20062006數(一)(1)(1)求A的特征值；(2)求正交矩陣Q和對角矩陣使得QTAQ 020062006數(一)(1)(1)求A的特征值；(2)求正交矩陣Q和對角矩陣使得QTAQ 0考研真題(線性代數)… 21 一(5)設A12,E為2階單位矩陣，矩陣B滿足BAB2E,則B(11)設1,2，，s均為n維向量，A是mn矩陣，下列選項正確的是:(A)若i(A)若i2， ，s線性相關，則A1,A2,,As線性相關;(B)若1, 2,s(B)若1, 2,s線性無關，則A1,A2,,As線性相關;(C)若1, 2,, s線性無關，則A1,A2,As線性無關;(D)若1, 2,，s(D)若1, 2,，s線性相關，則A1,A2,As線性無關;(12)設A為3t矩陣，將A的第二行加到第一行得到B,再將B的第一列的(1)倍加到第2列得到C,記TOC\o"1-5"\h\z1 1 0P 0 1 00 0 1則：(A)CP1AP(B)CPAP1(C) CPTAP(D)CPAPT20已知非線性方程組：x1 x2 x3 x4 14x1 3x2 5x3 x4 1有三個線性無關的解;ax1ax1x2 3x3 bx4證明(1)方程組系數矩陣A的秩r(A)2(2)求a,b的值及其方程組的解。21設3階實對稱矩陣A的各行元素之和均為3,向量1 12 1T,2 0 11T是線性方程組的兩個解,20062006數(二)(1) (1) 求A的特征值；(2)求正交矩陣Q和對角矩陣使得QTAQ20062006數(二)(1) (1) 求A的特征值；(2)求正交矩陣Q和對角矩陣使得QTAQ1010101001PAPPAPT11有三個線性無關的解;1、r 2 1 一，一- …(6)設A12，E為2階單位矩陣，矩陣B滿足BAB2E,則B一(13)設1,2，， s均為n維向量，A是mn矩陣，下列選項正確的是：(A)若1, 2, ,s線性相關，則A1,A2,,As線性相關；(B)若1, 2, , s線性無關，則A 1, A 2, ,A s線性相關；(C)若1, 2, , s線性無關，則A 1, A 2, ,A s線性無關；(D)若1, 2, , s線性相關，則A 1, A 2, ,A s線性無關；(14)設A為3階矩陣,將A的第二行加到第一行得到B,再將B的第一列的(1)倍加到第2歹I」得至ijC,記1P0

0TOC\o"1-5"\h\z則：(A) CP1AP (B)C(C) CPTAP (D)C22已知非線性方程組：x1 x2 x3 x44x1 3x2 5x3 X4ax1 x2 3x3 bx4證明(1)方程組系數矩陣A的秩r(A)2(2)求a,b的值及其方程組的解。23設3階實對稱矩陣A的各行元素之和均為3,向量1 12 1T,2311T是線性方程組的兩個解,20062006(數四)(D 求(D 求A的特征值；(2)求正交矩陣Q和對角矩陣使得QTAQ220062006(數四)(D 求(D 求A的特征值；(2)求正交矩陣Q和對角矩陣使得QTAQ220062006(數三)、r 2 1 一，一- …(6)設A12，E為2階單位矩陣，矩陣B滿足BAB2E,則B(12)設1,2，，s^為n維向量，A是mn矩陣，下列選項正確的是:(A)若1,2,,s線性相關，則A1,A2,,As線性相關；(B)若1, 2, , s線性無關，則A 1, A 2, ,A s線性相關；(C)若1, 2, , s線性無關，則A 1, A 2, ,A s線性無關；(D)若1, 2, , s線性相關，則A 1, A 2, ,A s線性無關；(13)設A(13)設A為3階矩陣，將A的第二行加到第一行得到B,再將B的第一列的(1)倍加到第2歹I」得至ijC,記則：(A) CP1AP(B)PAP1(C)CPTAP(D)PAPT(20)設四維向量組1a111則：(A) CP1AP(B)PAP1(C)CPTAP(D)PAPT(20)設四維向量組1a11122a22333a3444，當a為44a何值時,上述向量組線性相關;4線性相關時,求其一個極大線性無關組,并將其余的向量用極大線性無關組表示。21設3階實對稱矩陣A的各行元素之和均為3,向量1 12 1T,(1)(3)(1)(3)11T是線性方程組的兩個解,求A的特征值；(2)求正交矩陣Q和對角矩陣使得QTAQ3 6求A及其A^E,其中E為3階單位矩陣。2

