1

曲線積分格林公式及其應(yīng)用

曲面積分

高斯公式、通量與散度

斯托克斯公式、環(huán)流量與旋度第

章8

線積分與曲面積分28.1曲線積分8.1.1對弧長的曲線積分（第一類曲線積分）8.1.3兩類曲線積分之間的聯(lián)系8.1.2對坐標(biāo)的曲線積分（第二類曲線積分）31引例實(shí)例:曲線形構(gòu)件的質(zhì)量勻質(zhì)之質(zhì)量分割求和取極限近似值精確值8.1.1對弧長的曲線積分4

2對弧長的曲線積分的定義5被積函數(shù)積分弧段積分和式曲線形構(gòu)件的質(zhì)量6存在條件推廣7注意：8性質(zhì)93.

對弧長曲線積分的計算定理10注意特殊情形1112計算方法

化為對參數(shù)的定積分，“一代二換三定限”“一代”：將，代入被積函數(shù))；“三定限”：對應(yīng)于L的起點(diǎn)和終點(diǎn)，下限小上限大。“二換”：將換成13推廣3

舉例例1

計算所圍區(qū)域的邊界。O14解15例2

計算，其中問題（i）積分變量有無別的選擇？哪種方法好？

（ii）如，結(jié)果如何？解

0θ16例3

計算曲線積分，其中Γ為螺旋線上相對于從0到2π的一段弧。解17例4

計算，其中（1）（2）解（1）（2）,,18問題：如上例中被積函數(shù)是，應(yīng)如何做？例5

計算其中為連結(jié)解設(shè)是上任意一點(diǎn)，則∥,的直線段。直線的方程19的參數(shù)方程為20備選1解解備選2214.幾何與物理意義22235.小結(jié)1、對弧長曲線積分的概念2、對弧長曲線積分的計算3、對弧長曲線積分的應(yīng)用24思考題對弧長的曲線積分的定義中的符號可能為負(fù)嗎？25思考題解答的符號永遠(yuǎn)為正，它表示弧段的長度.268.1.2對坐標(biāo)的曲線積分1.引例實(shí)例:變力沿曲線所作的功常力所作的功分割27求和取極限近似值精確值28定義29類似地定義302.存在條件：組合形式31推廣325.性質(zhì)即對坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān).332.對坐標(biāo)的曲線積分的計算定理34特殊情形35計算方法：化為對參數(shù)的定積分，“一代二定限”“一代”：將代入被積式?！岸ㄏ蕖保簩?yīng)于L的起點(diǎn)、終點(diǎn)，不一定有。36(4)兩類曲線積分之間的聯(lián)系：函數(shù)在以為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且。又函數(shù)在L上連續(xù)。于是，由對坐標(biāo)的曲線積分計算公式（1）有37

有向曲線弧L的切向量t的方向規(guī)定與L的方向一致。如L的方向?qū)?yīng)于參數(shù)t增加的方向（即上式中），則

反之則它的方向余弦為38(當(dāng)時取正號，時取負(fù)號)當(dāng)時，39當(dāng)時，40一般地，平面曲線L上的兩類積分之間有如下聯(lián)系：（可以推廣到空間曲線上）41可用向量表示有向曲線元；42例1解4344例2解45問題：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同.46例3解4748問題：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同而積分結(jié)果相同.49例4.求其中從z軸正向看為順時針方向.解:取的參數(shù)方程50例5設(shè)一個質(zhì)點(diǎn)在處受到力的作用，的大小與到原點(diǎn)的距離成正比，的方向恒指向原點(diǎn)。此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)沿橢圓按逆時針方向移動到點(diǎn)，求力所作的功。解：

oF于是((由假設(shè)有，其中是比例常數(shù)51

利用橢圓的參數(shù)方程：起點(diǎn)A、終點(diǎn)B分別對應(yīng)參數(shù)0，于是例6把對坐標(biāo)的曲線積分化成對弧長的曲線積分，：沿上半圓周從點(diǎn)(0，0)到點(diǎn)(2，0)52解：方法1：取為參變量，起點(diǎn)對應(yīng)=0，終點(diǎn)=253方法2：起點(diǎn)，終點(diǎn)所以54符號的取法：的方向與參數(shù)增加時動點(diǎn)