第1講概率考點1古典概型.古典概型的概率:_m_事件A中所含的基本事件數(shù)P（A）=n= 試驗的基本事件總數(shù).古典概型的兩個特點：（1）所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個； （2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.［例1］ （1）［2019?全國卷H］生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標.若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為（ ）3B-53B-5A-3（2）［2019?全國卷出］兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同學相鄰的概率是（）1A.61B41A.61B41C,31D2【解析】 （1）本題主要考查古典概型；考查學生的邏輯推理和運算求解能力；考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學運算與數(shù)據(jù)分析.記5只兔子分別為 A, B, C, D, E,其中測量過某項指標的 3只兔子為A, B, C,則從這5只兔子中隨機取出3只的基本事件有ABGABDABEACDACEADEBCDBCEBDE，CDE共10種，其中恰有2只測量過該指標的基本事件有ABDABEACQACEBCDBCE共6種,所以所求事件的概率63所以所求事件的概率63P=77=3105（2）本題考查古典概型，以現(xiàn)實生活中常見的學生排隊問題為背景，考查學生對數(shù)學知識的應用意識.設兩位男同學分別為A、B,兩位女同學分別為a、b,則四位同學排成一列，所有可能的結果用樹狀圖表示為

TOC\o"1-5"\h\z共24種結果，其中兩位女同學相鄰的結果有 12種，121，p(兩位女同學相鄰)=24=2,故選d【答案】 (1)B(2)Df~O技法領悟■■■■ 1古典概型求解的三步(1)判斷本次試驗的結果是否是等可能的，設出所求的事件為 A;(2)分別計算基本事件的總個數(shù) n和所求的事件A所包含的基本事件個數(shù) m；(3)利用古典概型的概率公式 P(A)=7求出事件A的概率.『對接訓練』[2019?廣東深圳模擬]拋兩個各面上分別標有1,2,3,4,5,6的質地均勻的骰子，向上一面的兩個數(shù)字之和為 3的概率是( )1A31b1A31b61C.二361D.—18解析:向上的兩個數(shù)之和為 3的有(1,2),(2,1)兩種情況，拋擲兩個骰子一共有 36種情解析:況，故向上一面的兩個數(shù)字之和為 3的概率是1-,故選D18答案：D[2019?四川成都一診]齊王有上等、中等、下等馬各一匹；田忌也有上等、中等、下等馬各一匹.田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機各選一匹進行一場比賽，若有優(yōu)勢的馬一定獲勝，則齊王的馬獲勝的概率為 ( )A. B-9 9

C.2D73 9解析：設齊王的上等、中等、下等馬分別為 A,B,C,田忌的上等、中等、下等馬分別為a,b,c,現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機各選一匹進行一場比賽，基本事件有 (A,a),(A,b),(Ac),(B,a),(B,b),(B,c),(C,a),(C,b),(C,c),共9種，二?有優(yōu)勢的馬一定獲勝，，齊王的馬獲勝包含的基本事件有 (A,a),(A,b),(A,c),(B,b),(B,c),(C,c),共 6 2種，，齊王的馬秋勝的概率 P=~=~,故選C93答案：C考點2幾何概型.幾何概型的概率公式構成事件A的區(qū)域長度(面積或體積)P(A)=試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度 (面積或體積j幾何概型應滿足兩個條件：基本事件的無限性和每個基本事件發(fā)生的等可能性.