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會(huì)計(jì)學(xué)1大連理工大學(xué)研究生入學(xué)考試量子力學(xué)試題及答案2二、證明題（30分）試證明交換算符是一個(gè)守恒量。1.設(shè)全同二粒子體系的Hamilton量為，波函數(shù)為，證明：

對(duì)任意波函數(shù)：故而由海森堡運(yùn)動(dòng)方程知：所以是一守恒量第1頁(yè)/共13頁(yè)32.設(shè)是一個(gè)幺正算符，求證是厄米算符。證明：而

所以

所以

所以為厄米算符。第2頁(yè)/共13頁(yè)43.設(shè)為泡利矩陣，（1）求證：（2）試求：（1）將展開成冪級(jí)數(shù)證明：

所以第3頁(yè)/共13頁(yè)5（2）試求：由第4頁(yè)/共13頁(yè)6三、（20分）求證是角動(dòng)量平方算符的本征值為的本征函數(shù)。

證明：由輪換對(duì)稱性，證畢！第5頁(yè)/共13頁(yè)7四、（20分）設(shè)一量子體系處于用波函數(shù)所描述的量子態(tài)，試求（1）在該態(tài)下，的可能值和各個(gè)值出現(xiàn)的幾率；（2）的平均值。

如有必要可利用；解：

此函數(shù)已經(jīng)歸一化。在該態(tài)下，的可能值為，對(duì)應(yīng)的幾率分別為和。第6頁(yè)/共13頁(yè)8五、（20分）已知一維無(wú)限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)粒子的能量本征值，求基態(tài)能量的一級(jí)修正值。

和本征函數(shù)分別為受到微擾設(shè)粒子，解：第7頁(yè)/共13頁(yè)9所以第8頁(yè)/共13頁(yè)10六、（30分）設(shè)（）為一維諧振子的能量本征函數(shù)，且已知，（1）求；

（2）設(shè)該諧振子在時(shí)處于基態(tài)，并開始受到微擾的作用，求經(jīng)過(guò)很長(zhǎng)時(shí)間（）以后，體系躍遷到的幾率。解：（1）第9頁(yè)/共13頁(yè)11開始受到微擾的作用，求經(jīng)過(guò)很長(zhǎng)時(shí)間（）以后，體系躍遷到的幾率。（2）設(shè)該諧振子在時(shí)處于基態(tài)，并

態(tài)的幾率為（一級(jí)近似）（2）將作為微擾，在其作用下，體系從態(tài)躍遷到計(jì)算第10頁(yè)/共13頁(yè)1

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