2023年高二下學期開學考（2月）模擬試卷(時間：120分鐘，分值：150分，范圍：選擇性必修一+選擇性必修二第一章)一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題紿岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知平面向量，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．2．已知過點的直線與圓相切，且與直線平行，則（

）A．2 B．1 C． D．3．坐標平面內有相異兩點，，經(jīng)過兩點的直線的的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．已知實數(shù)，，，滿足，，，則的最大值是（

）A．6 B．8 C． D．125．已知數(shù)列滿足，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．在棱長為2的正方體中，分別為的中點，則（

）A．平面平面B．點為正方形內一點，當平面時，的最小值為C．過點的平面截正方體所得的截面周長為D．當三棱錐的所有頂點都在球的表面上時，球的表面積為7．已知點，圓，若在圓上存在唯一的點使得，則可以為（

）A． B．68 C．2或或或 D．或或548．設拋物線的焦點是，直線與拋物線相交于兩點，且，線段的中點到拋物線的準線的距離為，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．已知方程表示的曲線為，則下列四個結論中正確的是（

）A．當或時，曲線是雙曲線B．當時，曲線是橢圓C．若曲線是焦點在軸上的橢圓，則D．若曲線是焦點在軸上的橢圓，則10．給出下列命題，其中正確的命題是（

）A．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線B．若對空間中任意一點，有，則四點共面C．兩個非零向量與任何一個向量都不能構成空間的一個基底，則這兩個向量共線D．已知向量，，則在上的投影向量為11．已知數(shù)列的前項和為，下列說法正確的（）A．若，則是等差數(shù)列B．若，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則D．若是等比數(shù)列，且，則12．如圖，經(jīng)過坐標原點且互相垂直的兩條直線和與圓相交于四點，為弦的中點，則下列說法正確的是（

）A．線段長度的最大值為；B．弦長度的最小值為；C．點的軌跡是一個圓；D．四邊形面積的取值范圍為.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計20分.13．正方體的棱長為2，若動點在線段上運動，則的取值范圍是___________．14．若圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則直線斜率的取值范圍是___________15．如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為，，，P是雙曲線右支上的一點，與y軸交于點A，的內切圓在邊上的切點為Q，若，則雙曲線的離心率是______.16．記為數(shù)列的前項和，已知對任意的，，且存在，，則的取值集合為______（用列舉法表示）四、解答題：本題共6小題，共計70分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．(10分)已知直線與圓交于A，B兩點．(1)若圓心C到直線l的距離為，求k的值.(2)是否存在過點的直線垂直平分弦？若存在，求出直線與直線l的交點坐標；若不存在，請說明理由．18．(12分）如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A,B的點,平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E,F分別是PC,PB的中點,記平面AEF與平面ABC的交線為直線l.(1)證明：l⊥平面PAC；(2)直線l上是否存在點Q，使得直線PQ與平面AEF所成的角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.19.（12分）已知正項等比數(shù)列前項和為，當時，.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.20．（12分）已知橢圓的右焦點，長半軸長與短半軸長的比值為2．(1)求橢圓的標準方程；(2)設為橢圓的上頂點，直線與橢圓相交于不同的兩點，，若，求直線的方程．21．（12分）記數(shù)列的前項和為.(1)求的通項公式；(2)設，記的前項和為.若對于且恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（12分）已知雙曲線的右焦點為F，點分別為雙曲線C的左、右頂點，過點F的直線l交雙曲線的右支于兩點，設直線的斜率分別為，且.(1)求雙曲線C的方程；(2)當點P在第一象限，且時，求直線l的方程.高二下學期開學考（2月）模擬試卷(時間：120分鐘，分值：150分，范圍：選擇性必修一+選擇性必修二第一章)一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題紿岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知平面向量，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得，設與的夾角為，由求解即可.【詳解】解：因為，，所以，設與的夾角為，則，又因為，所以.故選：A2．已知過點的直線與圓相切，且與直線平行，則（

）A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)垂直關系設切線方程，再根據(jù)圓心到切線距離等于半徑列式解得結果.【詳解】因為切線與直線平行，所以切線方程可設為因為切線過點P(2，2)，所以因為與圓相切，所以故選：C3．坐標平面內有相異兩點，，經(jīng)過兩點的直線的的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用斜率公式求出，再利用三角函數(shù)求出的范圍，利用斜率與傾斜角的關系求出傾斜角的范圍.【詳解】因為點，是相異兩點，，且，設直線的傾斜角為，則當，傾斜角的范圍為．當，傾斜角的范圍為．故選：B【點睛】易錯點睛：本題考查直線的傾斜角的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意是相異的兩個點，利用求出斜率的范圍，再利用傾斜角與斜率的關系求出傾斜角的范圍，屬于易錯題.4．已知實數(shù)，，，滿足，，，則的最大值是（

）A．6 B．8 C． D．12【答案】D【分析】采用數(shù)形結合法，將所求問題轉化為兩點到直線的距離和的倍，結合梯形中位線性質和三角形三邊關系可求.【詳解】由，，，可知，點在圓上，由，即為等腰直角三角形，結合點到直線距離公式可理解為點到直線的距離，變形得，即所求問題可轉化為兩點到直線的距離和的倍，作于于，中點為，中點為，由梯形中位線性質可得，，作于，于，連接，則，當且僅當與重合，三點共線時，有最大值，由點到直線距離公式可得，由幾何性質可得，，此時，故的最大值為.故選：D5．已知數(shù)列滿足，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題目信息以及數(shù)列的遞推關系式，將表示成的表達式，即可求出的取值范圍.【詳解】由題意可知，當為奇數(shù)時，，此時為偶數(shù)，則，所以，即，所以，即，即.故選：B.6．在棱長為2的正方體中，分別為的中點，則（

