1、如圖，拋物線〔a≠0〕經(jīng)過點，拋物線的頂點為，過作射線．過頂點平行于軸的直線交射線于點，在軸正半軸上，連結(jié)．〔1〕求該拋物線的解析式；〔2〕假設動點從點出發(fā)，以每秒1個長度單位的速度沿射線運動，設點運動的時間為．問當為何值時，四邊形分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？xyMCDPQOAB〔3〕假設，動點和動點分別從點和點同時出發(fā)，分別以每秒1個長度單位和2個長度單位的速度沿和運動，當其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動．設它們的運動的時間為，連接，當為何值時，四邊形的面積最小？并求出最小值及此時的長．xyMCDPQOAB1、解：〔1〕拋物線經(jīng)過點，二次函數(shù)的解析式為：〔2〕為拋物線的頂點過作于，那么，xyxyMCDPQOABNEH當時，四邊形是平行四邊形當時，四邊形是直角梯形過作于，那么〔如果沒求出可由求〕當時，四邊形是等腰梯形綜上所述：當、5、4時，對應四邊形分別是平行四邊形、直角梯形、等腰梯形． 7分〔3〕由〔2〕及，是等邊三角形那么過作于，那么=當時，的面積最小值為此時2、如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的三個頂點B〔4，0〕、C〔8，0〕、D〔8，8〕.拋物線y=ax2+bx過A、C兩點.(1)直接寫出點A的坐標，并求出拋物線的解析式；(2)動點P從點A出發(fā)．沿線段AB向終點B運動，同時點Q從點C出發(fā)，沿線段CD向終點D運動．速度均為每秒1個單位長度，運動時間為t秒.過點P作PE⊥AB交AC于點E，①過點E作EF⊥AD于點F，交拋物線于點G.當t為何值時，線段EG最長?②連接EQ．在點P、Q運動的過程中，判斷有幾個時刻使得△CEQ是等腰三角形?請直接寫出相應的t值2、解.(1)點A的坐標為〔4，8〕將A(4,8)、C〔8，0〕兩點坐標分別代入y=ax2+bx8=16a+4b得0=64a+8b解得a=-,b=4∴拋物線的解析式為：y=－x2+4x…3分〔2〕①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE==,即=∴PE=AP=t．PB=8-t．∴點Ｅ的坐標為〔4+t，8-t〕.∴點G的縱坐標為：－〔4+t〕2+4(4+t〕=－t2+8.∴EG=－t2+8-(8-t)=－t2+t.∵-＜0，∴當t=4時，線段EG最長為2.②共有三個時刻.t1=，t2=，t3=．3、如圖，直線與直線相交于點分別交軸于兩點．矩形的頂點分別在直線上，頂點都在軸上，且點與點重合．〔1〕求的面積；〔2〕求矩形的邊與的長；〔3〕假設矩形從原點出發(fā)，沿軸的反方向以每秒1個單位長度的速度平移，設移動時間為秒，矩形與重疊局部的面積為，求關ADBEOCADBEOCFxyy〔G〕〔第4題〕3、〔1〕解：由得點坐標為由得點坐標為∴由解得∴點的坐標為∴〔2〕解：∵點在上且∴點坐標為又∵點在上且∴點坐標為∴〔3〕當時，如圖1，矩形與重疊局部為五邊形〔時，為四邊形〕．過作于，那么AADBEORFxyyM〔圖3〕GCADBEOCFxyyG〔圖1〕RMADBEOCFxyyG〔圖2〕RM∴即∴∴即4、如圖13，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C〔0，-1〕，ΔABC的面積為。〔1〕求該二次函數(shù)的關系式；〔2〕過y軸上的一點M〔0，m〕作y軸的垂線，假設該垂線與ΔABC的外接圓有公共點，求m的取值范圍；〔3〕在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點D，使四邊形ABCD為直角梯形？假設存在，求出點D的坐標；假設不存在，請說明理由。