氣體動理論第九章§9-5麥克斯韋速率分布定律例：統(tǒng)計學校里所有人的身高（引入分布函數的概念）

DNi：身高在hi

—hi

h之間的人數N為全校人數——總人數身高在hi

—hih間人數的百分比——分布數總人數可以表示為——歸一化的分布數歸一化條件1.

分布函數h

O引入函數：單位高度間隔內，身高為hi的人數占總人數的比率hihi+Dhfi歸一化條件：當Dh→dh，f(h)稱為:

歸一化分布函數。f(h)表征：在單位高度間隔內，身高為

h

的人數占總人數的比率。(概率密度)顯然：dN(h)為身高在h—h

dh間的人數。hh+dhf(h)O

h分布曲線dF(h)dN(h)/N，為身高在h—h

dh間的比率。N個人的總身高為：f(h)hh+dhOh已知分布函數f(h)，求平均身高？高度在h和h

dh間的dN個人的總高度：hdNN個人的平均身高為：定義推廣至任一變量（物理量）x的平均值：對具有統(tǒng)計性的系統(tǒng)來講，總存在著確定的分布函數f(x)。推廣：因此，寫出分布函數f(x)，是研究一個系統(tǒng)的關鍵之處，具有普遍的意義。2.氣體分子速率分布的實驗測定OV相對粒子數粒子速率分布實驗曲線粒子速率分布實驗曲線如下所示

為速率在區(qū)間的分子數。分子速率分布圖N：分子總數表示速率在區(qū)間的分子數占總數的百分比。分布函數歸一化條件

表示在溫度為的平衡狀態(tài)下，速率在附近單位速率區(qū)間的分子數占總數的百分比。物理意義表示速率在區(qū)間的分子數占總分子數的百分比。速率位于內分子數速率位于區(qū)間的分子數速率位于區(qū)間的分子數占總數的百分比分布數V1–V2區(qū)間分子數速度均值和速度平方均值平均動能麥克斯韋速率分布函數T熱力學溫度；m單個分子的質量；k玻爾茲曼常量麥克斯韋3.麥克斯韋速率分布律麥克斯韋速率分布曲線麥克斯韋速率分布曲線面積速率在(v，v

dv)區(qū)間內的分子數占總分子數的比例；或分子速率位于(v，v

dv)區(qū)間內的幾率。面積速率在(v1，v2)區(qū)間內的分子數占總分子數的比例；或分子速率位于(v1，v2)區(qū)間內的幾率。表示單位體積內分布在速率區(qū)間v

vdv

內的分子數。表示分布在速率區(qū)間v

vdv內的分子數。表示分布在單位體積內，速率區(qū)間(v1，v2)內的分子數。表示速率在區(qū)間(v1，v2)內的分子的平均速率。4.氣體速率的三種統(tǒng)計平均值極值條件(1)最概然速率：速率分布函數f(v)中的極大值對應的分子速率vp。最概然速率氣體分子速率的算術平均值。(2)平均速率：平均速率(3)方均根速率：分子速率平方的平均值的平方根。方均根速率三種速率比較溫度越高，速率大的分子數越多同一氣體不同溫度下速率分布比較同一溫度下不同種氣體速率分布比較分子質量越小，速率大的分子數越多。例題：計算氣體分子熱運動速率的大小介于vp

vp/100和vp

vp/100之間的分子數占總分子數的百分數。解:根據速率分布函數f(v)的定義：百分數反映到分布曲線的圖形上…速率在（v,v+dv)

區(qū)間內的分子數占總分子數的比例。面積當Dv較小時，面積可近似看成矩形的面積，＝底×高。題目中：速率的大小介于vp-vp/100和vp+vp/100之間解:(1)例速率分布函數的問題。假定總分子數為N的氣體分子的速率分布，如圖所示．vf(v)avo3vo由圖可看出，v0對應的f(v)最大，因此最可幾速率vP

v0。求：(1)最可幾速率vP；(2)a與v0的關系；(3)平均速率；(4)速度大于最幾可速率的分子占總分子數的比例.由f(v)的歸一化條件:由積分的幾何意義，等式左邊的積分，就是分布曲線與橫軸所圍的面積。vf(v)avo3voQ2：a與v0的關系？Q3：求平均速率？vf(v)avo3voQ4：速度大于最幾可速率的分子占總分子數的比例.vf(v)avo3vo大學物理A1考試范圍P151.4.3一般曲線運動

不要求P553.4.3勢能曲線

不要求P764.4質心質心運動定理

保留(不是重點）P1015.4.4旋進（進動）

不要求P1216.2.2同方向不同頻率諧振動的合成、拍

不要求P1226.2.3兩個相互垂直諧振動的合成李薩如圖

不要求P1246.3阻尼振動和受迫振動簡介

不要求P1337.1.4波速公式(7.3)(7.4)(7.5)

