2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題【第一試】一、選擇題〔此題總分值36分，每題6分〕1、設(shè)銳角q使關(guān)于x的方程有重根，那么q的弧度數(shù)為A．B。C。D。答：[]2、M=，N=，假設(shè)對于所有的，均有那么的取值范圍是A．[]B。〔〕C?！病矰。[]答：[]3、不等式>0的解集是A．[2，3]B?！?，3〕C。[2，4]D?！?，4〕答：[]4、設(shè)O點在△ABC內(nèi)部，且有，那么△ABC的面積與△AOC的面積之比為A．2B。C。3D。答：[]5、設(shè)三位數(shù)，假設(shè)以為三條邊的長可以構(gòu)成一個等腰〔含等邊〕三角形，那么這樣的三位數(shù)有A．45個B。81個C。165個D。216個答：[]6、頂點為P的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，A是底面圓周上的點，B是底面圓內(nèi)的點，O為底面圓的圓心，AB⊥OB，垂足為B，OH⊥PB，垂足為H，且PA=4，C是PA的中點，那么當(dāng)三棱錐O—HPC的體積最大時，OB的長是A．B。C。D。答：[]二、填空題〔此題總分值54分，每題9分〕7、在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)在一個最小正周期長的區(qū)間上的圖像與函數(shù)的圖像所圍成的封閉圖形的面積是_____________。8、設(shè)函數(shù)滿足，且對任意的，都有=，那么。9、如圖，正方體中，二面角的度數(shù)是______________。10、設(shè)是給定的奇質(zhì)數(shù)，正整數(shù)使得也是一個正整數(shù)，那么=________________。11、數(shù)列滿足關(guān)系式且，那么的值是______。12、在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點M〔-1，2〕和N〔1，4〕，點P在X軸上移動，當(dāng)∠MPN取最大值時，點P的橫坐標(biāo)是___________。三、解答題〔此題總分值60分，每題20分〕13、一項“過關(guān)游戲〞規(guī)那么規(guī)定：在第關(guān)要拋擲一顆骰子次，如果這次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于，那么算過關(guān)。問：〔Ⅰ〕某人在這項游戲中最多能過幾關(guān)？〔Ⅱ〕他連過前三關(guān)的概率是多少？〔注：骰子是一個在各面上分別有1，2，3，4，5，6點數(shù)的均勻正方體。拋擲骰子落地靜止后，向上一面的點數(shù)為出現(xiàn)點數(shù)?！?4、在平面直角坐標(biāo)系中，給定三點A〔0，〕，B〔-1，0〕，C〔1，0〕。點P到直線BC的距離是該點到直線AB、AC距離的等比中頂?！并瘛城簏cP的軌跡方程；〔Ⅱ〕假設(shè)直線L經(jīng)過△ABC的內(nèi)心〔設(shè)為D〕，且與P點的軌跡恰好有3個公共點，求L的斜率的取值范圍。15、、是方程〔〕的兩個不等實根，函數(shù)的定義域為[，]?！并瘛城蟆并颉匙C明：對于，假設(shè)，那么?！镜诙嚒恳?、〔此題總分值50分〕在銳角△ABC中，AB上的高CE與AC上的高BD相交于點H，以DE為直徑的圓分別交AB、AC于F、G兩點，F(xiàn)G與AH相交于點K，BC=25，BD=20，BE=7，求AK的長。二、〔此題總分值50分〕在平面直角坐標(biāo)系中，軸正半軸上的點列與曲線〔≥0〕上的點列滿足，直線在X軸上的截距為，點的橫坐標(biāo)為，?！并瘛匙C明>>4，?！并颉匙C明有，使得對都有<。三、〔此題總分值50分〕對于整數(shù)≥4，求出最小的整數(shù)，使得對于任何正整數(shù)，集合的任一個元子集中，均有至少3個兩兩互素的元素。參考答案第一試一、選擇題〔此題總分值36分，每題6分〕1、解：因方程有重根，故得，于是。應(yīng)選B。2、解：相當(dāng)于點〔0，b〕在橢圓上或它的內(nèi)部。應(yīng)選A。3、解：原不等式等價于設(shè)解得。即。應(yīng)選C。4、解：如圖，設(shè)D，E分別是AC，BC邊的中點，那么由〔1〕〔2〕得，，即共線，且，應(yīng)選C。5、解：a，b，c要能構(gòu)成三角形的邊長，顯然均不為0。即〔1〕假設(shè)構(gòu)成等邊三角形，設(shè)這樣的三位數(shù)的個數(shù)為，由于三位數(shù)中三個數(shù)碼都相同，所以，。〔2〕假設(shè)構(gòu)成等腰〔非等邊〕三角形，設(shè)這樣的三位數(shù)的個數(shù)為，由于三位數(shù)中只有2個不同數(shù)碼。設(shè)為a、b，注意到三角形腰與底可以置換，所以可取的數(shù)碼組〔a，b〕共有。但當(dāng)大數(shù)為底時，設(shè)a>b，必須滿足。此時，不能構(gòu)成三角形的數(shù)碼是a987654321b4，32，14，32，13，213，211，21，211

