動(dòng)態(tài)幾何解題方法與思考策略重慶市渝中區(qū)第57中劉曉豐以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)探究幾何圖形部分規(guī)律的問(wèn)題，稱(chēng)之為動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題.動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“變”與“不變”的和諧統(tǒng)一，其特點(diǎn)是圖形中的某些元素（點(diǎn)、線(xiàn)段、角等）或某部分幾何圖形按一定的規(guī)律運(yùn)動(dòng)變化，從而又引起了其它一些元素的數(shù)量、位置關(guān)系、圖形重疊部分的面積或某部分圖形等發(fā)生變化，但是圖形的一些元素?cái)?shù)量和關(guān)系在運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中卻互相依存，具有一定的規(guī)律可尋.一、動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題涉及的幾種情況動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題就其運(yùn)動(dòng)對(duì)象而言，有：1、點(diǎn)動(dòng)（有單動(dòng)點(diǎn)型、多動(dòng)點(diǎn)型）.2、線(xiàn)動(dòng)（主要有線(xiàn)平移型、旋轉(zhuǎn)型）。線(xiàn)動(dòng)實(shí)質(zhì)就是點(diǎn)動(dòng)，即點(diǎn)動(dòng)帶動(dòng)線(xiàn)動(dòng)，進(jìn)而還會(huì)產(chǎn)生形動(dòng)，因而線(xiàn)動(dòng)型幾何問(wèn)題可以通過(guò)轉(zhuǎn)化成點(diǎn)動(dòng)型問(wèn)題來(lái)求解.3、形動(dòng)（就其運(yùn)動(dòng)形式而言，有平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、滾動(dòng)）二、解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的基本思考策略與分析方法：動(dòng)態(tài)型問(wèn)題綜合了代數(shù)、幾何中較多的知識(shí)點(diǎn),解答時(shí)要特別注意以下七點(diǎn):1、把握運(yùn)動(dòng)變化的形式及過(guò)程；2、思考運(yùn)動(dòng)初始狀態(tài)時(shí)幾何元素的關(guān)系，以及可求出的幾何量；3、動(dòng)中取靜：（最重要的一點(diǎn)）要善于在“動(dòng)”中取“靜”（讓圖形和各個(gè)幾何量都“靜”下來(lái)），抓住變化中的“不變量”和不變關(guān)系為“向?qū)А?，求出相關(guān)的常量或者以含有變量的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量;4、找等量關(guān)系：利用面積關(guān)系、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理、特殊圖形等的幾何性質(zhì)及相互關(guān)系，找出基本的等量關(guān)系式;5、列方程：將相關(guān)的常量和含有變量的代數(shù)式代入等量關(guān)系建立方程或函數(shù)模型；(某些幾何元素的變化會(huì)帶來(lái)其它幾何量的變化，所以在求變量之間的關(guān)系時(shí)，通常建立函數(shù)模型或不等式模型求解。在解決有關(guān)特殊點(diǎn)、特殊值、特殊位置關(guān)系問(wèn)題時(shí)常結(jié)合圖形建立方程模型求解)6、是否分類(lèi)討論：將變化的幾何元素按題目指定的運(yùn)動(dòng)路徑運(yùn)動(dòng)一遍，從動(dòng)態(tài)的角度去分析觀察可能出現(xiàn)的情況，看圖形的形狀是否改變，或圖形的有關(guān)幾何量的計(jì)算方法是否改變，以明確是否需要根據(jù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的特殊位置分類(lèi)討論解決，7、確定變化分界點(diǎn)：若需分類(lèi)討論，要以運(yùn)動(dòng)到達(dá)的特殊點(diǎn)為分界點(diǎn)，畫(huà)出與之對(duì)應(yīng)情況相吻合的圖形，找到情況發(fā)生改變的時(shí)刻，確定變化的范圍分類(lèi)求解。例：如圖，有一邊長(zhǎng)為5cm的正方形ABCD和等腰三角形△RQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，點(diǎn)B、C、Q、R在同一條直線(xiàn)ι上，當(dāng)C、Q兩點(diǎn)重合時(shí)開(kāi)始，t秒后正方形ABCD與等腰△PQR重合部分的面積為Scm..