官方網(wǎng)址:論壇地址：明志教育MINGZHIEDUCATIONSAT數(shù)學中，中國考生普遍覺得最難的三大知識點詳解雖然SAT中的數(shù)學部分是咱們中國考生復習起來最得心應手的一門，這是因為很多知識點童靴們在高中學習時都會涉及，而且SAT考查的又比較淺顯，對于這部分的內(nèi)容，童靴們只需要排查考點，找到知識漏洞，再完善知識結(jié)構(gòu)就行了。然而SAT中也有一部分的考點對高一高二的考生難度較大，甚至超出高中數(shù)學學習范圍，這里為大家配上例題做一些匯總，相信吃透這篇文章，一定可以幫助大家的SAT數(shù)學分數(shù)上一個新高度。一、數(shù)據(jù)分析DataAnalysis▼1、什么是數(shù)據(jù)分析？數(shù)據(jù)分析涉及到一系列的動作。首先要通過一定的方法采集數(shù)據(jù)（DataCollection）并且記錄下來。然后對采集的數(shù)據(jù)進行過濾整理，找到其背后的整體趨勢，從而可以辨別數(shù)據(jù)的真?zhèn)魏脡模材軐κ挛锏奈磥碲厔葑龀鲱A測。為了總結(jié)和預測，我們采用了數(shù)據(jù)分析（DataAnalysis）。2、數(shù)據(jù)分析中經(jīng)常用到的圖表有哪些？以下列出統(tǒng)計和數(shù)據(jù)分析中經(jīng)常用到的圖表。記住：具體的某個個體數(shù)字并不是非常重要，重要的是整體的趨勢。對于這些圖表的解釋如果讓學生覺得陌生，那么建議該學生跟著統(tǒng)計老師好好補習一下。（1）表格Table：對于數(shù)據(jù)的詳細記錄。如下圖所示。要求學生可以從眾多的數(shù)據(jù)信息中提取自己所需要的信息，加以整理和利用。Dayoubuy自r自nd首gaselm?Mea Ty眠erf一口二jlCitvSub.,rbLjlTruckBusVanBkase71536124?ISO4-41S&21a13174131一的&口蠅60%61%S3%49%&■&瞬73%28514&13Q11676IE也1HU40%40%47%EI*34%27%ChiSquare0.07福*,7-95,QD1（2）柱狀圖BarGraph/Histogram：看整體的趨勢。如：下圖是一個rightskewednormaldistribution。（注意：bargraph和histogram還是有區(qū)分的，但是在SAT考試中應該不會太過于區(qū)分，我也就不用細講這個地方了。）官方網(wǎng)址:論壇地址：tt明志教育MINGZHIEDUCATION(3)線形圖LineGraph：線形圖表明了事物發(fā)展的總體趨勢，通常而言，如果線的形狀可以用某種方程來模擬，我們的數(shù)學分析就具有了預測的特征。如下圖:紅線是normaldistribution，藍線是logisticregression。如果可以進一步確定這兩條線各自的重要參數(shù)，就可以通過已知來推知未知。SingleBoardPrababilititsForBingoCcjrppirler-Pnegr?mbySillButler11M03Qa070G05Ma30201g[]1QO-U-OQQoo11M03Qa070G05Ma30201g[]1QO-U-OQQoo&一口」drulwlcj-kelm/147n131S1322252031343740s於昭5255566t4E7?C73QuantityofNumtiersPi)cl(彩"SingleTurnProhahilitjf CumulativeProbability(4)餅狀圖piechart：主要體現(xiàn)的是比重proportion或者百分比percentage。大多數(shù)時候，餅狀圖并不體現(xiàn)絕對數(shù)值，只是對于不同事物的比重進行一個比較。官方網(wǎng)址:論壇地址：明志教育MINGZHIEDUCATION(5)Boxplot：展現(xiàn)數(shù)據(jù)的極值和quartiles(25percentile,median,75percentile),從而讓人可以比較不同組數(shù)據(jù)的實質(zhì)是否相同。見下圖：(6)ConfidenceIntervalGraph：可以讓人認出實質(zhì)不同的數(shù)據(jù)組。展現(xiàn)數(shù)據(jù)的平均值mean(6)ConfidenceIntervalGraph：可以讓人認出實質(zhì)不同的數(shù)據(jù)組。如下圖中:第一組數(shù)據(jù)實質(zhì)上低于第八組數(shù)據(jù)(因為第一組數(shù)據(jù)的高95%confidenceinterval還低于第八組數(shù)據(jù)的低95%confidenceinterval)o在數(shù)據(jù)解釋上，我們可以說：低收入家庭第一種族的學生明顯比中等收入家庭第三種族的學生在數(shù)學表現(xiàn)要差。同理，我們還可以看出：對于社會中高收入的家庭而言，不同種族并不會實質(zhì)性影響學生的數(shù)學表現(xiàn)。

