正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)教材分析：正弦定理放在蘇教版必修五第一章第一節(jié)，是在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)之后學(xué)習(xí)的內(nèi)容，是對(duì)于三角函數(shù)的一個(gè)應(yīng)用，也為后面學(xué)習(xí)余弦定理和解三角形做了鋪墊。學(xué)生分析：對(duì)高二的學(xué)生來說，已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面幾何，三角函數(shù)，向量等知識(shí)，有一定觀察分析、解決問題的能力，但對(duì)前后知識(shí)間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有一定難度，對(duì)于數(shù)學(xué)史的了解也有所欠缺，所以應(yīng)該適當(dāng)引入數(shù)學(xué)史的內(nèi)容。教學(xué)目標(biāo)：讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā)，通過對(duì)直角三角形邊角關(guān)系的探索，引導(dǎo)學(xué)生思考在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，知道學(xué)生通過觀察，實(shí)驗(yàn)，猜想，驗(yàn)證，證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，能夠運(yùn)用正弦定理求解三角形，解決實(shí)際問題。由直角三角形中邊角關(guān)系的證明去推測一般三角形中邊角關(guān)系的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生勇于猜測，勇于嘗試的創(chuàng)新精神。在授課中運(yùn)用小組合作，學(xué)生點(diǎn)評(píng)等，培養(yǎng)學(xué)生合作交流，語言表達(dá)能力。通過引入正弦定理相關(guān)的數(shù)學(xué)史內(nèi)容，激發(fā)起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，對(duì)于數(shù)學(xué)的熱愛，拓寬學(xué)生的知識(shí)面，豐富學(xué)生的文化素養(yǎng)。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的證明過程及如何運(yùn)用正弦定理解三角形。教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)正弦定理及其證明的理解。教學(xué)過程：（一）引導(dǎo)創(chuàng)設(shè)問題情境：教師活動(dòng)：教師提出問題，我們知道在任意三角形中有大邊對(duì)大角這一說法，那么我們可以得到邊與角之間準(zhǔn)確的量化關(guān)系呢（可以往直角三角形中邊角關(guān)系引導(dǎo)）學(xué)生回答：可以在直角三角形中得到邊角關(guān)系的證明教師活動(dòng)：請(qǐng)同學(xué)們來嘗試在直角三角形中探究三角形邊與角之間的關(guān)系（大約五分鐘）教師在黑板上寫出直角三角形中邊與角的關(guān)系及其推導(dǎo)過程sinA=acsinB=bc所以asinA=b又因?yàn)椤螩為直角，所以sinC=所以我們得到這樣一個(gè)結(jié)論asinA=bsinB設(shè)計(jì)意圖：通過大邊對(duì)大角這樣一句話來引出對(duì)于三角形邊角關(guān)系的思考，引起學(xué)生對(duì)于知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣，激起學(xué)生的求知欲，通過直角三角形中這一規(guī)律的證明，引導(dǎo)學(xué)生去猜測更一般的數(shù)學(xué)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新和探索精神。（二）新知探索：教師活動(dòng)：我們可以通過直角三角形中角的三角函數(shù)來得到這樣一個(gè)邊與角的關(guān)系，那么同學(xué)們思考一下，這樣一個(gè)關(guān)系我們是否可以從所有三角形中得到呢，比如銳角三角形和鈍角三角形呢？請(qǐng)同學(xué)們以小組為單位，一起思考討論，然后動(dòng)手嘗試一下（十分鐘）學(xué)生活動(dòng)：（假設(shè)有同學(xué)證明出來）教師活動(dòng)：對(duì)于這樣一個(gè)定理的證明呢，有很多種方法，老師這里來講解我國清代數(shù)學(xué)家梅文鼎在他的著作《平三角舉要》中采用的一種方法。教師活動(dòng)：畫出如上圖這樣一個(gè)圖（可以省去甲乙丙等字，只留三角形及其外接圓）。我們看到這樣一個(gè)銳角三角形ABC及其外接圓，O是圓心，OD,OE,OF垂直BC,AC,AB并交于M,N,K那么我們可以用圓相關(guān)的知識(shí)來表示出三角形三邊的關(guān)系嗎？我們先來設(shè)R為外接圓的半徑，那么BC是不是等于兩倍的BM，那么BM怎樣表示呢（引導(dǎo)學(xué)生往圓心角及三角函數(shù)方向思考）學(xué)生回答：BM=R*sin∠BOD老師提問：那么∠BOD又等于什么呢？