4、解：〔1〕OC=1,所以,q=-1,又由面積知0.5OC×AB=,得AB=，設A〔a,0〕,B(b,0)AB=ba==，解得p=,但p<0,所以p=。所以解析式為：〔2〕令y=0，解方程得，得,所以A(,0),B(2,0),在直角三角形AOC中可求得AC=,同樣可求得BC=，顯然AC2+BC2=AB2，得△ABC是直角三角形。AB為斜邊，所以外接圓的直徑為AB=,所以。〔3〕存在，AC⊥BC，①假設以AC為底邊，那么BD//AC,易求AC的解析式為y=-2x-1,可設BD的解析式為y=-2x+b，把B(2,0)代入得BD解析式為y=-2x+4，解方程組得D〔，9〕②假設以BC為底邊，那么BC//AD,易求BC的解析式為y=0.5x-1,可設AD的解析式為y=0.5x+b，把A(，0)代入得AD解析式為y=0.5x+0.25，解方程組得D()綜上，所以存在兩點：〔,9〕或()。5、如圖，在平面直角坐標系中，半徑為1的圓的圓心在坐標原點，且與兩坐標軸分別交于四點．拋物線與軸交于點，與直線交于點，且分別與圓相切于點和點．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕拋物線的對稱軸交軸于點，連結(jié)，并延長交圓于，求的長．〔3〕過點作圓的切線交的延長線于點，判斷點是否在拋物線上，說明理由．OxyNCDEFOxyNCDEFBMA點的坐標分別為拋物線與直線交于點，且分別與圓相切于點和點，．點在拋物線上，將的坐標代入，得：解之，得：拋物線的解析式為：． 4分〔2〕拋物線的對稱軸為，OxyOxyNCDEFBMAP連結(jié)，，，又，，．〔3〕點在拋物線上． 設過點的直線為：，將點的坐標代入，得：，直線為：． 過點作圓的切線與軸平行，點的縱坐標為，將代入，得：．點的坐標為，當時，，所以，點在拋物線上． (第26題)OABCMN6、在平面直角坐標中，邊長為2的正方形的兩頂點、分別在軸、軸的正半軸上，點在原點.現(xiàn)將正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，當點第一次落在直線上時停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，邊交直線于點，邊交軸于點〔如圖〕.(第26題)OABCMN〔1〕求邊在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；〔2〕旋轉(zhuǎn)過程中，當和平行時，求正方形旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；〔3〕設的周長為，在旋轉(zhuǎn)正方形的過程中，值是否有變化？請證明你的結(jié)論.6、〔1〕解：∵點第一次落在直線上時停止旋轉(zhuǎn)，∴旋轉(zhuǎn)了.∴在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為.〔2〕解：∵∥∴,.∴.∴.又∵，∴.又∵,,∴.∴.∴.∴旋轉(zhuǎn)過程中，當和平行時，正方形旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為.〔3〕答：值無變化.證明：延長交軸于點，那么,，∴.OOABCMN又∵.∴.∴.又∵,∴.∴.∴，∴.∴在旋轉(zhuǎn)正方形的過程中，值無變化.7、如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點D(0，)，且頂點C的橫坐標為4，該圖象在x軸上截得的線段AB的長為6.⑴求二次函數(shù)的解析式；⑵在該拋物線的對稱軸上找一點P，使PA+PD最小，求出點P的坐標；⑶在拋物線上是否存在點Q，使△QAB與△ABC相似？