明志教育MINGZHIEDUCATION官方網(wǎng)址:明志教育MINGZHIEDUCATION官方網(wǎng)址:論壇地址：low ine^iunrt highSES3、與數(shù)據(jù)分析相關的實驗experiment經(jīng)常有哪些步驟？SAT有的數(shù)據(jù)分析的題目里會涉及到一些實驗的細節(jié)，對此不熟悉的同學常常會引發(fā)緊張情緒。在這里，我把實驗的基本步驟簡單介紹一下，作為對大家有用的知識背景。實驗的目的：通過實驗來探知一個假設（hypothesis）是否正確。實驗的步驟：（1）說明實驗要驗證的假設，同時要給出關鍵的定義以防誤解。（這一步學生可以不用太多在意，因為考試的時候會在題目中把這個背景一帶而過）。（2）LiteratureReview（這個是把歷來相關問題的文獻調(diào)查一遍，一是確認自己不是重復做研究，二是找到他們所遺漏的問題，作為未來研究的方向和突破口。這一步學生也可以略過，因為我們的數(shù)學題目中不會涉及這一個環(huán)節(jié)）（3）ExperimentalDesign。實驗設計可以有很多種方法，但是所有的方法必須要保證實驗結(jié)果可以放之四海而皆準，因此，就是要保證實驗個體在很多性質(zhì)上都是具有代表性的。比方說，有的實驗給出男女參加人的比例或者參加人的種族（race）、民族（ethnicity）、文化背景（culturalbackground）、家庭經(jīng)濟背景（SES）、家庭文化教育背景（familyeducationalbackground）等信息，其目的就是展現(xiàn)實驗參加人對于人群的代表性。官方網(wǎng)址:論壇地址：官方網(wǎng)址:論壇地址：明志教育MINGZHIEDUCATION這些與參加人有關的雜七雜八的信息叫做demographicdata。這部分內(nèi)容可以說的很瑣碎，但是其目的就是證明代表性(representativeness)。再比方說，實驗說了用了某種方法來取樣(sampling)，取樣的方法千奇百怪，但是其服務的目的都一樣，保證所取的樣本對于其所針對的目標群體(targetpopulation)具有代表性。因此，學生們經(jīng)常看到的詞是隨機取樣(randomsampling)，這種取樣方式是所有取樣方式中最基本最常見的。(4)ExperimentalGroupvs.ControlGroup,實驗組和參照組。所謂參照組，就是不施加以實驗的變量，靜靜地擱置在一旁的組。他們的存在就是為了通過比較看看實驗介入變量所起到的作用。比方說，要知道一種藥是否能減肥，就給實驗組(experimentalgroup)吃這種藥，給參照組(controlgroup)吃長得一個樣子的糖丸，然后實驗期一過，通過兩組的數(shù)據(jù)的對比，看看這種被實驗的減肥藥是否有效。(5)數(shù)據(jù)分析DataAnalysis。這個部分是我們的重點，因為涉及到了具體的計算。題目會先說到數(shù)據(jù)采集DataCollection，這個步驟注意數(shù)據(jù)的代表性就行了，因此題目也許會說到random等關鍵詞，通過對上文(3)的學習，學生也知道了這一點。而數(shù)據(jù)的具體分析計算才是我們的重點，是數(shù)學的真正考點。(6)Results&Discussiono這個部分就是結(jié)果。在數(shù)學考試中，一般會讓學生求出結(jié)果而不是直接給出結(jié)果，所以，這個部分我們不必過于在意。對于Discussion,它的真正含義是說出這次實驗的疏漏和不足，以期在未來得到改進。熟悉了以上的實驗步驟，就能夠有效地幫助大家理解題意，順利做題了。4、常考知識點與相關例題在SAT考試中，這部分的題目并沒有很難，主要考核的都是基礎知識。

序號知識點iJt?空對于table表格數(shù)據(jù)的選擇和提取.這種題目的相對難度比較低。見例題1o羹對于圖形的基本認知口見例題2小用圖形輔助其他考點。見例題3.4對于夷驗設計的基本了解。見例題4。官方網(wǎng)址:論壇地址：明志教育MINGZHIEDUCATION例題1：(OfficialGuide明志教育MINGZHIEDUCATIONMavieswithGreatestTicketSaksin2012MPAATypeofmovieratingActionAnimatedComedyDramaTotalPG27021)PG-131004822RL?_。