共20種情況。同時，每個數(shù)碼組〔a，b〕中的二個數(shù)碼填上三個數(shù)位，有種情況。故。綜上，。6、解：。C是PA中點，最大，也即最大。此時，，應(yīng)選D。二、填空題〔此題總分值54分，每題9分〕7、解：，它的最小正周期為，振幅為。由的圖像與的圖像圍成的封閉圖形的對稱性，可將這圖形割補(bǔ)成長為、寬為的長方形，故它的面積是。8、解：=即。9、解：連結(jié)，垂足為E，延長CE交于F，那么，連結(jié)AE，由對稱性知是二面角的平面角。連結(jié)AC，設(shè)AB=1，那么中，，在的補(bǔ)角，。10、解：設(shè)，從而是平方數(shù)，設(shè)為?！藏?fù)值舍去〕11、解：設(shè)即故數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，。。12、解：經(jīng)過M、N兩點的圓的圓心在線段MN的垂直平分線y=3－x上，設(shè)圓心為S〔a，3－a〕，那么圓S的方程為：對于定長的弦在優(yōu)弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大，所以，當(dāng)取最大值時，經(jīng)過M，N，P三點的圓S必與X軸相切于點P，即圓S的方程中的a值必須滿足解得a=1或a=－7。即對應(yīng)的切點分別為，而過點M，N，的圓的半徑大于過點M，N，P的圓的半徑，所以，故點P〔1，0〕為所求，所以點P的橫坐標(biāo)為1。三、解答題〔此題總分值60分，每題20分〕13、解：由于骰子是均勻的正方體，所以拋擲后各點數(shù)出現(xiàn)的可能性是相等的?！并瘛骋蝼蛔映霈F(xiàn)的點數(shù)最大為6，而，因此，當(dāng)時，n次出現(xiàn)的點數(shù)之和大于已不可能。即這是一個不可能事件，過關(guān)的概率為0。所以最多只能連過4關(guān)。.......5分〔Ⅱ〕設(shè)事件為“第n關(guān)過關(guān)失敗〞，那么對立事件為“第n關(guān)過關(guān)成功〞。第n關(guān)游戲中，根本領(lǐng)件總數(shù)為個。第1關(guān)：事件所含根本領(lǐng)件數(shù)為2〔即出現(xiàn)點數(shù)為1和2這兩種情況〕，過此關(guān)的概率為：。第2關(guān)：事件所含根本領(lǐng)件數(shù)為方程當(dāng)a分別取2，3，4時的正整數(shù)解組數(shù)之和。即有〔個〕。過此關(guān)的概率為：。........10分第3關(guān)：事件所含根本領(lǐng)件為方程當(dāng)a分別取3，4，5，6，7，8時的正整數(shù)解組數(shù)之和。即有〔個〕。過此關(guān)的概率為：。.........15分故連過前三關(guān)的概率為：。........20分〔說明：第2，3關(guān)的根本領(lǐng)件數(shù)也可以列舉出來〕14、解：〔Ⅰ〕直線AB、AC、BC的方程依次為。點到AB、AC、BC的距離依次為。依設(shè)，，即，化簡得點P的軌跡方程為圓S：......5分〔Ⅱ〕由前知，點P的軌跡包含兩局部圓S：①與雙曲線T：②因為B〔－1，0〕和C〔1，0〕是適合題設(shè)條件的點，所以點B和點C在點P的軌跡上，且點P的軌跡曲線S與T的公共點只有B、C兩點。的內(nèi)心D也是適合題設(shè)條件的點，由，解得，且知它在圓S上。直線L經(jīng)過D，且與點P的軌跡有3個公共點，所以，L的斜率存在，設(shè)L的方程為③〔i〕當(dāng)k=0時，L與圓S相切，有唯一的公共點D；此時，直線平行于x軸，說明L與雙曲線有不同于D的兩個公共點，所以L恰好與點P的軌跡有3個公共點。......10分〔ii〕當(dāng)時，L與圓S有兩個不同的交點。這時，L與點P的軌跡恰有3個公共點只能有兩種情況：情況1：直線L經(jīng)過點B或點C，此時L的斜率，直線L的方程為。代入方程②得，解得。說明直線BD與曲線T有2個交點B、E；直線CD與曲線T有2個交點C、F。故當(dāng)時，L恰好與點P的軌跡有3個公共點。......15分情況2：直線L不經(jīng)過點B和C〔即〕，因為L與S有兩個不同的交點，所以L與雙曲線T有且只有一個公共點。即方程組有且