學(xué)生回答：等于二分之一的∠BOC，老師提問：我們可以發(fā)現(xiàn)∠BOC是一個(gè)圓心角，那么圓心角是不是等于兩倍的對(duì)應(yīng)圓周角，那么圓心角∠BOC教師活動(dòng)：圓心角BOC=2*∠A=2*∠BOD,那么我們可以得到角A=角BOD，那么我們就能用角A來表示出BC的長度，BC=2Rsin1/2∠BOC=2Rsin∠A,于是,BC/sin∠BAC=2R,那么我們可以同理得到其他角與邊的關(guān)系A(chǔ)B=2Rsin1/2∠AOB=2Rsin∠CAC=2Rsin1/2∠AOC=2Rsin∠B那么我們就能得到asinA=bsinB設(shè)計(jì)意圖：首先讓學(xué)生小組合作自行探索，希望學(xué)生可以通過合作交流證明出正弦定理，培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作交流能力，然后介紹古代數(shù)學(xué)家梅文鼎的證明方法，這一方法相比人教版必修五書上，用比例證明的方法更完整，雖然更復(fù)雜但也更加考驗(yàn)學(xué)生的理解能力，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)也有一定作用。引入外接圓半徑，也為以后作業(yè)中部分題目的解答做了鋪墊。這就是我們這節(jié)課所學(xué)的正弦定理，接下來給大家科普一下正弦定理的發(fā)展歷史（ppt展示）三角學(xué)是一門古老的數(shù)學(xué)分支，古代希臘學(xué)者早就開始了對(duì)三角形邊角關(guān)系的關(guān)注，隨后的勾股定理的發(fā)現(xiàn)更是數(shù)學(xué)史上的一件盛事，傳說畢達(dá)哥拉斯為此宰殺百牛設(shè)宴以示慶祝，而作為反映一般三角形邊角關(guān)系的正弦定理，其發(fā)展過程則要漫長得多。古希臘天文學(xué)家希帕科斯，他為了解決天文學(xué)中的計(jì)算問題，研究了弦與弧的關(guān)系，希帕科斯寫了12本計(jì)算弦長的書，但都失傳了，后來的托勒密繼承了希帕科斯的工作，編制了一張精度很高的弦表后來的印度人對(duì)其進(jìn)行簡化，約公元400年左右，印度天文學(xué)著作《SuryaSiddhanta》給出了一個(gè)依據(jù)托勒密弦表的“半弦表”，說明了圓心角的一半與“半弦”的關(guān)系，隨后的印度數(shù)學(xué)家阿里亞哈塔首次提出了正弦的概念，他用“ardha-jya”表示半弦，現(xiàn)在我們使用正弦函數(shù)“sine”的詞源正是“半弦”。如前文所述，所謂的正弦本來就源自于圓的弦，而將三角形看成是圓的內(nèi)接三角形這一方法自希帕科斯開始就被人們所沿用，這一做法也深刻地影響了后世數(shù)學(xué)家對(duì)正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明。一般認(rèn)為，最先提出并證明正弦定理的是阿拉伯學(xué)者阿布瓦法，他首先提出出并證明了球面三角形的正弦定理，而平面三角形的正弦定理的證明最先是納綏爾丁·圖西給出的。十八世紀(jì)之前，正弦始終被認(rèn)為是已知圓內(nèi)與同一條弧有關(guān)的線段，受此影響，對(duì)正弦定理的證明基本上都是通過作圓的弦實(shí)現(xiàn)的,直到1748年，歐拉的代表作《無窮分析引論》發(fā)表，在這本書中，歐拉指出：“三角函數(shù)是一種函數(shù)線與圓半徑的比值”．比如說，以角的頂點(diǎn)為圓心，以某定長為半徑作圓，由角的一邊與圓周的交點(diǎn)Ｐ向另一邊作垂線ＰＭ后，所得的線段ＭＰ（即函數(shù)線）與ＯＰ相互之間所取的比值即該角的正弦，歐拉的定義實(shí)際上將正弦定義為直角三角形的直角邊與斜邊的比值，這一發(fā)展立即帶來了正弦定理證明的簡化，就是我們數(shù)學(xué)書上展示的證明方法。對(duì)于正弦定理的證明方法，有非常多種，比如我們數(shù)學(xué)書上就展示了一種，是在銳角三角形中作一條高，然后用比值來得到的，這種方法非常簡潔，但是它缺少了正弦定理的完整性，這種作高的思路非常巧妙，它也與數(shù)學(xué)家納綏爾丁以及雷吉奧蒙塔努斯的證明思路如出一轍，這里給大家補(bǔ)充這兩位數(shù)學(xué)家的證明。納綏爾丁圖西的證明雷吉奧蒙塔努斯的證明具體的證明過程這里就不再展示，如果同學(xué)們有興趣，可以自己根據(jù)這兩張圖片提供的思路去探索嘗試一下。設(shè)計(jì)意圖：補(bǔ)充數(shù)學(xué)史的知識(shí)，希望拓寬學(xué)生的知識(shí)面。（三）鞏固知識(shí)教師活動(dòng)：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦定理，那么接下來我們嘗試運(yùn)用正弦定理來解決一些問題，展示題目。例一：在三角形ABC中，已知A=45°，C=30°，c=10厘米這三個(gè)條件，解三角形例二：在三角形ABC中，已知A=60°，B=45°，c=20厘米，解三角形請(qǐng)兩位同學(xué)上黑板來解答，其他同學(xué)自己在紙上計(jì)算（十分鐘）教師活動(dòng)：請(qǐng)同學(xué)點(diǎn)評(píng)兩位同學(xué)在黑板上的回答（正確或錯(cuò)誤），然后公布答案。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自己運(yùn)用定理解決問題，并且可以檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)于定理及其應(yīng)用的掌握情況。（四）課堂總結(jié)教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生嘗試總