第一章

二、無窮大三、無窮小與無窮大的關(guān)系一、無窮小第四節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束無窮小與無窮大當(dāng)一、無窮小定義1.

若時(shí),函數(shù)則稱函數(shù)例如:函數(shù)當(dāng)時(shí)為無窮小;函數(shù)時(shí)為無窮小;函數(shù)當(dāng)為時(shí)的無窮小

.時(shí)為無窮小.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:除0以外任何很小的常數(shù)都不是無窮小

!因?yàn)楫?dāng)時(shí),顯然C

只能是0!CC時(shí),函數(shù)(或)則稱函數(shù)為定義1.

若(或)則時(shí)的無窮小

.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束其中為時(shí)的無窮小量.定理1.

(無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系)證:當(dāng)時(shí),有對(duì)自變量的其它變化過程類似可證.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、無窮大定義2

.

若任給

M>0,一切滿足不等式的

x,總有則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)為無窮大,

使對(duì)若在定義中將①式改為①則記作(正數(shù)X),記作總存在機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束注意:1.無窮大不是很大的數(shù),它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).2.函數(shù)為無窮大,必定無界.但反之不真!例如,

函數(shù)當(dāng)?shù)詴r(shí),不是無窮大!機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例.證明證:

任給正數(shù)

M,要使即只要取則對(duì)滿足的一切x,有所以若則直線為曲線的鉛直漸近線.漸近線說明:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、無窮小與無窮大的關(guān)系若為無窮大,為無窮小;若為無窮小,且則為無窮大.則(自證)據(jù)此定理,關(guān)于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為無窮小來討論.定理2.

在自變量的同一變化過程中,說明:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.無窮小與無窮大的定義2.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系Th13.無窮小與無窮大的關(guān)系Th2思考與練習(xí)P41題1,3P41題3提示:

作業(yè)P412(1),(2);7第五節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束

第一章二、極限的四則運(yùn)算法則三、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則一、無窮小運(yùn)算法則第五節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束極限運(yùn)算法則時(shí),有一、無窮小運(yùn)算法則定理1.

有限個(gè)無窮小的和還是無窮小.證:

考慮兩個(gè)無窮小的和.設(shè)當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有取則當(dāng)因此這說明當(dāng)時(shí),為無窮小量.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:

無限個(gè)無窮小之和不一定是無窮小!例如，(P56,題4(2))解答見課件第二節(jié)例5機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束類似可證:有限個(gè)無窮小之和仍為無窮小.定理2.

有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.

證:

設(shè)又設(shè)即當(dāng)時(shí),有取則當(dāng)時(shí),就有故即是時(shí)的無窮小.推論1

.

常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2

.

有限個(gè)無窮小的乘積是無窮小.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.求解:

利用定理2可知說明:

y=0是的漸近線.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、極限的四則運(yùn)算法則則有證:因則有(其中為無窮小)于是由定理1可知也是無窮小,再利用極限與無窮小的關(guān)系定理,知定理結(jié)論成立.定理3.

若機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束推論:

若且則(P45定理5)利用保號(hào)性定理證明.說明:

定理3可推廣到有限個(gè)函數(shù)相加、減的情形.提示:

令機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理4

.若則有提示:

利用極限與無窮小關(guān)系定理及本節(jié)定理2證明.說明:

定理4可推廣到有限個(gè)函數(shù)相乘的情形.推論1.(C

為常數(shù))推論2.(n

為正整數(shù))例2.

設(shè)

n次多項(xiàng)式試證證:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束為無窮小(詳見P44)定理5.

若且B≠0,則有證:

因有其中設(shè)無窮小有界因此由極限與無窮小關(guān)系定理,得為無窮小,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理6

.

若則有提示:

因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù),故此定理可由定理3,4,5直接得出結(jié)論.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

x=3時(shí)分母為0!例3.

設(shè)有分式函數(shù)其中都是多項(xiàng)式,試證:證:說明:

若不能直接用商的運(yùn)算法則.例4.

若機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.

求解:

x=1時(shí)分母=0,分子≠0,但因機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例6

.

求解:時(shí),分子分子分母同除以則分母“抓大頭”原式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù))(如P47例5)(如P47例6)(如P47例7)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則定理7.

設(shè)且

x滿足時(shí),又則有證:

當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有對(duì)上述取則當(dāng)時(shí)故①因此①式成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理7.

設(shè)且x

滿足時(shí),又則有

說明:若定理中則類似可得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.求解:

令已知(見P46例3)∴原式=(見P33例5)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例8.求解:

方法1則令∴原式方法2機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.極限運(yùn)算法則(1)無窮小運(yùn)算法則(2)極限四則運(yùn)算法則(3)復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則注意使用條件2.求函數(shù)極限的方法(1)分式函數(shù)極限求法時(shí),用代入法(分母不為0)時(shí),對(duì)型,約去公因子時(shí),分子分母同除最高次冪“抓大頭”(2)復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量Th1Th2Th3Th4Th5Th7機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考及練習(xí)1.是否存在?為什么?答:

不存在.否則由利用極限四則運(yùn)算法則可知存在,與已知條件矛盾.解:原式2.問機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.

求解法1原式=解法2令則原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束4.

試確定常數(shù)a

使解:令則故機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束因此作業(yè)P481（5），（7），（9），（12），（14）