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．7、⑴設二次函數(shù)的解析式為：y=a(x-h)2+k∵頂點C的橫坐標為4，且過點(0，)∴y=a(x-4)2+k………………①又∵對稱軸為直線x=4，圖象在x軸上截得的線段長為6∴A(1，0)，B(7，0)∴0=9a+k……②由①②解得a=，k=∴二次函數(shù)的解析式為：y=(x-4)2－⑵∵點A、B關于直線x=4對稱∴PA=PB∴PA+PD=PB+PD≥DB∴當點P在線段DB上時PA+PD取得最小值∴DB與對稱軸的交點即為所求點P設直線x=4與x軸交于點M∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO∴△BPM∽△BDO∴∴∴點P的坐標為(4，)⑶由⑴知點C(4，)，又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=，∴∠ACM=60o，∵AC=BC，∴∠ACB=120o①當點Q在x軸上方時，過Q作QN⊥x軸于N如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120o，那么∠QBN=60o∴QN=3，BN=3，ON=10，此時點Q(10，)，如果AB=AQ，由對稱性知Q(-2，)②當點Q在x軸下方時，△QAB就是△ACB，此時點Q的坐標是(4，)，經(jīng)檢驗，點(10，)與(-2，)都在拋物線上綜上所述，存在這樣的點Q，使△QAB∽△ABC點Q的坐標為(10，)或(-2，)或(4，)．9、如圖，拋物線經(jīng)過，兩點，頂點為．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕將繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°后，點落到點的位置，將拋物線沿軸平移后經(jīng)過點，求平移后所得圖象的函數(shù)關系式；yxBAOD〔第26題〕〔3〕設〔2〕中平移后，所得拋物線與軸的交點為，頂點為，假設點在平移后的拋物線上，且滿足的面積是面積的2倍，求點yxBAOD〔第26題〕9、解：〔1〕拋物線經(jīng)過，解得所求拋物線的解析式為． 2分yxCBAONyxCBAONDB1D1圖①可得旋轉(zhuǎn)后點的坐標為 3分當時，由得，可知拋物線過點將原拋物線沿軸向下平移1個單位后過點．平移后的拋物線解析式為：． 5分〔3〕點在上，可設點坐標為將配方得，其對稱軸為． 6分yxCBAODyxCBAODB1D1圖②N此時點的坐標為． 8分②當時，如圖2同理可得此時點的坐標為．綜上，點的坐標為或． 10、(深圳市)如圖7，在平面直角坐標系中，拋物線與直線相交于兩點．〔1〕求線段的長．〔2〕假設一個扇形的周長等于〔1〕中線段的長，當扇形的半徑取何值時，扇形的面積最大，最大面積是多少？〔3〕如圖8，線段的垂直平分線分別交軸、軸于兩點，垂足為點，分別求出的長，并驗證等式是否成立．圖7圖7圖8〔4〕如圖9，在中，，，垂足為，設，，．，試說明：．10、解：〔1〕∴A〔-4，-2〕，B〔6，3〕圖9分別過A、B兩點作軸，軸，垂足分別為E、F圖9∴AB=OA+OB〔2〕設扇形的半徑為，那么弧長為，扇形的面積為那么∵∴當時，函數(shù)有最大值〔3〕過點A作AE⊥軸，垂足為點E∵CD垂直平分AB，點M為垂足∴∵∴△AEO∽△CMO∴∴∴同理可得∴∴∴〔4〕等式成立．理由如下：∵∴∴∴∴∴∴∴∴11、如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點、和點.〔1〕求該二次函數(shù)的關系式；〔2〕設該二次函數(shù)的圖象的頂點為，求四邊形的面積；〔3〕有兩動點、同時從點出發(fā)，其中點以每秒個單位長度的速度沿折線按→→的路線運動，點以每秒個單位長度的速度沿折線按→→的路線運動，當、兩點相遇時，它們都停止運動.