會(huì)計(jì)學(xué)1D微分方程及其求解解的疊加原理第1頁/共33頁一、

為實(shí)數(shù),設(shè)特解為其中為待定多項(xiàng)式,代入原方程,得為m

次多項(xiàng)式.第2頁/共33頁(2)若是特征方程的單根,(3)若是特征方程的重根,即即(1)若不是特征方程的根,可設(shè)可設(shè)可設(shè)第3頁/共33頁上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程(k是重根次數(shù)).綜上討論不是根是單根是重根特解形式設(shè)為第4頁/共33頁例1.的一個(gè)特解.解:本題而特征方程為不是特征方程的根.設(shè)所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為第5頁/共33頁例2.的通解.

解:本題特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得第6頁/共33頁例2.的通解.

解:比較系數(shù),得因此特解為所求通解為代入方程得第7頁/共33頁令的特解y*(一般為復(fù)根)求可以證明與分別是下列方程的解設(shè)第8頁/共33頁綜上討論(α±iβ)不是根特解形式設(shè)為(α±iβ)是根第9頁/共33頁解例3的一個(gè)特解

.有共軛復(fù)根特征方程本題不是特征根的特解令特解第10頁/共33頁解例3的一個(gè)特解

.將特解代入原方程得第11頁/共33頁例3的一個(gè)特解

.于是求得一個(gè)特解原方程得一個(gè)特解第12頁/共33頁解例4的通解

.對(duì)應(yīng)齊次方程特征方程為特征根:對(duì)應(yīng)齊次方程的通解：第13頁/共33頁解例4的通解

.齊次通解：特征方程是特征方程的根本題故設(shè)特解為考慮方程第14頁/共33頁解例4的通解

.代入方程整理得于是求得一個(gè)特解原方程通解為第15頁/共33頁一、一階微分方程求解

1.一階標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解關(guān)鍵:

辨別方程類型,掌握求解步驟四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)類型:可分離變量方程,齊次方程,線性方程,*全微分方程小結(jié)第16頁/共33頁1.可降階的二階微分方程二、高階微分方程求解逐次積分解法:高階

yf(x)型的微分方程第17頁/共33頁

yf(x

y)型的微分方程解法:令化為x,p的一階微分方程.則

yf(y

y)型的微分方程解法:令化為y,p的一階微分方程.則第18頁/共33頁二階線性微分方程的通解的結(jié)構(gòu)齊次方程的通解的結(jié)構(gòu)如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程

y+P(x)y+Q(x)y=0的兩個(gè)線性無關(guān)的解那么y=C1y1(x)+C2y2(x)是方程的通解其中C1、C2是任意常數(shù)第19頁/共33頁2.二階常系數(shù)齊次線性微分方程:和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)代入①得稱②為微分方程①的特征方程,(r

為待定常數(shù))①所以令①的解為②其根稱為特征根.因?yàn)閞為常數(shù)時(shí),函數(shù)(p,q為常數(shù))第20頁/共33頁實(shí)根特征根通解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程方法步驟①寫出特征方程②求出特征根③按特征根的三種不同情況依下表寫出通解第21頁/共33頁3.二階線性微分方程的通解的結(jié)構(gòu)設(shè)y*(x)是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一個(gè)特解

Y(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的通解那么yY(x)y*(x)是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的通解

非齊次方程的通解的結(jié)構(gòu)第22頁/共33頁微分方程ypyqyPm(x)ex

的待定特解不是根是單根是重根特解形式設(shè)為第23頁/共33頁(α±iβ)不是根特解形式設(shè)為(α±iβ)是根微分方程ypyqyeαxPm(x)cosβx或ypyqyeαxPm(x)sinβx的待定特解整合為第24頁/共33頁則是特解形式設(shè)為整合為的解是的解第25頁/共33頁思考題1.微分方程(λ>0)的特解形式為2.微分方程滿足條件y(0)=0的解2011年考研題第26頁/共33頁設(shè)的特解為設(shè)的特解為則所求特解為思考題3.寫出微分方程的待定特解的形式.解第27頁/共33頁則所求特解為練習(xí)題3.寫出微分方程的待定特解的形式.解特征根（重根）第28頁/共33頁4.設(shè)F(x)＝f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(－∞,+∞)內(nèi)滿足以下條件:(1)求F(x)所滿足的一階微分方程;(03考研)(2)求出F(