無(wú)窮 數(shù)項(xiàng)級(jí)1.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)給定一個(gè)數(shù)列u2u3un

次相加un,稱(chēng)上式為nun叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),n項(xiàng)和

∞

例

∞例∞例??1∞2∞ 例 2???∞∞1??=1??+

例 (?

)=1

收斂 但是

調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā) ??+

(比較審斂法

(k0 ;

發(fā)散,則強(qiáng)級(jí) . n(n例 n(n

limunl,n0l時(shí)

兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散ll例3

ln

2 nln(11 解:

limn2ln ln(11)1ln(11)1

2收斂 D’alembert判別法 為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且limun1,

時(shí)當(dāng)1;時(shí).根值審斂法(Cauchy判別法 級(jí)數(shù)

nn

,注：時(shí)上述定理2例 判別級(jí)數(shù)2n1en

解 lim

(n1)2

1n

1e

ne en 收斂交錯(cuò)級(jí)un0n12,,

稱(chēng)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)(Leibnitz判別法 un (n1,2,);limun0,則級(jí)數(shù)(1)n1un收斂定義:對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂

.sin 證

,n1

sinn4因此 sin

. 冪級(jí)axn

n

=

+??1??+

+?+???? +Abel定理收斂例：1+??+??2+?+????+?，當(dāng) <1時(shí)收斂，則收斂半徑為： < 收

冪級(jí)Abel

=

+??1??+??2?? +?+???? +axn

an反之,若當(dāng)

x冪級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂.,則對(duì)滿足不等式x 收

例：1+??+??2+?+????+?，當(dāng) <1時(shí)收斂，則收斂半徑為： <axn*例6.

x3在x1 解：由Abelx3處絕對(duì)收斂，x1絕對(duì)收斂。例7.已 處條件收斂,問(wèn)該級(jí)數(shù)收答 根據(jù)Abel定理可知,級(jí)數(shù)在收斂. 當(dāng)≠0時(shí)

R1當(dāng)＝0時(shí) R當(dāng)＝∞時(shí)

R0R

例8..求冪1解:R

n1n對(duì)端點(diǎn)x=1,級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí) 對(duì)端點(diǎn)x=－1,級(jí)數(shù)為發(fā)散 1x2x3xn

1

ex

1x

x3

sinx

(

(2n1)!

x2x x2

(1)n

n 設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在f(x)1

x1 1 0x 1求S(0),S(S3S()的值 求

o 將f(x)展 解:(1)當(dāng)xk,S(x) 1,S(3)f(x),S( 當(dāng)xkS(x)11)0S(0S(20101

(1)sin3xdx

01sin4 0101

(1)cosnxdx

1cosnxd0 (n0,1,2,0101

(1)sinnxdx

1sin01cosnx

1cosnx 2

cosn

4

n 21(1)n

n0

當(dāng)n135當(dāng)n