[例2] (1)[2018?長沙聯(lián)考]長郡中學夏季運動會上，鐵餅項目運動員往一矩形區(qū)域進的圓，該運動員總能將鐵餅圓心扔在矩行扔餅訓練，該矩形長為6,寬為4,鐵餅是半徑為1的圓，該運動員總能將鐵餅圓心扔在矩形區(qū)域內，則該運動員能將鐵餅完全扔進矩形區(qū)域的概率為.兀A—247tC7tC，3D"8(2)[2019?陜西漢中二模]某電視臺每天中午12:30到13:00播放當?shù)匦侣?，在此期間將隨機播出時長5分鐘的當?shù)匚幕麄髌?若小張于某天12:50打開電視，則他能完整收看到這個宣傳片的概率是( )2A51B312A51B31C51D6(1)由題意，得該運動員總能將鐵餅圓心扔在矩形區(qū)域內，即鐵餅圓心所在區(qū)域為矩形EFGH由幾何概型ABCDEFGH由幾何概型4X21的概率公式，得該運動員能將鐵餅完全扔進矩形區(qū)域的概率為 P=—=不，故選C6X43(2)他能完整收看到這個宣傳片的時間是 12:50到12:55,共5分鐘，12:30到12:55,共25分鐘，，所求概率P=57=7.故選C255【答案】(1)C(2)Cf一~O技法領悟■■■■ ,(1)當試驗的結果構成的區(qū)域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時，應考慮使用幾何概型求解；(2)利用幾何概型求概率時，關鍵是試驗的全部結果構成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時需要設出變量，在坐標系中表示所需要的區(qū)域 ^『對接訓練』[2019?江西上饒“山江湖”協(xié)作體三模 ]如圖，若將一個質點隨機投入正方形 ABCD中，其中AB=2,則質點落在以AB為直徑的半圓內(陰影部分)的概率是( )兀A—12_兀D.—16解析：根據(jù)幾何概型概率的計算公式，可知所求概率為2X2故選解析：根據(jù)幾何概型概率的計算公式，可知所求概率為2X2故選C.答案：C[2019?山東青島調研]有一底面圓的半徑為 1,高為2的圓柱，點。為圓柱下底面圓的圓心，在這個圓柱內隨機取一點 A,則點A到點。的距離大于1的概率為( )3C-43C-41D4… E的"5 l"求1…解析：設點A到點。的距離小于或等于1的概率為R,則Pi=V-=7S<rx7=3,故點A到點。的距離大于1的概率P=1—1=2,故選B.33答案：B考點3概率與其他知識的交匯概率考點是近幾年高考的熱點之一，主要考查隨機事件的概率、古典概型、幾何概型等知識，近幾年高考對概率的考查由單一型向知識交匯型轉化，多與統(tǒng)計、函數(shù)、方程、數(shù)列、平面向量、不等式(線性規(guī)劃)等知識交匯命題.[例3] [2019四四川成都摸底]2018年央視大型詩詞文化音樂節(jié)目《經典詠流傳》熱播，掀起了全民誦讀詩詞的熱潮.某大學社團調查了該校文學院 300名學生每天誦讀詩詞的時間(所有學生誦讀的時間不超過兩小時 )，并按時間(單位：min)分成六個組：[0,20),[20,40),[40,60),[60,80)[40,60),[60,80)，出0,100)圖.(1)求頻率分布直方圖中 a的值，并估計該校文學院的學生每天誦讀詩詞的平均時間 (同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表 )；(2)若2名同學誦讀詩詞的時間分別為x,v,當x,y滿足|x—y|>60時，這2名同學組成一個小組，已知從每天誦讀時間小于 20min和大于或等于80min的所有學生中用分層抽樣的方法抽取5人，現(xiàn)從這5人中隨機選取2人，求選取的2人能組成一個小組的概率.【解析】(1)各組數(shù)據(jù)的頻率之和為 1,即所有小矩形的面積和為 1,故(a+a+6a+8a+3a+a)X20=1,解得a=0.0025,所以該校文學院的學生每天誦讀詩詞的平均時間為10X0.05+30X0.05+50X0.3+70X0.4+90X0.15+110X0.05= 64(min).