會計學(xué)1達朗貝爾公式定解問題2則方程（1）變?yōu)椋何覀儼汛鷵Q（2）寫成：即在這代換下原方程化為：對于這個方程，就很容易求解了！先對積分：其中f是任意函數(shù)！再對積分得到通解：其中是任意函數(shù).(3)(4)(5)第1頁/共21頁3方程（5）就是偏微分方程（1）的通解，與常微分方程不同的是通解中出現(xiàn)任意函數(shù)，而不是任意常數(shù)！通解（5）的物理意義：對于函數(shù)f2(x-at)來說，改用以速度a沿x軸正向移動的動坐標(biāo)軸X,則新舊坐標(biāo)和時間之間的關(guān)系此時有：與時間T無關(guān)，即函數(shù)圖像在動坐標(biāo)系中保持不變，是隨著動坐標(biāo)系以速度a沿x正方向移動的行波！同理，f1(x+at)是以速度a沿負(fù)方向移動的行波。上述通解中的函數(shù)可以用定解條件確定。假定弦，桿，傳輸線都是無限長的，則不存在邊界條件。（2）函數(shù)與的確定波形的具體形狀的確定第2頁/共21頁4初始條件是：把初始條件代入通解得到：即解方程得代入通解方程即得滿足初始條件的特解：（6）——達朗貝爾公式這是偏微分方程的定解第3頁/共21頁5作為例子：（i）設(shè)初速度為零，即初始位移只在區(qū)間（x1,x2）不為零，在x=(x1+x2)/2達到最大值u0如圖所示：達朗貝爾公式給出初始位移分為兩半，分別向左右兩方，以速度a移動（虛線），這兩個行波的和所給出各個時刻的波形（實線）。如下圖所示：第4頁/共21頁6xt=0xt1xt2xt3xt4xt5第5頁/共21頁7（ii）設(shè)初始位移為零,即且初速度只在區(qū)間（x1,x2）上不為零此時達朗貝爾公式給出：這里指的是作出兩個圖形，讓他們以速度a分別向左右兩方移動，虛線所描述，他們的和（實線）就描畫出各個時刻波形：x2x1x第6頁/共21頁8t0xt1xt2xt3xt4xt5xt6xt7xt8xx1x2第7頁/共21頁9在上圖中，波已通過的地方，雖然振動消失，但偏離了原平衡位置?。ǘ┒它c的反射半無限長的弦具有一個端點，先考察端點固定的情況，即：初始條件里必須才有意義，因為x<0的區(qū)域弦不存在，更無初始條件！對于較遲的時間（t>x/a）達朗貝爾公式里失去意義，不能應(yīng)用！我們可以把半無限長弦當(dāng)作某根無限長弦的一部分，而此無限長弦的振動過程中，x=0必須保持不動！即無限長弦的位移第8頁/共21頁10u(x,t)應(yīng)當(dāng)是奇函數(shù)，而無限長弦的初始位移和初始速度都應(yīng)該是奇函數(shù)：這樣我們就把從半無界區(qū)域奇延拓到整個無界區(qū)間現(xiàn)在就可以利用達朗貝爾公式來求解無限長弦的自由振動，且的部分就是我們所考察的半無限長弦！初始條件代入上面的式子可以得到方程的解:第9頁/共21頁11

為了闡明上式的物理意義，描畫了只有初始位移而沒有初始速度的情況，最下一圖右半邊實線描出分別向左右兩方移動的波，左半邊用虛線描出奇延拓，奇延拓的波也分別向左右兩方運動。此時，端點沒有影響，各圖按時間順序描述了波的傳播情況，x=0保持不動，端點的影響反映為反射波，而且此時反射波的相位根入射波相反，此所謂半波損失。第10頁/共21頁12uxOt=0xt1xt2xt3xt4xt5xt6xt7xt8x開始反射第11頁/共21頁13下面考察半無限長桿的自由振動，端點自由，描述如下：同樣可以把這根半無限長桿當(dāng)做某無限長桿的的部分。此無限長桿在振動過程中，x＝0的相對伸長ux=0,即無限長桿的位移u(x,t)應(yīng)當(dāng)是偶函數(shù)，則無限長桿的初始位移和初始速度都是偶函數(shù)：把兩個函數(shù)偶延拓到整個無限區(qū)間，可以應(yīng)用公式！第12頁/共21頁14應(yīng)用達朗貝爾公式可得：把初始條件代入上式可得：這也是一種反射波，不同的是反射波的相位跟入射波相同，沒有半波損失！第13頁/共21頁15（三）定解問題是一個整體

從偏微分方程求出達朗貝爾公式的過程，與常微分方程的求解過程是類似的，但絕大多數(shù)的偏微分方程很難求出通解，用定解條件確定待定函數(shù)更加困難！

從物理角度來說，問題的完整提法是在給定的定解條件下求解數(shù)學(xué)物理方程。但除了達朗貝爾公式等極少的例子，從數(shù)學(xué)的角度來講，不可能先求偏微分方程的通解后在考慮定解必條件，須同時考慮方程本身和定解條件來求解?。ê统Ｎ⒎址匠滩煌?）

不管是從物理的角度，還是數(shù)學(xué)的角度，定解問題都是一個整體！而不能割裂開。第14頁/共21頁16（四）定解問題的適定性定解問題是從實際中來的，結(jié)果也要回到實際中去，則必須：(1)定解問題有解(2)解是唯一的(3)解是穩(wěn)定的對于穩(wěn)定來說，就是如果定解條件的數(shù)值有很小的改變，解的數(shù)值也只有很小的改變，處在可控的范圍。因為實際測量中，不可能絕對精確，來自實際問題的定解條件也不可避免的有誤差，如果解不穩(wěn)定，則可能理論分析與實際情況相差很遠(yuǎn)，沒有實用價值！定解問題滿足這三個條件，稱為適定的！第15頁/共21頁17以達朗貝爾公式的推導(dǎo)過程為例，如果（具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)類）可以驗證公式本身確實滿足方程，即解存在！而在公式推導(dǎo)過程中，沒有任何限定，則滿足偏微分方程的解最后都可寫成達朗貝爾公式，即解唯一！下面來看達朗貝爾解的穩(wěn)定性：設(shè)有兩組初始條件：則相應(yīng)的兩個解u1和u2相差：第16頁/共21頁18也就是說，兩解的差是很小的，如果不加說明，我們所研究的定解問題都是適定的，不再一一說明,以后我們將把泛定方程和定解條件作為整體來一起處理！第17頁/共21頁19

由于許多數(shù)學(xué)物理問題均可以用適定的定解問題來處理，長期以來，人們認(rèn)為不適定數(shù)學(xué)物理問題的研究是沒有意義的，然而在實際問題中經(jīng)常遇到不適定的問題。

例如，對于某物體，希望在某時刻具有一個實際的溫度分布，那么在初始時刻物體應(yīng)當(dāng)具有一個什么樣的溫度分布才能達到此