不要求大學物理A1考試范圍P1397.2.2平面波的波動微分方程

不要求P1437.3.4波的吸收

不要求P1517.7多普勒效應

不要求P1758.7.2多方過程

不要求P1808.9熱力學第二定律

不要求P1818.10可逆與不可逆過程

不要求P201(9.16)(9.17)麥克斯韋速率分布

不要求記憶P208

9.8玻爾茲曼分布及以后章節(jié)均不要求下冊P16314.4.3愛因斯坦速度相加定律

不要求一定量的氣體處于平衡態(tài)時，若不計外力場的作用，其分子將均勻分布，分子數密度和溫度都是處處相等的。當考慮外力場對氣體作用時，其分子數密度和壓強將不再是均勻分布了。1877年玻耳茲曼求出了在外力場中氣體分子按能量分布的規(guī)律——玻耳茲曼分布律。1.玻爾茲曼分布律§9-8玻爾茲曼分布律玻爾茲曼由麥克斯韋速率分布律式中因子指數是一個與分子平動動能有關的量：故麥克斯韋速率分布律可以表示為麥克斯韋速率分布律玻耳茲曼將分布推廣到分子在外力場（如重力場）中的情況，認為分子總能量為動能

勢能

勢能是空間的函數，跟坐標有關！式中n0表示勢能為零處單位體積內含有各種速度的分子數。上式反映了氣體分子按能量的分布規(guī)律，稱為玻耳茲曼能量分布律。平衡態(tài)下溫度為T的氣體中，位置在x~x+dx，y~y+dy，z~z+dz

中，且速度在vx~vx+dvx,vy~vy+dvy,vz~vz+dvz區(qū)間分子數為2.重力場中粒子按高度的分布在重力場中，分子受到兩種作用：一是分子熱運動，使得分子趨于均勻分布；二是重力作用，使得分子趨于向地面降落。當這兩種作用共同存在而達到平衡時，氣體分子在空間形成一種非均勻穩(wěn)定分布，氣體分子數密度和壓強都將隨高度而減小。在x~x+dx，y~y+dy，z~z+dz

區(qū)間中的分子數為分子按勢能分布規(guī)律括號內積分為1，所以兩邊除以dV=dxdydz，得勢能為處單位體積內含有各種速度的分子數—分子按勢能的分布律。在重力場中，地球表面附近分子的勢能為分子在重力場中按勢能分布為式中n0、n分別為h=0和h=h處分子數密度。說明(1)分子數密度n隨高度的增大按照指數減小。(3)氣體溫度越高（分子熱運動劇烈），n就減小的越緩慢。(2)分子質量

越大（重力的作用顯著），n就減小的越迅速。氣壓公式將地球表面的大氣看作理想氣體，有代入式子，得氣壓公式結論：大氣壓強隨高度增加按照指數減小。例拉薩海拔約為3600m

，氣溫為273K，忽略氣溫隨高度的變化。當海平面上的氣壓為1.013×105Pa

時，拉薩的大氣壓強；(2)若某人在海平面上每分鐘呼吸17

次，他在拉薩呼吸多少次才能吸入同樣的質量的空氣。M=29×10-3kg/mol求(2)設人每次吸入空氣的容積為V0

，在拉薩應呼吸x

次則有(1)由氣壓公式得解:1.分子碰撞a.頻繁地與其他分子相碰撞，分子的實際運動路徑是曲折無規(guī)的。b.正是碰撞，使得氣體分子能量按自由度均分。c.在氣體由非平衡態(tài)過渡到平衡態(tài)中起關鍵作用。d.氣體速度按一定規(guī)律達到穩(wěn)定分布。e.氣體分子相互碰撞的頻繁程度，決定了氣體擴散、熱傳導等過程的快慢。分子相互作用的過程：§9-9氣體分子的平均自由程f.利用分子碰撞可探索分子內部結構和運動規(guī)律。2.平均自由程平均碰撞頻率平均自由程：在一定的宏觀條件下，一個氣體分子在連續(xù)兩次碰撞間可能經過的各段自由路程的平均值，用表示。平均碰撞頻率：在一定的宏觀條件下，一個氣體分子在單位時間內受到的平均碰撞次數，用表示。若在時間t內，分子運動平均速度為。則分子運動平均自由程為設分子A以平均相對速率運動，其他分子不動，只有與分子A的中心距離小于或等于分子有效直徑d的分子才能與A相碰。在t時間內，凡分子中心在以分子A運動軌跡為軸，半徑等于分子有效直徑d，長為的曲折圓柱體內的分子均能與A相碰，設分子數密度為n，則碰撞頻率：說明：平均自由程與分子有效直徑的平方及單位體積內的分子數成反比，與平均速率無關。平均自由程與壓強成反比，當壓強很小，有可能大于容器線度，即分子很少與其它分子碰撞，不斷與器壁碰撞，其平均自由程即容器的線度。遷移現象分為三種：在許多實際問題中，氣體常處于非平衡狀態(tài)，氣體內各部分的溫度或壓強不相等，或各氣體層之間有相對運動等，這時氣體內將有能量，質量或動量從一部分向另一部分作定向遷移，這就是非平衡態(tài)下氣體的遷移現象。粘滯現象熱傳導現象擴散現象§9-10氣體內的遷移現象1.粘滯現象氣體中各層間有相對運動時，各層氣體流動速度不同，氣體層間存在粘滯力的相互作用。pQ氣體粘滯現象的微觀本質是分子定向運動動量的遷移，而這種遷移是通過氣體分子無規(guī)熱運動來實現的。實驗表明氣體層間的粘滯力ABx0根據分子運動論可導出各層流體的流速v