(2)由頻率分布直方圖知誦讀詩詞的時間在 [0,20)，出0,100),[100,120]內的學生人數(shù)的頻率之比為1:3:1,故抽取的5人中誦讀詩詞的時間在[0,20)，出0,100),[100,120]內的學生人數(shù)分別為1,3,1.設在[0,20)內的1名學生為A,在[80,100)內的3名學生分別為B,C,D,在[100,120]內的1名學生為E,則抽取2人的所有基本事件有{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{B,C},{B,D},{B,E},{C,D},{C,E},{D,E},共10種.選取的2人能組成一個小組的情況有{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},共4種.故選取的2故選取的2人能組成一個小組的概率為4 2P= =—105四技）去領悟■■■■1 解決概率與統(tǒng)計綜合問題的一般步驟TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"弄清題意，理順條件和結論，找到關鍵數(shù)量I關系 ：找準公式，據(jù)圖表數(shù)據(jù)代入公式計算數(shù)值依據(jù)數(shù)據(jù)，借助數(shù)表作出正確判斷\o"CurrentDocument"把圖形語言轉化為數(shù)字，將圖表中的數(shù)字轉，化為公式中的字母 :找準公式，據(jù)圖表數(shù)據(jù)代入公式計算數(shù)值依據(jù)數(shù)據(jù)，借助數(shù)表作出正確判斷『對接訓練』[2019?貴州貴陽監(jiān)測]互聯(lián)網使我們的生活日益便捷，網絡外賣也開始成為人們日常生活中不可或缺的一部分. M市某調查機構針對該市市場占有率最高的兩家網絡外賣企業(yè) （以下簡稱外賣A外賣B）的服務質量進行了調查，從使用過這兩家外賣服務的市民中隨機抽取了1000人，每人分別對這兩家外賣企業(yè)評分，滿分均為100分，并將分數(shù)分成5組，得到以下頻數(shù)分布表：分數(shù)種類[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]外賣A人數(shù)）50150100400300外賣R人數(shù)）100100300200300表中得分越高，說明市民對網絡外賣服務越滿意.若得分不低于 60分，則表明該市民對網絡外賣服務質量評價較高.現(xiàn)將分數(shù)按“服務質量指標”劃分成以下四個檔次：分數(shù)[0,40)[40,60)[60,80)[80,100]

服務質量指標0123從參與調查的市民中隨機抽取 1人，試求其評分中外賣A的“服務質量指標”與外賣 B的“服務質量指標”的差的絕對值等于 2的概率.解析：記外賣A的“服務質量指標”為事件A,外賣B的“服務質量指標”為事件B,70,1,2,3},則其評分中外賣A的“服務質量指標”與外賣B的“服務質量指標”的差的絕對值等于 2的概率為P(A2&+A3B1+A0B2+A1B3)=P(A2B)+P(A3Bi)+P(A03)+P(Ai&)=0.4X0.2+0.3X0.3+0.2X0.2+0.1X0.3=0.24.課時彳^業(yè)16概率[2019?新疆生產建設兵團二中模擬 ]有一枚質地均勻的骰子，拋擲兩次，得到向上一面的兩個點數(shù)，則下列事件中，發(fā)生的概率最大的是 （ ）A.點數(shù)都是偶數(shù) B.點數(shù)的和是奇數(shù)C.點數(shù)的和小于13D.點數(shù)的和小于2解析：畫出樹狀圖如下：1 2 3113456 ][3456 123456123456 123456I23456由圖可知共有36種情況，其中點數(shù)都是偶數(shù)的情況有 9種，點數(shù)的和為奇數(shù)的情況有18種，點數(shù)和小于13的情況有36種，點數(shù)和小于2的情況有0種，故選C答案：C[2019?湖北宜昌聯(lián)考]某次下課后，某教室里還剩下 2位男同學和1位女同學，若他們依次走出教室，則第2個走出的是女同學的概率是（ ）1A21C-41C-41D5解析:由題意知共有6個基本事件，第2個走出的是女同學包含 2個基本事件，所以第2解析:、一一1個走出的是女同學的概率是；.3

