí)，，那么最小值．.如圖，設(shè)為三條不相交的弦，其中，，，又設(shè)，點(diǎn)截的三邊，據(jù)梅涅勞斯逆定理，只要證①，用記號(hào)表示三角形面積，那么由②③由此得，因此只要證，，④注意，，那么所以，即④成立，從而①成立，故結(jié)論得證．.設(shè)分成的個(gè)組為，每組中的各數(shù)和皆為，稱這種組為類組；而分成的個(gè)組為，每組中的各數(shù)和皆為，稱這種組為類組．顯然，每個(gè)項(xiàng)恰好屬于一個(gè)類組和一個(gè)類組，即同類組之間沒(méi)有公共項(xiàng)，如果兩個(gè)組中有兩個(gè)公共項(xiàng)，那么可以將這兩個(gè)數(shù)合并為一個(gè)項(xiàng)，這樣可使值減少，故不妨設(shè)，每對(duì)至多有一個(gè)公共項(xiàng)．今用點(diǎn)分別表示，而點(diǎn)表示組，如果組有公共項(xiàng)，那么在相應(yīng)的點(diǎn)之間連一條邊，于是得二部圖，它恰有條邊和個(gè)頂點(diǎn)．下面證明是連通圖．如果圖的最大連通分支為，其頂點(diǎn)數(shù)少于，設(shè)在分支中，有個(gè)類頂點(diǎn)和個(gè)類頂點(diǎn)，其中，那么在相應(yīng)的類組和類組中，類組中的每個(gè)數(shù)都要在某個(gè)類組中出現(xiàn)；而類組中的每個(gè)數(shù)也都要在某個(gè)類組中出現(xiàn)，〔否那么將有邊與分支外的頂點(diǎn)連接，發(fā)生矛盾〕，因此個(gè)類組中各數(shù)的和應(yīng)等于個(gè)類組中各數(shù)的和，即有，由此得，，所以，矛盾！因此是連通圖．于是圖至少有條邊，即；另一方面，我們可實(shí)際構(gòu)造一個(gè)具有項(xiàng)的數(shù)列，滿足此題條件．例如取，，〔該數(shù)列有個(gè)取值為的項(xiàng)；個(gè)取值為的項(xiàng)；另將其余七個(gè)拆成七對(duì)，其中四對(duì)，兩對(duì)，一對(duì)，又得到個(gè)項(xiàng)〕，于是，每個(gè)類組可由一個(gè)，一個(gè)，或者由一個(gè)，添加一對(duì)和為