(4)已知1,2為2維列向量，A2i2i2,Bi2若行列式A6,則B―;(12)設1, 2, , s均為n維向量，A是m n矩陣，下列選項正確的是：(A)若1, 2, , s線性相關，則A1,A 2,,As線性相關；(B)若1, 2, , s線性無關，則A 1, A 2, ,a s線性相關；(C)若1, 2, , s線性無關，則A 1, A 2, ,A s線性無關；(D)若1, 2, ， s線性相關，則A 1, A 2, ,A s線性無關；(13)設A(13)設A為3階矩陣，將A的第二行加到第一行得到B,再將B的第一列的(1)倍加到第2歹I」得至ijC,記則：(A) CP1**AP(B)PAP1(C)CPTAP(D)PAPT(20)設四維向量組1a1112則：(A) CP1**AP(B)PAP1(C)CPTAP(D)PAPT(20)設四維向量組1a11122a22333a3444，當a為44a何值時,上述向量組線性相關;1,2,3,4線性相關時,求其一個極大線性無關組,并將其余的向量用極大線性無關組表示。21設3階實對稱矩陣A的各行元素之和均為3,向量(3)(3)2007數（一）7）設向量組1，2， 3線性無關，則下列向量 組線性相關的是(2007數（一）7）設向量組1，2， 3線性無關，則下列向量 組線性相關的是(A)1 2,23,3 1;(B)1 2,2 3,3 1(C)1 22,2 23,321;(D)1 22,223,321。8）設矩陣 A2111 2 1,B100010,則A與B1 1 2 000（A）合同且相似； （B）合同但不相似;（C）不合同，但是相似；（D）即不合同也不相似。010015）設A則A15）設A00010000x1x2x3 0（21）設線性方程組 x12x2ax30與方程 x12x2x3a1有公共的2x14x2ax30解，求a的值及所有的公共解。（22）設三階實對稱矩陣A的特征值11,22, 3 2,1 1 11E,其中E為3階單位矩陣;是A的屬于 1E,其中E為3階單位矩陣;（I）驗證1是矩陣B的特征向量；并求矩陣B的全部特征值;2007數（二）（三）同數（一）20082008數(二)2008(數一)(5)設A為n階非0矩陣，E為n階單位矩陣，若A30,則(A)EA不可逆，EA不可逆；(B)EA不可逆，EA可逆；(C)EA可逆，EA可逆；(D)EA可逆，EA不可逆；x(6)設A為3階非0矩陣，如果二次曲面方程xyzAy1在正交變換z下標準方程的圖形為 則A的正特征值個數A0;B1;C2;D3;(13)設A為2階矩陣，1,2為線性無關的2維列向量，且0,A則A的非0特征值為(20)AT為的轉置,的轉置，證明:<1>r(A)2;線性相關,r(A)2.(21)設矩陣X1 X22a2(20)AT為的轉置,的轉置，證明:<1>r(A)2;線性相關,r(A)2.(21)設矩陣X1 X22a2a12a2a12a2a12a2a12a現矩陣滿足方程AXB其中XnT,B0T；求證Aa為何值時，方程組有唯一的解,a為何值時，方程組有唯一的解,求Xi；3a為何值時，方程組有無窮多組解，并求此同解(7)設A為n階非0矩陣，E為n階單位矩陣，若A30,則(A)EA不可逆，EA不可逆；(B)EA不可逆，EA可逆；(C)EA可逆，EA可逆；(D)EA可逆，EA不可逆、 12 (8)設A'求證An1an；求證An1an；a為何值時，方程組有唯一的解，求Xi；21TOC\o"1-5"\h\z2 