第四節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)【教材·知識梳理】1.根式的性質(zhì)(1)()n=a(n>1，且n∈N*).(2)2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)(a>0，m，n∈N*，且n>1).(2)(a>0，m，n∈N*，且n>1).3.有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)(1)aras=____.(2)(ar)s=___.(3)(ab)r=____(a>0，b>0，r，s∈Q).ar+sarsarbr4.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)【常用結(jié)論】1.指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0，a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大.2.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0，a≠1)的圖象和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分a>1與0<a<1來研究.【知識點辨析】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)與()n都等于a(n∈N*). (

)(2)2a·2b=2ab. (

)(3)函數(shù)y=3·2x與y=2x+1都不是指數(shù)函數(shù). (

)(4)若am<an(a>0,且a≠1),則m<n. (

)提示:(1)×.=()n=a.(2)×.2a·2b=2a+b.(3)√.由指數(shù)函數(shù)的定義知應(yīng)滿足的條件:①系數(shù)為1,②指數(shù)為x.③底數(shù)a>0且a≠1.(4)×.當(dāng)a>1時,由am<an,得m<n,當(dāng)0<a<1時,由am<an,得m>n.【易錯點索引】序號易錯警示典題索引1注意有理數(shù)指數(shù)冪性質(zhì)的條件考點一、T12忽略底數(shù)的取值范圍考點二、T13忽略指數(shù)函數(shù)的值域考點二、T34忽略恒成立與存在使之成立的差異考點三、角度3【教材·基礎(chǔ)自測】1.(必修1P90練習(xí)BT2改編)化簡(x<0,y<0)得 (

)

A.2x2y B.2xy C.4x2y D.-2x2y【解析】選D.因為x<0,y<0,所以

=16x8·y4=16·x8

·y4=2x2|y|=-2x2y.2.(必修1P94習(xí)題3-1AT4改編)已知a=,b=,c=,則a,b,c的大小關(guān)系是(

)A.a<b<c B.a<c<bC.b<a<c D.c<b<a【解析】選D.因為y=是減函數(shù),所以

>>,即a>b>1,又c=<=1,所以c<b<a.3.(必修1P94習(xí)題3-1BT6改編)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量原來是a件,在今后m年內(nèi),計劃使每年的產(chǎn)量比上一年增加p%,則該產(chǎn)品的產(chǎn)量y隨年數(shù)x變化的函數(shù)解析式為(

)A.y=a(1+p%)x(0<x<m)B.y=a(1+p%)x(0≤x≤m,x∈N)C.y=a(1+xp%)(0<x<m)D.y=a(1+xp%)(0≤x≤m,x∈N)【解析】選B.第一年為y=a(1+p%),第二年為y=a(1+p%)(1+p%)=a(1+p%)2,第三年為y=a(1+p%)(1+p%)(1+p%)=a(1+p%)3,…,則第x年為y=a(1+p%)x(0≤x≤m且x∈N).4.(必修1P93練習(xí)BT1改編)若函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)的圖象經(jīng)過點P,則f(-1)=________.

【解析】由題意知=a2,所以a=,所以f(x)=,所以f(-1)==.

答案:

思想方法分類討論思想在指數(shù)函數(shù)中的應(yīng)用

【典例】已知函數(shù)f(x)=+b(a,b是常數(shù)且a>0,a≠1)在區(qū)間上有最大值3和最小值,試求a,b的值.【解析】令t=x2+2x=(x+1)2-1,因為x∈,所以t∈[-1,0].(1)若a>1,則函數(shù)y=at在[-1,0]上為增函數(shù),所以at∈,則b+∈依題意得解得

(2)若0<a<1,則函數(shù)y=at在[-1,0]上為減函數(shù),所以at∈,則b+∈,依題意得解得綜上,所求a,b的值為或

思想方法指導(dǎo)(1)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)不確定時,應(yīng)分a>1和0<a<1兩種情況討論.(2)解決和指數(shù)函數(shù)有關(guān)的值域或最值問題時,要熟練掌握指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,搞清復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu),利用換元法求解時要注意新元的取值范圍.遷移應(yīng)用已知a>0,且a≠1,函數(shù)f(x)=若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值比最小值大,求a的值.【解析】當(dāng)1<x≤2時,f(x)=-x+a是減函數(shù),f(x)min=f(2)=-2+a,f(x)<-1+a.當(dāng)0≤x≤1時,①若a>1,則有1≤ax≤a,所以當(dāng)x∈[0,2]時,f(x)max=a.(ⅰ)若1≤-2+a,即a≥3,則f(x)min=1.由于f(x)在[0,2]上的最大值比最小值大,所以a-1=,解得a=.(ⅱ)若-2+a<1,即a