答案：B[2019?山東青島調研]已知某運動員每次投籃投中的概率是 40%.現(xiàn)采用隨機數(shù)法估計該運動員三次投籃中，恰有兩次投中的概率：先由計算器隨機產生0?9中的整數(shù)，指定1,2,3,4表示投中，5,6,7,8,9,0表示未投中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結果.現(xiàn)產生了如下10組隨機數(shù)；907966191925271431932458569683. 估計該運動員三次投籃恰有兩次投中的概率為（ ）9D—10解析：隨機模擬產生了10組隨機數(shù)，在這10組隨機數(shù)中，表示三次投籃恰有兩次投中3的有191,271,932，共3組，故所求概率為記，故選C答案：C[2019?廣東佛山調研]將一根長為6m的繩子剪成兩段，則其中一段大于另一段的 2倍的概率為（ ）2C53D5解析:繩子的長度為6E剪成兩段后，設其中一段的長度為2C53D5解析:繩子的長度為6E剪成兩段后，設其中一段的長度為xm,則另一段的長度為（6-x）m,記"其中一段的長度大于另段長度的2倍”為事件A,則A=0<x<6,{x|i|0<x<6,{x|i|x>2(6—x76—x>2x}={x[0<x<2或4Vx<6},?.P(A)=2故選B.3答案：B5.[2019?河北九校聯(lián)考]如圖，矩形的長為6,寬為4,在矩形內隨機撒300顆黃豆，落在橢圓外的黃豆數(shù)為 96,以此試驗數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計出橢圓的面積為 （ ）A.16.32 B,15.32C.8.68 D.7.6896解析：由題意，可估計橢圓的面積為 [1—300心6X4=16.32.故選A答案：A

r,,, 、，…，，一4,, 6.[2019?河南中原名校聯(lián)盟一模]市場調查發(fā)現(xiàn)，大約￡的人喜歡在網上購買家用小電5器，其余的人則喜歡在實體店購買家用小電器.經工商局抽樣調查，發(fā)現(xiàn)網上購買的家用小 17 .、 ,、一 9 、一.、一電器的合格率約為27■，而實體店里的家用小電器的合格率約為得.現(xiàn)工商局接到一個關于家用小電器不合格的投訴，則這臺被投訴的家用小電器是在網上購買的可能性是6A.75b64C.-5解析:4;大約5的人喜歡在網上購買家用小電器，網上購買的家用小電器的合格率約為17??.某家用小電器是在網上購買的， 且被投訴的概率約為6A.75b64C.-5解析:4;大約5的人喜歡在網上購買家用小電器，網上購買的家用小電器的合格率約為17??.某家用小電器是在網上購買的， 且被投訴的概率約為5X（1—17 3201=—,又實體店里的家用小9 電器的合格率約為10,.?.某家用小電器是在實體店里購買的，且被投訴的概率約為1-4)9 1*卜布廠如故工商局接到一個關于家用小電器不合格的投訴，則這臺被投訴的家用小電325 6器是在網上購買的可能性 P=---=-.3I725+50答案：A7.[2019?湖北六校聯(lián)考]在長為10cm的線段AB上任取一點C,現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC,CB的長，則該矩形面積小于16cm2的概率為（ ）1A52B5C?|解析:設AC=x,則BC=10—x,由題意知x(10—x)<16,所以x<2或x>8,又0Vx解析:<10,所以該矩形的面積小于 16cm2的概率為4-=2105答案：B[2019?黑龍江齊齊哈爾模擬]隨著計算機的出現(xiàn)，圖標被賦予了新的含義，有了新的用武之地.在計算機應用領域,圖標成了具有明確指代含義的計算機圖形.如圖所示的圖標是一種被稱為“黑白太陽”的圖標，該圖標共分為三部分.第一部分為外部的八個全等的矩形， 每一個矩形的長為3、寬為1;第二部分為圓環(huán)部分，大圓半徑為 3,小圓半徑為2;第三部分為圓環(huán)內部的白色區(qū)域.