1 2 1 21(A) ；B (C) ;D1 2 1 2 12(13)矩陣A的特征值是，2,3其中未知，且2A 48,則(14)設(14)設A為2階矩陣,1, 2為線性無關的2維列向量，且則A的非0特征值為則A的非0特征值為(22)設矩陣AA1 0,A2 212a1a22a1a22a2a現矩陣滿足方程AXB其中12a1a22aXiXXiX2XnT,B10 0T；3a為何值時，方程組有無窮多組解，并求此通解(23)設A為新矩陣，1, 2為A的分別屬于特征值為1,1特征向量，而3a為何值時，方程組有無窮多組解，并求此通解證明(1) 1， 2， 3線性無關；(2)令P1 2 3,求P1AP2008數(三)(5)設A為n階非0矩陣，E為n階單位矩陣，若A30,則(A)EA不可逆，EA不可逆；(B)EA不可逆，EA可逆；(C)EA可逆，EA可逆；(D)EA可逆，EA不可逆、 12 (6)設A'求證An1an；求證An1an；a為何值時，方程組有唯一的解，求X1；21TOC\o"1-5"\h\z2 1 2 1 21(A) ；B (C) ;D1 2 12 12(13)設3階矩陣A的特征值為1,2,2,E為三階單位矩陣，則4A1E(20)設夕1陣(20)設夕1陣A2a1a22a1a22a2a現矩陣滿足方程AXB其中2a22a2a2aX x1 xX x1 x2XnT,B100T;3a為何值時，方程組有無窮多組解，并求此同解(21)設A為3階矩陣，1, 2為A的分別屬于特征值為 1,1特征向量，而3滿足：A3 2 3(1)證明1， 2,3線性無關；(2)令P1 2 3,求P1AP。20092009數(一)20092009數(一)(5)設1,2,3是3t向量空間R3的一組基,則由基111,22,-3到基1 2,3,1的過渡矩陣為(6)分塊矩陣121212141414161616121416121416121416設A,B均為2階矩陣,**一...一一...A,B分別為A,B的伴隨矩陣,若|A2,B3,則的伴隨矩陣為:0*2A*3B0；B0*3A2B00*2B*3A0;D0*3B*2A0(13)若3維列向量滿足2,其中的轉置,則矩陣0特征值為1(20)設A10(1)求滿足A21〉A21的所有的向量2,(2)對于(1)中的向量2,3,證明1， 23線性無關321設二次型fx1x2x3 ax；a2(a1)x；2x1x32x2x3(1)求二次型f的矩陣的所有特征值;(2)若二次型f的規(guī)范型為y12 y；，求a的值。20092009數(二)(2)(2)若二次型f的規(guī)范型為y12y；,求a的值。20092009數(二)(2)(2)若二次型f的規(guī)范型為y12y；,求a的值。塊矩陣0B(8)0*2A*3B口；B塊矩陣0B(8)0*2A*3B口；B0*02Bc* ；C3A00*2B*3A「；D003B*2A0設A,P均為3階矩陣,PT為P的轉置矩陣，且PTAP(7)設A,B均為2階矩陣，A*,B*分別為A,B的伴隨矩陣，若|A2,B3,則分A的伴隨矩陣為:03,則QTAQ(14)為3維列向量,(14)為3維列向量,的轉置，若T相似于1(22)設A10(1)求滿足A21〉A231的所有的向量23(D對于(1)中的向量設二次型求二次型(1)求滿足A21〉A231的所有的向量23(D對于(1)中的向量設二次型求二次型2,3,證明1,2,3線性無關fX1 X2X32 2 /aX1a2(af的矩陣的所有特征值;21)X32X1X32X2X3(2)(2)若二次型f的規(guī)范型為y12y；,求a的值。(2)(2)若二次型f的規(guī)范型為y12y；,求a的值。