§3全稱量詞與存在量詞

.3.1全稱量詞與全稱命題.3.2存在量詞與特稱命題.3.3全稱命題與特稱命題的否定..1.理解全稱命題和特稱命題．2.能判定全稱命題和特稱命題的真假．3.理解全稱命題、特稱命題的否定之間的關(guān)系．4.能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定..1.對全稱命題和特稱命題的理解．(重點)2.對不含量詞的全稱命題和特稱命題真假的判斷．(易混點)3.對全稱命題和特稱命題的否定的理解．(重點)4.寫出全稱命題和特稱命題的否定．(易混點)..[提示]充分2．命題有四種形式，否命題相對于原命題來說否定的什么？[提示]既否定條件又否定結(jié)論．.全稱命題與特稱命題全稱命題特稱命題量詞在一些命題的條件中，“所有”“每一個”“任何一個”“任意一個”“一切”等都是在指定范圍內(nèi)，表示

的含義，這樣的詞叫作全稱量詞在一些命題中，“有些”“至少有一個”“有一個”“存在”等都有表示

的含義，這樣的詞叫作存在量詞命題含有全稱量詞的命題含有存在量詞的命題形式對M中任意一個x，有p(x)成立，可簡記為任意的x∈M，p(x)存在x0∈M，p(x0)，即在M中存在一個元素x0，使p(x0)成立．否定存在x0∈M，p(x0)不成立．

的否定是

.任意的x∈M，非p(x)．

的否定是

.整體或全部個別或一部分全稱命題特稱命題特稱命題全稱命題.1．下列命題中是全稱命題并且是真命題的是()A．每個二次函數(shù)的圖象都開口向上B．對任意非正數(shù)c，若a≤b＋c，則a≤bC．存在一條直線與兩個相交平面都垂直D．存在一個實數(shù)x0使不等式x02－3x0＋6<0成立答案：B.2．命題“有的函數(shù)沒有解析式”的否定是()A．有的函數(shù)有解析式B．任何函數(shù)都沒有解析式C．任何函數(shù)都有解析式D．多數(shù)函數(shù)有解析式解析：原命題是特稱命題，它的否定應(yīng)是全稱命題．答案：C.3．下列語句：①有一個實數(shù)a不能取對數(shù)；②所有不等式的解集A，都有A?R；③有的向量方向不定；④自然數(shù)的平方是正數(shù)．其中全稱命題有________(填序號)，特稱命題有__________(填序號)．解析：因為①③含有存在量詞，所以①③為特稱命題；因為“自然數(shù)的平方是正數(shù)”的實質(zhì)是“任意一個自然數(shù)的平方都是正數(shù)”．②含有全稱量詞，故②④均為全稱命題．答案：②④①③.4．指出下列命題中，哪些是全稱命題，哪些是特稱命題，并判斷真假：(1)當(dāng)a＞1時，則對任意x，曲線y＝ax與曲線y＝logax有交點．(2)被5整除的整數(shù)的末位數(shù)字都是0.(3)有的四邊形沒有外接圓．.解析：(1)、(2)是全稱命題，(3)是特稱命題，對(1)當(dāng)a＞1時，y＝ax與y＝logax都是增函數(shù)且兩函數(shù)是互為反函數(shù)；圖象關(guān)于直線y＝x對稱故沒有交點．所以(1)是假命題．對于(2)∵末位數(shù)字是5的整數(shù)也能被5整除．∴(2)是假命題．對于(3)∵只有對角互補的四邊形才有外接圓，∴(3)是真命題...判斷下列語句是全稱命題，還是特稱命題．(1)凸多邊形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)對任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)矩形的對角線不相等；(5)若一個四邊形是菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直．.首先確定命題中含有的量詞，再判斷命題的形式．.[解題過程]

序號結(jié)論理由(1)全稱命題可以改為所有的凸多邊形的外角和等于360°(2)特稱命題含有存在量詞“有的”(3)全稱命題含有全稱量詞“任意”(4)全稱命題可以改為所有矩形的對角線不相等(5)全稱命題若一個四邊形是菱形，也就是所有的菱形.1.判斷下列語句是否是全稱命題或存在性命題：①有一個實數(shù)a，a不能取對數(shù)；②所有不等式的解集A，都有A?R；③三角函數(shù)都是周期函數(shù)嗎？④有的向量方向不確定；⑤自然數(shù)的平方是正數(shù)．.解析：