在整TOC\o"1-5"\h\z個“黑白太陽”圖標中隨機取一點，則此點取自圖標第三部分的概率為 （ ）A 兀 C4兀A24+9兀B-24+9%兀 4兀C18+9?？?8+9兀解析：圖標第一部分的面積為8X3X1=24,圖標第二部分的面積和第三部分的面積和為兀X32=9兀,圖標第三部分的面積為 兀X22=4兀,故此點取自圖標第三部分的概率為424+9%答案：B.[2019?河北省級示范聯(lián)合體聯(lián)考]袋子中有四個小球，分別寫有“和”“平”“世”“界”四個字，有放回地從中任取一個小球，直到“和”“平”兩個字都取到才算完成.用隨機模擬的方法估計恰好取三次便完成的概率. 利用電腦隨機產生。到3之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，0,1,2,3代表的字分別為“和”“平”“世”“界”，以每三個隨機數(shù)為一組,表示取球三次的結果，隨機模擬產生了以下24組隨機數(shù)組:232321230023之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，0,1,2,3代表的字分別為“和”“平”“世”“界”，以每三個隨機數(shù)為一組,表示取球三次的結果，隨機模擬產生了以下24組隨機數(shù)組:232321230023123021203331100231130133122103233221020132132231220031011320由此可以估計，恰好取三次便完成的概率為A81C-65D241C-65D24解析:由題意可知，滿足條件的隨機數(shù)組中，前兩次抽取的數(shù)中必須包含0或1,且0與1不能同時出現(xiàn)，第三次必須出現(xiàn)前面兩個數(shù)字中沒有出現(xiàn)的 1或0,易知符合條件的數(shù)組只有3組：021,130,031，故所求概率P=亮;1.故選A248答案：A[2019?云南昆明摸底]法國學者貝特朗于1899年針對幾何概型提出了貝特朗悖論,內容如下：在半彳至為1的圓內隨機地取一條弦，問：其長超過該圓內接等邊三角形的邊長J3的概率為多少？基于對“隨機地取一條弦”的不同解釋，存在著不同答案.現(xiàn)給出其中一種解釋：固定弦的一個端點A(如圖)，另一端點在圓周上隨機選取，其答案為(1A21B.31C-1A21B.31C-41d6解析:記圓內接等邊三角形為^ABC弦的另一個端點為 P.如圖，若弦AP的長超過AB的長，則點P落在劣弧BC上，所以所求概率為1.故選B3答案：B[2019?廣東肇慶聯(lián)考]已知某條線的地鐵每10分鐘一班，每站停1分鐘，則乘客到達站臺立即乘上車的概率是.解析：由于地鐵每10分鐘一班，每站停1分鐘，故所求概率P=-1—0=工；.10—0101答案：W _ 1 1…[2019?貴州貴陽監(jiān)測]甲、乙兩人下棋，和棋的概率為乙獲勝的概率為則甲2 3不輸?shù)母怕蕿?解析：設“乙獲勝”為事件A,則P(A)=1.因為甲輸便是乙獲勝，所以甲不輸?shù)母怕适?312-P(A)=1-3=3.2答案：73[2019?河北張家口模擬]已知四棱錐P—ABCD的所有頂點都在球。的球面上，PAL底面ABCD底面ABCM正方形，PA=AB=2.現(xiàn)在球。的內部任取一點，則該點取自四棱錐 P—ABCD'J部的I^率為.解析：將四^^錐P-ABCD#形為正方體，則正方體白^體對角線的長是球 。的直徑，設球O的半徑為R則2m=2R即R=73,則四棱錐的體積V=^X2X2X2= 球。的體積為g3 3 38兀X(J3)3=4J3兀，則該點取自四棱錐P—ABCD勺內部白^概率P=3=嬰.43兀9兀[2019?百校聯(lián)盟培優(yōu)訓練]在一個正五邊形的頂點中隨機選取三個不同的頂點，則正五邊形的中心位于所選三個點構成的三角形內部的概率為解析：如圖，設正五邊形的5個頂點分別為A,B,C,D,E任選三個，情況有10種，為ABCABDABE,ACDACEADEBCDBCEBDECDE其中符合正五邊形的中心位于所選三5 1個點構成的三角形內部的情況有 ABDACDACEBCEBDE共5種，故所求的概率為元=萬.- 1答案：2[2019?