2009數(三)(5)設A,B均為2階矩陣，A*,B*分別為A,B的伴隨矩陣，若A2,B3,則分0A塊矩陣 的伴隨矩陣為:B0*02A*02A*3B0TOC\o"1-5"\h\z0 3B - 0 2B 仆0 3A;B ;C* ; ; *2A 0 3A0 2B 0100(6)設A,P均為3階矩陣，PT為P的轉置矩陣，且PTAP 010,002若P若P1 2 3，Q210A110B002(13) 1 11T,1 2 2 3,則QTAQTOC\o"1-5"\h\z1 1 01 2 0 C0 0 2T10k,右20001000230T相似于00100D02000200,則k(1)求滿足A2 1；A121的所有的向量21 3；⑵對于(1)中的向量2， 3,證明1， 2,3線性無關21 設二次型f x1 x2 x3 ax10 4 2 a2 (a 1)x； 2x1x3 2x2x30 4 2(1)求二次型f的矩陣的所有特征值;20102010數(二)20102010數(二)20102010數(一)(5)設(5)設A為mn型矩陣，B為nm型矩陣，E為m階單位陣，若ABE,則ArAm,rBCrAn,r(6)設A為四階對稱矩陣，且A120,且r(A)3,則A相似于:(13)設0T,2T,3211aT,若由向量3形成的向量空間維數是2,AXb存在兩個不同的a1，已知線性方程組1解，(1)求及其a；(2)求方程組AXb的通解。2121已知二次型fXTAX在正交變換XQY下，其標準型為y12y2,且Q的第三列為—02—T2一；2(1)求矩陣A;(2)證明AE為正定矩陣，其中E為3階單位矩陣。

(5)設向量組I： 1,2，,「可有向量組H1,2,,s線性表示，則(A)若向量組(A)若向量組I線性無關,(C)若II線性無關，則r(6)設A為四階對稱矩陣,11A B10則rs；(B)若向量組I線性相關，則rs；s;(D)若H線性相關，則rs;且A2A0,且r(A)3,則A相似于：11101111C D10110(13)設A,B為3階矩陣，且A3,B2,A1B2,則AB1__；TOC\o"1-5"\h\z1 1 a20設A0 10b1，已知線性方程組AXb存在兩個不同的1 1 1解，(1)求及其a；(2)求方程組AXb的通解。0 1421設A1 3a,正交矩陣Q使得QTAQ為對角矩陣，若Q的第一列為4a021:求2及其、2010數(三)試卷同數(二)20112011數(一)11)A的特征值與特征向量； 2)求矩陣 A20112011數(一)11)A的特征值與特征向量； 2)求矩陣 A(5)設A為3t矩陣,將A的第2列加到第一列，得到矩陣B,再交換B的第100二行與第三行得單位矩陣，記 P1110100二行與第三行得單位矩陣，記 P1110，P2001100001，則A0101D P2P1A P1P2， B P11P2 C PD P2P11(6)設A1 2 3 4是四階矩陣，A*為A的伴隨矩陣，若0是方程10組AX0的一個基礎解系，則 A*X0組AX0的一個基礎解系，則 A*X0的基礎解系為A1， 2; B1， 3;C1， 2,3D2， 3,4;(7)若二次曲面的方程為：x23y22axy2xz2yz4，經正交變換化為y124z124，則a20設向量 20設向量 1 101T,011T, ,3 135T不能由向量組11110 0，求11111T,2 123T,1 34aT線性表示；1)求a的值；( 2)將 1， 2， 3用1， 2， 3線性表示1121設A為3階實對稱矩陣，A的秩為2,即r(A)2,且A001120112011數（二）22）A的特征值與特征向量； 2）求矩陣 A20112011數（二）22）A的特征值與特征向量； 2）求矩陣 A⑺設A為3階矩陣，將A的第2列加到第一列，得到矩陣B,再交換B的第行與第三行得單位矩陣，記 P1001001P210000101，則A0P1P2，1B P11P2P2P1P2P1(8)1234是四階矩陣，A*為A的伴隨矩陣，若10是方程10組AX0的一個基礎解系，則*

A*X0的基礎解系為性指數為1， 2;B14）二次型fx12