∵①④含有存在量詞，∴命題①④為存在性命題；又∵“自然數(shù)的平方是正數(shù)”的實質(zhì)是“任意一個自然數(shù)的平方都是正數(shù)”，∴②⑤均含有全稱量詞，故為全稱命題．③不是命題．綜上所述：①④為存在性命題，②⑤為全稱命題，③不是命題．.判斷下列命題的真假：(1)p：所有的單位向量都相等；(2)p：任一等比數(shù)列{an}的公比q≠0；(3)p：存在x0∈R，x02＋2x0＋3≤0；(4)p：存在等差數(shù)列{an}，其前n項和Sn＝n2＋2n－1....2.判斷下列命題的真假．(1)所有的素數(shù)都是奇數(shù)；(2)有一個實數(shù)，使x2＋2x＋3＝0；(3)有些整數(shù)只有兩個正因數(shù)；(4)所有奇數(shù)都能被3整除．.解析：(1)2是素數(shù)，但不是奇數(shù)，所以，全稱命題“所有素數(shù)都是奇數(shù)”是假命題．(2)對于任意x，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此，使x2＋2x＋3＝0的實數(shù)x不存在，所以特稱命題“有一個實數(shù)，使x2＋2x＋3＝0”是假命題．(3)由于存在整數(shù)3只有兩個正因數(shù)1和3，所以特稱命題“有些整數(shù)只有兩個正因數(shù)”是真命題．(4)由于存在奇數(shù)1不能被3整數(shù)，所以全稱命題“所有奇數(shù)都能被3整除”是假命題．.(2011·遼寧卷)已知命題p：?n∈N,2n＞1000，則?p為()A．?n∈N,2n≤1000 B．?n∈N,2n＞1000C．?n∈N,2n≤1000 D．?n∈N,2n＜1000解析：由于特稱命題的否定是全稱命題，因而?p為?n∈N,2n≤1000.答案：A.寫出下列命題的否定，并判斷其真假．(1)p：任意的x∈R，都有|x|＝x；(2)p：任意的x∈R，x3>x2；(3)p：至少有一個二次函數(shù)沒有零點；(4)p：存在一個角α∈R，使得sin2α＋cos2α≠1..[解題過程](1)p是全稱命題．p的否定是：存在x0∈R，有|x0|≠x0，如x0＝－1，|－1|＝1≠－1.所以p的否定是真命題．(2)p是全稱命題．p的否定是：存在x0∈R，x03≤x02，如x0＝－1時，(－1)3＝－1×(－1)2＝－1，即(－1)3≤(－1)2，所以p的否定是真命題．.(3)p是特稱命題．p的否定是：所有二次函數(shù)都有零點，如二次函數(shù)y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2>0.任意的x0∈R，y＝x02＋2x0＋3≠0.所以p是真命題，因此p的否定是假命題．(4)p是特稱命題．p的否定是：任意的α∈R，sin2α＋cos2α＝1，設(shè)任意角α終邊與單位圓的交點為P(x，y)．則sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，顯然有sin2α＋cos2α＝y(tǒng)2＋x2＝1，所以p的否定是真命題．.3.判斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定．(1)三角形的內(nèi)角和為180°；(2)每個二次函數(shù)的圖象都開口向下；(3)存在一個四邊形不是平行四邊形；(4)存在一個實數(shù)x0，使得3x0<0..解析：(1)全稱命題，且為真命題．否定：三角形的內(nèi)角和不全為180°，即存在一個三角形，且它的內(nèi)角和不等于180°.(2)全稱命題，且為假命題．否定：存在一個二次函數(shù)的圖象開口不向下．(3)特稱命題，且為真命題．否定：所有四邊形都是平行四邊形．(4)特稱命題，且為假命題．否定：對于所有實數(shù)x，都滿足3x≥0..1．全稱量詞概念：短語“對所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，用符號“?”表示，含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題．.注意以下幾點：(1)將含有變量x的語句用p(x)，q(x)，r(x)…表示，變量x的取值范圍用M表示，那么，全稱命題“對M中任意一個x，有p(x)成立”，可簡記為?x∈M，p(x)；(2)全稱命題就是陳述某集合所有元素都具有某種性質(zhì)的命題．例如p：對所有整數(shù)x，x2－1＝0，q：對所有整數(shù)x,5x－1是整數(shù)，其中命題p、q都是全稱命題．.2．存在量詞概念：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，用符號“?”表示，含有存在量詞的命題，叫做特稱命題．注意以下幾點：(1)特稱命題“存在M中的一個x，使p(x)成立”可用符號簡記為?x∈M，p(x)．(2)存在命題就是陳述在某集合中有(存在)一些元素具有某種性質(zhì)的命題．.同一個全稱命題、存在命題，由于自然語言的不同，可以有不同的表述方法．現(xiàn)列表總結(jié)于下，在實際應(yīng)用中可以靈活地選擇：命題全稱命題“?x∈A，p(x)”存在命題“?x∈A，p(x)”表述方法所有的x∈A，p(x)成立存在x∈A，使p(x)成立對一切x∈A，p(x)成立至少有一個x∈A，使p(x)成立對每一個x∈A，p(x)成立對有些x∈A，使p(x)成立任選一個x∈A，使p(x)成立對某個x∈A，使p(x)成立凡x∈A，都有p(x)成立有一個x∈A，使p(x)成立.1．含有一個量詞的命題的否定．含有一個量詞的全稱命題的否定，有下面的結(jié)論：全稱命題p：?x∈M，p(x)，它的否定綈p：?x0∈M，綈p(x0)．全稱命題的否定是特稱命題．含有一個量詞的特稱命題的否定，有下面的結(jié)論：特稱命題p：?x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：?x∈M，綈p(x)．.特稱命題的否定是全稱命題．全稱命題的否定是存在命題，存在命題的否定是全稱命題，即它們互為否定形式．在寫兩種命題的否定時，要牢牢掌握形式上的兩個變化，全稱量詞與特稱量詞的變化，條件p(x)和綈p(x)的變化．.2．常見量詞及其否定形式常見量詞及其否定形式如下表.量詞否定詞量詞否定詞等于不等于大于不大于能不能小于不小于至少有一個一個都沒有至多有一個至少有兩個都是不都是是不是沒有至少有一個屬于不屬于.◎?qū)懗鱿铝忻}的否定形式的命題．(1)矩形的四個角都是直角；(2)所有的方程都有實數(shù)解；(3)4＜3.【