，S17Totalris791650TheIijbEeaboverepresentsthe50moviesthathadthegreatestticketin2012,cattjgoriztj-dbyniovit?typeandNfotionPictureAssociationofAmerica(MPAA)rating.Whatproportionofthemoviesarecomedieswi±aPG-13rating?解析：本題貌似紛繁復雜，其實非常簡單，就是考核學生的閱讀能力和讀圖表提取數(shù)據(jù)的能力。它問的是comedy和PG-13交集中的數(shù)字“4”在總數(shù)50中所占的比重，所以答案應該是2/25.例題2：（OfficialGuide上的題目）官方網(wǎng)址:論壇地址：明志教育MINGZHIEDUCATIONWhich口［followinggraphsbestshows；asLruiig口常亞金t幅ti?nbetween4a.ndf?A)解析：這道題目問的是對scatterplot圖形的基本掌握，答案應該是D。例題3（最新的PracticeTest8的題目）：官方網(wǎng)址:論壇地址：明志教育MINGZHIEDUCATIONBetween1985and2003,datawerecoUect-edeverythreeyearsonthtannoiuitofplasticproducctia.iinnalJyintheLiiitoilStates.,也hillionsclpounds.'fhographbAowshowsfl>edataanda.lineofbestfit.Theequationofthelineofb?slfitj=339x+46..S9,wheMxisthenumberofyearssince1985andvistheamountofplasticproducedannually,inbillionsofpoundsUSProductionofPUstii：USProductionofPUstii：Whichof也總tahcwiiigistheb^tinterventionofthenumber3.39intti?contestoftheproblem?A）Thcamouniofplastic,inhelions所pnuntKtpnxliiWInlh?Unittd空a屈during收產(chǎn)社T1QS5椿）ThenumberofraittookthwUnited"Mwtop「詞憂1billionpounds力fp]己【；）Theavcra^unnu泊pl第*4p『*du<1聃門Jnbdlionsofputinds,intheUniledStatesfrom19S5to2003D>TheaYE「3&￡annualtncr^a^inbiilions-ofpounds,ntplasticprodiiLtdpery^arintheUni[?1Statesfrom19K5to2CQ3解析：這道題目以數(shù)據(jù)分析的形式出現(xiàn)，但是實質(zhì)考察的知識是algebra里面的一元一次方程y=3.39x+46.89.題目要求是詢問slope3.39的含義。slope斜率意味著針對每一個單位的x的增長，y相應所作出的增長。按照這個定義，我們發(fā)現(xiàn)答案應該是D，當然，這也對閱讀水平提出了更高的要求。一些同學在dataanalysis部分丟分，本質(zhì)原因不是數(shù)學能力，而且閱讀水平。例題4（最新的PracticeTest8的題目）：

官方網(wǎng)址:官方網(wǎng)址:論壇地址：TodetennuiethemeannumberofchildrenperhouseholdinacomniuniKTabithasurveyed20familiesataplayground.Forthe20familiessurvTycitthemeannumberofchildren因「householdwas2.4.WhichofthefMowlngstatementsmustbetrue?Themeannui】】bc「olchildrenperhouseholdinthecommunityis24Adet^rminaUtinaboutthenwaniiumb-erutchildrenperhuu牌heldinthecommunityshouldnoibeniiidebeaujwthesamplesizeIstoo5niMLThesamplingjiwihotlis11awedaiidmayproduceabiasedestimateofthenwanniunberofchtldrt?Jip?rlious^holdinthecommunity.【)}Thesamplingmethodtsnotflawedandislikelytoproduceanunbia^dejtitiuteoftliemeanrtumberofchildrenperhouseholdInthecommunity7.解析：本題考查的是實驗設計的基本方法。