第二節(jié)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【教材·知識梳理】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)：①若f′(x)>0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)_________；②若f′(x)<0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)_________；③若f′(x)=0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)是_________.單調(diào)遞增單調(diào)遞減常數(shù)函數(shù)【常用結(jié)論】1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法(1)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不等式可解時，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出單調(diào)區(qū)間.(2)當(dāng)方程f′(x)=0可解時，解出方程的實根，按實根把函數(shù)的定義域劃分區(qū)間，確定各區(qū)間f′(x)的符號，從而確定單調(diào)區(qū)間.(3)若導(dǎo)函數(shù)的方程、不等式都不可解，根據(jù)f′(x)結(jié)構(gòu)特征，利用圖象與性質(zhì)確定f′(x)的符號，從而確定單調(diào)區(qū)間.2.兩個條件(1)f′(x)>0是函數(shù)f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件.(2)f′(x)<0是函數(shù)f(x)為減函數(shù)的充分不必要條件.3.確定單調(diào)區(qū)間端點值的三個依據(jù)(1)導(dǎo)函數(shù)等于零的點.(2)函數(shù)不連續(xù)的點.(3)函數(shù)不可導(dǎo)的點.4.三點注意(1)在函數(shù)定義域內(nèi)討論導(dǎo)數(shù)的符號.(2)兩個或多個增(減)區(qū)間之間的連接符號，不用“∪”，可用“，”或用“和”.(3)區(qū)間端點可以屬于單調(diào)區(qū)間，也可以不屬于單調(diào)區(qū)間.【知識點辨析】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)在(a,b)內(nèi)f′(x)≤0,且f′(x)=0的根有有限個,則f(x)在(a,b)內(nèi)是減函數(shù). (

)(2)若函數(shù)f(x)在定義域上都有f′(x)<0,則函數(shù)f(x)在定義域上一定單調(diào)遞減.(

)(3)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,則f′(x)>0恒成立. (

)提示:(1)√.(2)×.不一定,如函數(shù)y=的導(dǎo)函數(shù)y′=-<0恒成立,但是函數(shù)y=的圖象不是恒下降的.(3)×.不一定,如y=x3在[-1,3]上單調(diào)遞增,但是y′=3x2在x=0處的值為0.【易錯點索引】序號易錯警示典題索引1忽視定義域優(yōu)先的原則考點一、T1,22分類討論時分類標(biāo)準(zhǔn)出錯考點二、典例3已知單調(diào)性求參數(shù)的問題時,所列不等式是否取等號出錯考點三、角度3【教材·基礎(chǔ)自測】1.(選修2-2P25例3改編)函數(shù)f(x)=x-lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為 (

)A.(0,1)

B.(0,+∞)C.(1,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞)【解析】選A.函數(shù)的定義域是(0,+∞),且f′(x)=1-,令f′(x)<0,得0<x<1.2.(選修2-2P26練習(xí)AT1改編)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則f(x)的圖象可能是 (

)【解析】選D.由題圖可知,當(dāng)x<0和x>x1時,導(dǎo)函數(shù)f′(x)=ax2+bx+c<0,知相應(yīng)的函數(shù)f(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞減;當(dāng)0<x<x1時,導(dǎo)函數(shù)f′(x)=ax2+bx+c>0,知相應(yīng)的函數(shù)f(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞增.3.(選修2-2P27練習(xí)AT4改編)利用導(dǎo)數(shù)討論指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0,a≠1)的單調(diào)性.【解析】指數(shù)函數(shù)f(x)=ax的定義域為R,因為f′(x)=axlna,對于任意x∈R,總有ax>0,所以當(dāng)0<a<1時,lna<0,f′(x)<0,函數(shù)在R上單調(diào)遞減,當(dāng)a>1時,lna>0,f′(x)>0,函數(shù)在R上單調(diào)遞增.綜上,當(dāng)0<a<1時,函數(shù)f(x)=ax單調(diào)遞減,當(dāng)a>1時,函數(shù)f(x)=ax單調(diào)遞增.解題新思維構(gòu)造法的應(yīng)用

【結(jié)論】構(gòu)建新函數(shù)解答比較大小和不等式問題分析已知條件的特點構(gòu)造新的函數(shù),對新函數(shù)求導(dǎo)確定其單調(diào)性,再由單調(diào)性進行大小的比較.【典例】(2020·涼山模擬)若0<x1<x2<a都有x2lnx1-x1lnx2<x1-x2成立,則a的最大值為 (

)A. B.1 C.e D.2e【解析】選B.原不等式可轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)f(x)=,f′(x)=,故函數(shù)在(0,1)上導(dǎo)數(shù)大于零,單調(diào)遞增,在(1,+∞)上導(dǎo)數(shù)小于零,單調(diào)遞減.由于x1<x2且f(x1)<f(x2),故x1,x2在區(qū)間(0,1)上,故a的最大值為1.【遷移應(yīng)用】已知y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x<0時不等式f(x)+xf′(x)<0成立,若a=30.3·f(30.3),b=logπ3·f(logπ3),c=,則a,b,c的大小關(guān)系是 (

)A.a>b>c

B.c>b>aC.a>c>b

D.c>a>b【解析】選D.令h(x)=xf(x),因為函數(shù)y=f(x)以及函數(shù)y=x是R上的奇函數(shù),所以h(x)=xf(x)是R上的偶函數(shù).又因為當(dāng)x<0時,h′(x)=f(x)+xf′(x)<0,所以函數(shù)h(x)在x∈(-∞,0)時單調(diào)遞減,所以h(x)在x∈(0,+∞)時單調(diào)遞增.因為a=30.3·f(30.3)=h(30.3),b=logπ3