設、同時從點出發(fā)秒時，的面積為S.①請問、兩點在運動過程中，是否存在∥，假設存在，請求出此時的值；假設不存在，請說明理由；②請求出S關于的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；③設是②中函數(shù)S的最大值，那么=11、解：〔1〕令，那么；令那么．∴．∵二次函數(shù)的圖象過點，∴可設二次函數(shù)的關系式為又∵該函數(shù)圖象過點．∴解之，得，．∴所求二次函數(shù)的關系式為〔2〕∵=∴頂點M的坐標為過點M作MF軸于F∴=∴四邊形AOCM的面積為10〔3〕①不存在DE∥OC∵假設DE∥OC，那么點D，E應分別在線段OA，CA上，此時，在中，．設點E的坐標為∴，∴∵，∴∴∵>2，不滿足．∴不存在．②根據(jù)題意得D，E兩點相遇的時間為〔秒〕現(xiàn)分情況討論如下：ⅰ〕當時，；ⅱ〕當時，設點E的坐標為∴，∴∴?！钞?<<時，設點E的坐標為，類似ⅱ可得設點D的坐標為∴，∴∴=③12、(云南省課改實驗區(qū))〔1〕求拋物線的函數(shù)關系式；〔2〕〔3〕在拋物線上求一點使得△ABP0為等腰三角形并寫出點的坐標；〔4〕除〔3〕中所求的點外，在拋物線上是否還存在其它的點P使得△ABP為等腰三角形？假設存在，請求出一共有幾個滿足條件的點〔要求簡要說明理由，但不證明〕；假設不存在這樣的點，請說明理由．xyCBAE–11xyCBAE–11O∴．又∵拋物線經(jīng)過點，∴，．∴拋物線的解析式為．〔2〕∵E點在拋物線上，∴m=42–4×6+5=-3．∵直線y=kx+b過點C〔0，5〕、E〔4，–3〕，∴解得k=-2，b=5．設直線y=-2x+5與x軸的交點為D，當y=0時，-2x+5=0，解得x=．∴D點的坐標為〔，0〕．∴S=S△BDC+S△BDE==10．〔3〕∵拋物線的頂點既在拋物線的對稱軸上又在拋物線上，∴點為所求滿足條件的點．〔4〕除點外，在拋物線上還存在其它的點P使得△ABP為等腰三角形．理由如下：∵，∴分別以、為圓心半徑長為4畫圓，分別與拋物線交于點、、、、、、、，除去、兩個點外，其余6個點為滿足條件的點．13、在直角坐標系中，⊙A的半徑為4，圓心A的坐標為〔2，0〕，⊙A與x軸交于E、F兩點，與y軸交于C、D兩點，過點C作⊙A的切線BC，交x軸于點B．〔1〕求直線CB的解析式；〔2〕假設拋物線y=ax2+bx+c的頂點在直線BC上，與x軸的交點恰為點E、F，求該拋物線的解析式；〔3〕試判斷點C是否在拋物線上？〔4〕在拋物線上是否存在三個點，由它構成的三角形與△AOC相似？直接寫出兩組這樣的點．13、解:〔1〕方法一：連結(jié)，那么．∵，∴OC=．又Rt△AOC∽Rt△COB，∴．∴OB=6．∴點坐標為，點坐標為．設直線的解析式為y=kx+b，可求得直線的解析式為．方法二：連結(jié)，那么．∵，∴∠ACO=30o，∠CAO=60o．∴∠CBA=30o．∴AB=2AC=8∴OB=AB-AO=6．以下同證法一．由題意得，與軸的交點分別為、，拋物線的對稱軸過點為直線．∵拋物線的頂點在直線上，∴拋物線頂點坐標為．設拋物線解析式為，C1∵拋物線過點，C1∴，解得．∴拋物線的解析式為，即．〔3〕點在拋物線上．因為拋物線與軸的交點坐標為，如圖．(4)存在，這三點分別是E、C、F與E、C1、F，C1的坐標為〔4，〕．即△ECF∽△AOC、△EC1F∽△AOC，如圖14、如圖，拋物線交軸于A、B兩點，交軸于點C，點P是它的頂點，點A的橫坐標是3，點B的橫坐標是1．(1)求、的值；(2〕求直線PC的解析式；(3〕請?zhí)骄恳渣cA為圓心、直徑為5的圓與直線PC的位置關系，并說明理由．(參考數(shù)：，，)解：(1)由條件可知：拋物線經(jīng)過A(-3，0)、B(1，0)兩點．∴解得．(2)∵，∴P(-1，-2)，C．