如果想通過樣本sample推知全體population,需要保證樣本的代表性representativeness。而要保證代表性的基本方法就是randomselection/randomsampling。本題的敘述中，根本沒有提及randomsampling，也沒有說明為什么要知道community的家庭平均孩子數(shù)目就一定要到playground去取樣，因此，這個樣本應該是一個biasedsample。答案選擇C。二、統(tǒng)計Statistics目前，中國的高中課程中也引入了基本的統(tǒng)計概念和計算公式。比方說，所有學生都應該熟悉以下的一些基本統(tǒng)計概念：（算數(shù)）平均數(shù)Mean（aka.:arithmeticmean）：包括簡單的算數(shù)平均數(shù)和加權平均數(shù)（weightedmean）。注意：幾何平均數(shù)目前在SAT中沒有考過。中數(shù)Median：即50%percentile。將所有數(shù)字從大到?。ɑ蛘邚男〉酱螅┮来闻帕校佑谧钪虚g的一個數(shù)（奇數(shù)數(shù)列）或者兩個數(shù)的算數(shù)平均值（偶數(shù)數(shù)列）。眾數(shù)Mode：在數(shù)列中出現(xiàn)頻率最大的數(shù)。如果有兩個數(shù)出現(xiàn)的頻率并列最大，那么這兩個數(shù)都是眾數(shù)。值域Range:數(shù)列中的最大值與最小值的差值。官方網(wǎng)址:官方網(wǎng)址:論壇地址：方差Variance與標準差StandardDeviation：衡量數(shù)字的零散程度的統(tǒng)計指標。目前SAT中還沒有考到這兩個指標的公式，因此這里我先暫時省略公式?？己说闹攸c是對于standarddeviation的概念的本質(zhì)理解?？荚嚨臅r候，這些基本概念會和圖表等題型結(jié)合起來考察學生。請見如下例題：例題1（OfficialGuide的題目）：Lung汨!i囪l;3sh{iniiK.匕g9ginIflH1】12121212u[313141415151624Theabuve1皿山吧"&tnIMye/wKJjR'LofiranJo-msaniplQuf21b-ruwnbullhtadfiEti.fhcoutlier of24Inches,isanmor.utEHin.muibjTi.ando-flhivuluesMsImK■wliktiwillchang.i'由也niORfittl^2J-incti口珀/urfg/m區(qū)rfmovudtrunithuAiAl弗出HlMedianG)津祥群Ll]叩ivillallcl)diigobylti(?sum?ainuunt.解析：這道題目考的是統(tǒng)計基本概念之間的一個比較。實不相瞞，我差點做錯。因為學習統(tǒng)計的時候，專門比較過mean,median,mode對于極值outlier存在與否的穩(wěn)定性。同時，目測可以看出，mean應該比19大（不知道的同學可以用加權平均公式計算一下算數(shù)平均數(shù)mean，不會加權平均公式的同學請參見例題3），因為4個20和2個21可以和6個18相互制約，從而使平均數(shù)接近19，而剩下的22,23,30（尤其是outlier30）會將平均數(shù)mean向右方拉升，因此導致mean>median。答案是A。例題2（最新的PracticeTest8的題目）：官方網(wǎng)址:官方網(wǎng)址:論壇地址：18明志教育MINGZHIEDUCATIONThe22studentsinahealthclassconductedanexpeiimentinwhichtheyeachrecordedtheirpulserates,inbeatsperminutebeforeandaftercompletingaligiiteKerciseroutine.Thedotplotsbelowdisplay(heresults.TOC\o"1-5"\h\z■ ? ? ? ? ? ■-d 1 i 1 1 ! 1 1 1—56 網(wǎng) 64 68 72 76 80 84 88BeatsperniinuE?beforeexercise* ■ ? ?———I——I——I——E——I——I————8。 84 的 92 96 100 104 108 112Ik虱后jH?rminuteafkrexerciseL&i￡]and弓tn?thustandarildeviaLionandrang4?.fespectively,.ofthedatabeforeexercise,andlet5?andr2卜甘thestandarddeviationand「狗啥舄lespectively,otth^dataafter已算arciw.Whiclioftlwfollowingistrue?s}=號and等二立s]<yand<r2Si>sjandr]>rjSjhs2and五二b解析：本題考核的是range,standarddeviation這兩個統(tǒng)計基本概念。