廣東汕頭第一次聯(lián)考]某學校有初級教師21人，中級教師14人，高級教師7人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些教師中抽取 6人對績效工資情況進行調查.(1)求從初級教師、中級教師、高級教師中分別抽取的人數(shù)；(2)若從抽取的6名教師中隨機抽取2名進行進一步分析，求抽取的 2名教師均為初級教師的概率.…一 6 1~ 1 1 1 解析：(1)抽樣比為21+14+7=7，則21X7=3,14X'=2,7X亍=1,所以從初級教師、中級教師、高級教師中分別抽取的人數(shù)為 3,2,1.(2)在抽取的6名教師中，3名初級教師分別記為A,A2,入,2名中級教師分別記為A4,A5,1名高級教師記為 A6,則抽取2名教師的所有可能結果有{A1, A},{A1, A3}, {A1, A4}, {Ai, A5},{Ai,A},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A},{A3,A4},{A3,A},{A3,A6},{A4,A},{A4,A6},{A5,A},共15種.將“從6名教師中抽取的2名教師均為初級教師”記為事件 B,則事件B發(fā)生的所有可能結果有{Ai,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3種.所以P(B)=：3=!155[2019?河南洛陽市尖子生第二次聯(lián)考]某港口有一個泊位，現(xiàn)統(tǒng)計了某月100艘輪船在該泊位?？康臅r間(單位：時)，?？繒r間不足半小時按半小時計，超過半小時且不足 1小時按1小時計，以此類推，統(tǒng)計結果如下表：

?？繒r間/時2.533.544.555.56輪船數(shù)量/艘12121720151383(1)設該月100艘輪船在該泊位的平均?？繒r間為 a小時，求a的值；(2)假定某天只有甲、乙兩艘輪船需要在該泊位各?？?a小時，且在一晝夜的時間段中隨機到達，求這兩艘輪船有一艘在停靠時必須等待的概率.1解析：(1)a=X(2.5X12+3X12+3.5X17+4X20+4.5X15+5X13+5.5X8+0<xW24,0<xW24,0<yw24,(2)設甲船到達的時間為x,乙船到達的時間為 y,則“若這兩艘輪船在?？繒r有一艘需要等待，則|y—x|<4,符合題意的區(qū)域如圖中陰影部分(不包括x,y軸)所示.記“這兩艘輪船有一艘在?？繒r必須等待”為事件 A,貝UP(A)=24X24-2X-X20X20224X2411貝UP(A)=24X24-2X-X20X20224X241136.故這兩艘輪船有一艘在?？繒r必須等待的概率為1136.[2019?黑龍江哈爾濱六中段考]如圖是某市3月1日至3月14日的空氣質量指數(shù)折線圖.空氣質量指數(shù)小于100表示空氣優(yōu)良，空氣質量指數(shù)大于200表示空氣重度污染.某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市，并停留2天(包括到達當天).救舞曲照r棚0救舞曲照r棚0I日俎384FI5日6H7日80901囑11—231301明日期(1)求此人到達當日空氣優(yōu)良的概率；(2)求此人在該市停留期間只有 1天空氣重度污染的概率；(3)由圖判斷從哪天開始連續(xù) 3天的空氣質量指數(shù)方差最大. (直接寫出結論，不要求證明)

解析：(1)由圖看出，1日至13日這13天內，空氣優(yōu)良的是1日、2日、3日、7日、12日、13日，共6天.由古典概型概率計算公式得，此人到達當日空氣優(yōu)良的概率 P=6Z.13(2)此人在該市停留的兩天的空氣質量指數(shù)可能為 (86,25),(25,57),(57,143),(143,220),(220,160),(160,40),(40,217),(217,160),(160,121),(121,158),(158,86),(86,79),(79,37),共13種情況.其中只有1天空氣重度污染的是(143,220),(220,160),(40,217),(217,160),共4種情況，所以，此人在該市停留期間只