解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t=3秒時(shí)，求S的值；（2）當(dāng)t=5秒時(shí)，求S的值；（3）當(dāng)5秒≤t≤8秒時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值.分析：當(dāng)?shù)妊鱌QR從C、Q兩點(diǎn)重合開(kāi)始，以1cm/秒的速度沿直線(xiàn)ι向左勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，正方形ABCD與等腰△PQR重合部分圖形的形狀在改變，因此，我們需要根據(jù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的特殊位置分類(lèi)討論解決。運(yùn)動(dòng)過(guò)程中有四個(gè)特殊位置點(diǎn),它們分別是點(diǎn)B、C、R和等腰△PQR底邊的中點(diǎn)E,這四個(gè)特殊位置點(diǎn)就是分類(lèi)討論問(wèn)題的“分界點(diǎn)”.因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為5cm，等腰三角形△RQR的底邊QR=8cm，（1）所以當(dāng)t≤4秒時(shí)，QE逐漸地與與BC完全重合，則S是△QCG的面積，所以，當(dāng)t=3秒時(shí)，，S是△QCG的面積（如圖一的“靜態(tài)”）；（2）當(dāng)4秒≤t≤5秒時(shí)，即在點(diǎn)E落在線(xiàn)段上到點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，S是四邊形QCGP的面積（如圖二的“靜態(tài)”）；（3）當(dāng)5秒≤t≤8秒時(shí)，點(diǎn)Q、R都在線(xiàn)段BC外，點(diǎn)E在BC上，S是一個(gè)五邊形BCGPH的面積（如圖三的“靜態(tài)”）.即1、運(yùn)動(dòng)規(guī)律；2、思考初始；3、動(dòng)中取靜；4、找等量關(guān)系;5、列方程；6、是否分類(lèi)討論：7、確定分界點(diǎn)。三、典型例題（2006重慶）如圖1所示，一張三角形紙片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜邊AB的中線(xiàn)CD把這張紙片剪成（點(diǎn)和兩個(gè)三角形（如圖2所示）.將紙片（AB）方向平移沿直線(xiàn)始終在同一直線(xiàn)上），當(dāng)點(diǎn)于點(diǎn)B重合時(shí)，停止平移.在平移過(guò)程中，與交于點(diǎn)E,與分別交于點(diǎn)F、P.(1)當(dāng)平移到如圖3所示的位置時(shí)，猜想圖中的與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)設(shè)平移距離為，與重疊部分面積為，請(qǐng)寫(xiě)出與的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量的取值范圍；（3）對(duì)于（2）中的結(jié)論是否存在這樣的的值，使重疊部分的面積等于原若存在，求x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.面積的.分析：1、把握運(yùn)動(dòng)變化的形式及過(guò)程：（AB）方向平移（點(diǎn)題目條件：將沿直線(xiàn)始終在同一直線(xiàn)上），當(dāng)點(diǎn)于點(diǎn)B重合時(shí)，停止平移.所以這是一個(gè)圖形的平移運(yùn)動(dòng)2、思考初始；找出初始位置時(shí)某些幾何元素的數(shù)量和關(guān)系：（1）因?yàn)樵冢?）因?yàn)橹?，，所以由勾股定理，得，CD是斜邊上的中線(xiàn)，所以，，即.（3），.第1問(wèn)：“動(dòng)”中取“靜”：讓圖形和各個(gè)幾何量都“靜”下來(lái)。因?yàn)槭瞧揭?，所以所以，所?，所以，.同理：.又因?yàn)椋?所以第2問(wèn)：（1）是求變量之間的關(guān)系，則建立函數(shù)模型。（2）按題目指定的運(yùn)動(dòng)路徑運(yùn)動(dòng)一遍，重疊部分圖形的形狀不發(fā)生改變，則不需要分類(lèi)討論解決。（3）找等量關(guān)系式：用面積割補(bǔ)法知道（4）“動(dòng)”中取“靜”，求出相關(guān)的常量或者以含有自變量的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量。為便于求其面積，注意選擇三角形的底和高。三角形BD1E的底為BD1，需求高。需求直角三角形C2OF的底和高。我們視自變量為“不變量”，以為“向?qū)А比デ蟪鋈切蔚牡缀透摺＃ˋ）、（B）、又因?yàn)橛傻拿娣e等于面積的一半，等于12.，所以，所以，得，又的邊上的高，為.設(shè)的邊上的高為，所以所以..（C）、又因?yàn)樵谥苯侨切蜳FC2中，C2F=X，，所以.又因?yàn)椋?所以而，所以第3問(wèn)：是求特殊值問(wèn)題，則建立方程模型求解；存在.當(dāng)時(shí)，即整理，得即當(dāng)解得，