range=max-min,因此知道，r1=r2。對于standarddeviation，y解常識的人知道：在histogram中數(shù)據(jù)越聚合，standarddeviation越小，因此，應該是s1<s2。但是答案更加幸運，選擇D，說明SAT考試中并不需要學生真正用公式計算出standarddeviation,只要了解這個概念的基本公式就行了。三、概率Probabilities▼概率，說的是事件發(fā)生的可能性，其數(shù)值在0到1之間。概率為0的事件叫做“不可能事件”。概率為1的事件叫做“必然事件”。其他的事件叫做“或然事件”?？梢员挥嬎愕母怕?，在SAT的考核中常常是古典概型。

官方網(wǎng)址:論壇地址：官方網(wǎng)址:論壇地址：明志教育MINGZHIEDUCATION1、古典概型古典概型是最簡單最常見的概率。它說的是：同一時間可以有n個事件發(fā)生，每個事件發(fā)生的可能性都是相等的。因此，我們所要求的目標事件發(fā)生的可能性，就是(目標事件)/(總事件)。比方說，在一個罐子里面有19塊紅糖，15塊白糖。隨機抽取一塊糖，該糖是紅糖的可能性(概率)就是19/(19+15)=19/34。例題1：Kumbcr Rt辭teredVotersiniM'L謝LtaJSumin3012,inIlLnmiiLh建；uiRegion俅2Fto4445Urg的toruWer負t冶而3國m皿w2^7$猊S"修M6333由a油J%L11DIW2品啊st,awnLWO10,42b工儂工叫Lx!￡RUl4二S%pia,620MmM91卜5工卬,ThetheinJfllhin(brnmndt.tnfourpeupuphkrejiwsmA阻眥球由7cntluuble-LEar%臼wredvotier*作.1 kAto-Hvcjfsoldin1*n2ischcMii由randuni.whiihcltheiollo喃誕除JmestEth：probjiiJintruri■屈 wastrartheMidwEreaion*Al0.10Bl0^5-口。岫卬675.解析:表面上看，這是一道圖表分析題。但是看到實質(zhì)你會發(fā)現(xiàn)這是有關于概率的一道題目。題目里面首先圈定了范圍“18-44歲的選民”，這應該是(14766+47896)人，而其中來自Midwest的人是(3453+11237)人，因此，所求的概率就是：(3453+11237)/(14766+47896)=14690/62662=0.234，因此選擇B。事實上，以圖表形式來考核的古典概型的題目很多，幾乎每次考試中都會遇到。但是有的時候，考核的內(nèi)容不是單一事件，而且很多事件結(jié)合在一起的概率。因此，必須要先熟悉這幾個概念和公式。2、獨立事件(IndependentEvents)、互斥事件(MutuallyExclusiveEvents)

官方網(wǎng)址:論壇地址：官方網(wǎng)址:論壇地址：明志教育MINGZHIEDUCATION獨立事件(IndependentEvents上一件事情的發(fā)生與否與另一件事情的發(fā)生與否沒有關系，那么這兩件事情就叫做相互獨立的事件*幾個相互獨立的事件同時發(fā)生的概率等于這幾個事杵各自發(fā)生概率的乘積表達為二P(AB) (A)叩(B卜同樣幾個相互林立的事件同時都不發(fā)生的概率等于這幾個事件咎自不發(fā)生的概率的乘積，表達為：P(AB)=P(A-)叩(B-卜(注意：這里的"A非"汨非”應該是在AB的正上方劃橫線，因為打字版本的問題，我的橫線的顯示偏右了，希望不要導致)幾個相互獨立的事件中，只要有一個事件發(fā)生即可，則這種概率為全部可能性1減去任何一個獨立事件都不發(fā)生的概率，表達為:P(AUB)=VP(A')*P(B-卜互斥事件:若兩件事情不可能同同發(fā)生，則這兩件事情叫做互用事件。對于互斥事件工有如下表達：P(AB)=01P(AUB)=P(A)+P(B)fl例題2(OfficialGuide的題目)：艮曾Tata]CMikrUoder49例口「川4盯Mal?122J4Fcmakg311Mtal20S25Thetflblfahevf由中,$th?distributiQnofa郡andgeiide-r.「2Spct)pIk*^hoenteredacunkwtIttheconM5twbner/熱besekmedn『amdon%whatittheprnbabili^ylh閭由口Mrini^rwillXWth”iifcm-akunderage40讓「arn^l<?nge[U。「口251()25C)111625C)111625官方網(wǎng)址:官方網(wǎng)址:論壇地址：明志教育MINGZHIEDUCA