是x

的函數。用流速梯度表示。在流體內部，相鄰流體層之間由于速度不同而互施大小相等方向相反的作用力，稱為內摩擦力或粘滯力。

為粘度（粘性系數）2.熱傳導現象設氣體各氣層間無相對運動，且各處氣體分子數密度均相同，但氣體內由于存在溫度差而產生熱量從溫度高的區(qū)域向溫度低的區(qū)域傳遞的現象叫作熱傳導現象。氣體內部的溫度T是x的函數,用溫度梯度ΔT/Δx表示。AB氣體熱傳導現象的微觀本質是分子熱運動能量定向遷移。這種遷移是通過氣體分子無規(guī)熱運動來實現的。根據分子運動論可導出

稱為熱導率實驗表明單位時間內通過ΔS

沿x方向傳遞的熱量為:3.擴散現象自然界氣體的擴散現象是常見的現象，容器中不同氣體間的互相滲透為互擴散；同種氣體因分子數密度不同，溫度不同或各層間存在相對運動所產生的擴散現象為自擴散。氣體內部分子數密度n是x的函數，用梯度Δn/Δx

表示。ABD

擴散系數單位時間內通過ΔS

沿x方向傳遞的分子數:AB根據分子運動論可導出氣體擴散現象的微觀本質是氣體分子數密度的定向遷移。這種遷移是通過氣體分子無規(guī)熱運動來實現的?！?-11熱力學第二定律的統(tǒng)計意義和熵的概念1.熱力學第二定律的統(tǒng)計意義

A

室充滿氣體，B

室為真空；當抽去中間隔板后，分子自由膨脹，待穩(wěn)定后，分子據A、B室分類，分子處于兩室的幾率相等，四個分子在容器中分布共有16種。分子的分布AB0abcdabcd0abcdbcdacdabdabcbcdacdabdabcabcdabacadbcbdcdcdbdbcadacab總計狀態(tài)數1144616cdabBA上述各狀態(tài)出現的幾率相等，系統(tǒng)處于分布狀態(tài)數最多的狀態(tài)的幾率最大。故氣體自由膨脹是不可逆的。它實質上反映了系統(tǒng)內部發(fā)生的過程總是由概率小的宏觀狀態(tài)向概率大的宏觀狀態(tài)進行；即由包含微觀狀態(tài)數少的宏觀狀態(tài)（有秩序）向包含微觀狀態(tài)數多（混亂無序）的宏觀狀態(tài)進行。與之相反的過程沒有外界影響，不可能自動進行。對于N個分子的系統(tǒng)與此類似。如1mol氣體分子系統(tǒng)，所有分子全退回

A

室的概率為熱力學第二定律的統(tǒng)計意義一個不受外界影響的孤立系統(tǒng)，其內部發(fā)生的過程，總是由概率小的狀態(tài)向概率大的狀態(tài)進行，由包含微觀狀態(tài)數目少的宏觀狀態(tài)向包含微觀狀態(tài)數目多的宏觀狀態(tài)進行，這是熱力學第二定律的統(tǒng)計意義。如氣體的絕熱自由膨脹、熱量從高溫物體向低溫物體的自發(fā)傳遞、熱功轉換等過程。用W表示系統(tǒng)所包含的微觀狀態(tài)數，或理解為宏觀狀態(tài)出現的概率，叫熱力學概率或系統(tǒng)的狀態(tài)概率?？紤]到在不可逆過程中，有兩個量是在同時增加，一個是狀態(tài)概率W

，一個是熵；玻耳茲曼從理論上證明其關系如下：上式稱為玻耳茲曼關系，k為玻耳茲曼常數。熵的這個定義表示它是分子熱運動無序性或混亂性的量度。系統(tǒng)某一狀態(tài)的熵值越大，它所對應的宏觀狀態(tài)越無序。2.熵熵增原理玻耳茲曼關系系統(tǒng)某