設直線PC的解析式是，那么解得．∴直線PC的解析式是．說明：只要求對，不寫最后一步，不扣分．(3)如圖，過點A作AE⊥PC，垂足為E．設直線PC與軸交于點D，那么點D的坐標為(3，0)．在Rt△OCD中，∵OC=，，∴．∵OA=3，，∴AD=6．∵∠COD=∠AED=90o，∠CDO公用，∴△COD∽△AED．∴，即．∴．∵，∴以點A為圓心、直徑為5的圓與直線PC相離．15、(重慶市)，在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2。假設以O為坐標原點，OA所在直線為軸，建立如下圖的平面直角坐標系，點B在第一象限內(nèi)。將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內(nèi)的點C處?！?〕求點C的坐標；〔2〕假設拋物線〔≠0〕經(jīng)過C、A兩點，求此拋物線的解析式；〔3〕假設拋物線的對稱軸與OB交于點D，點P為線段DB上一點，過P作軸的平行線，交拋物線于點M。問：是否存在這樣的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？假設存在，請求出此時點P的坐標；假設不存在，請說明理由。15、解:〔1〕過點C作CH⊥軸，垂足為H∵在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2∴OB＝4，OA＝由折疊知，∠COB＝300，OC＝OA＝∴∠COH＝600，OH＝，CH＝3∴C點坐標為〔，3〕〔2〕∵拋物線〔≠0〕經(jīng)過C〔，3〕、A〔，0〕兩點∴解得：∴此拋物線的解析式為：〔3〕存在。因為的頂點坐標為〔，3〕即為點C,MP⊥軸，設垂足為N，PN＝，因為∠BOA＝300，所以ON＝∴P〔，〕作PQ⊥CD，垂足為Q，ME⊥CD，垂足為E把代入得：∴M〔，〕，E〔，〕同理：Q〔，〕，D〔，1〕要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE＝QD即，解得：，〔舍〕∴P點坐標為〔，〕∴存在滿足條件的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時P點的坐為〔，〕如下圖，在平面直角坐標系中，經(jīng)過原點，且與軸、軸分別相交于兩點．〔1〕請求出直線的函數(shù)表達式；〔2〕假設有一拋物線的對稱軸平行于軸且經(jīng)過點，頂點在上，開口向下，且經(jīng)過點，求此拋物線的函數(shù)表達式；ABCDExyMO〔3〕設〔2〕中的拋物線交軸于兩點，在拋物線上是否存在點ABCDExyMO16、解：〔1〕設直線的函數(shù)表達式為，直線經(jīng)過，由此可得解得直線的函數(shù)表達式為．〔2〕在中，由勾股定理，得，經(jīng)過三點，且，EABCDxyMOEABCDxyMO設拋物線的對稱軸交軸于點，，由垂徑定理，得．在中，，，頂點的坐標為，設拋物線的表達式為，它經(jīng)過，把，代入上式，得，解得，拋物線的表達式為．〔3〕如圖，連結(jié)，，．在拋物線中，設，那么，解得，．的坐標分別是，，；設在拋物線上存在點，使得，那么，，當時，，解得，；當時，，解得，，，．綜上所述，這樣的點存在，且有三個，，，．17、拋物線經(jīng)過及原點．〔1〕求拋物線的解析式．〔2〕過點作平行于軸的直線交軸于點，在拋物線對稱軸右側(cè)且位于直線下方的拋物線上，任取一點，過點作直線平行于軸交軸于點，交直線于點，直線與直線及兩坐標軸圍成矩形．是否存在點，使得與相似？假設存在，求出點的坐標；假設不存在，說明理由．附加題：如果符合〔2〕中的點在軸的上方，連結(jié)，矩形內(nèi)的四個三角形之間存在怎樣的關系？為什么？17、解：〔1〕由可得：解之得，．因而得，拋物線的解析式為：．〔2〕存在．設