）A．平面平面B．點為正方形內一點，當平面時，的最小值為C．過點的平面截正方體所得的截面周長為D．當三棱錐的所有頂點都在球的表面上時，球的表面積為【答案】B【分析】根據(jù)面面平行無交線可判斷A；由面面平行的性質得出DP所在的平面，即可分析最小值P點的位置，求解即可；用向量法根據(jù)平行的坐標表示，求出過點的平面截正方體所得的截面，即可計算周長；根據(jù)三棱錐的外接球半徑公式和球體的表面積公式求解即可.【詳解】解：對于A，延長，，，，有兩個交點I，J，代表平面平面，兩平面不平行，A選項錯誤對于B，分別取，的中點，，連接，則，，且，，平面，平面，所以平面平面，已知點為正方形內一點，當P在上時，平面，滿足平面，在中，，，則為等腰三角形，點P在的中點時，有最小值，在中，，，B選項正確；對于C，如圖建立空間直角坐標系，設，，則，，，，，，，，則，解得，截面周長為，C選項錯誤；對于D，當三棱錐的所有頂點都在球的表面上時，，D選項錯誤；故選：B.7．已知點，圓，若在圓上存在唯一的點使得，則可以為（

）A． B．68 C．2或或或 D．或或54【答案】C【分析】若在圓上存在唯一的點使得，存在幾種情況：（1）圓內切于以為直徑的圓；（2）以為直徑的圓內切于圓時；（3）當點A在圓上；（4）點在圓上，每種情況分別求出的值即可.【詳解】將圓化為標準方程，圓心，半徑若在圓上存在唯一的點使得，當以為直徑的圓和圓相切時，以為直徑的圓的圓心，半徑為，兩圓的圓心距，①當圓內切于圓時，圓的半徑，解得，②當圓內切于圓時，圓的半徑，解得，當以為直徑的圓和圓相交時，①當點A在圓上時，將代入中，解得：.②當點在圓上時，將代入中，解得.綜上可得或或或，故選：C.8．設拋物線的焦點是，直線與拋物線相交于兩點，且，線段的中點到拋物線的準線的距離為，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】設出線段的長度，用余弦定理求得的長度，利用拋物線的定義以及梯形的中位線長度的計算，從而轉化為的關系式，再結合不等式即可求得其最小值.【詳解】設，，過點，分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為，，如下所示：則，，因為點為線段的中點，根據(jù)梯形中位線定理可得，點到拋物線的準線的距離為，因為，所以在中，由余弦定理得，所以，又因為，所以，當且僅當時，等號成立，（顯然存在），所以，則的最小值為.故選：C.【點睛】關鍵點睛：本題考查拋物線中的最值問題，處理問題的關鍵是充分利用拋物線的定義，還要注意到不等式的應用。二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．已知方程表示的曲線為，則下列四個結論中正確的是（

）A．當或時，曲線是雙曲線B．當時，曲線是橢圓C．若曲線是焦點在軸上的橢圓，則D．若曲線是焦點在軸上的橢圓，則【答案】AD【分析】根據(jù)雙曲線、橢圓標準方程的特征，依次構造不等式求得每種曲線對應的的范圍即可.【詳解】對于A，若曲線為雙曲線，則，解得：或，A正確；對于B，若曲線為橢圓，則，解得：或，B錯誤；對于C，若曲線是焦點在軸上的橢圓，則，解得：，C錯誤；對于D，若曲線是焦點在軸上的橢圓，則，解得：，D正確.故選：AD.10．給出下列命題，其中正確的命題是（

）A．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線B．若對空間中任意一點，有，則四點共面C．兩個非零向量與任何一個向量都不能構成空間的一個基底，則這兩個向量共線D．已知向量，，則在上的投影向量為【答案】CD【分析】選項A，因為，直線的方向向量與平面的法向量垂直，直線可能在平面內，也可能與平面平行；選項B，根據(jù)空間向量四點共面條件即可判斷B；選項C，根據(jù)平面向量基底的定義可判斷C；選項D，根據(jù)投影向量的公式即可判斷D.【詳解】選項A，由已知直線的方向向量為，平面的法向量為，所以，所以，所以直線或，故A錯誤；選項B，因為，，根據(jù)空間向量四點共面條件可知，四點不共面，故B錯誤；選項C，三個不共面的向量可以成為空間的一個基底，兩個非零向量與任何一個向量都不能構成空間的一個基底，則這兩個向量共線，故C正確；選項D，由，，在上的投影向量為，故D正確.故選：CD.11．已知數(shù)列的前項和為，下列說法正確的（）A．若，則是等差數(shù)列B．若，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則D．若是等比數(shù)列，且，則【答案】BC【分析】對于A，求出，,即可判斷；對于B，利用求出通項公式，再驗證是否滿足2，即可判斷；對于C，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可判斷；對于D，當時，可得，即可判斷．【詳解】解：對于A，若，則，，，則不是等差數(shù)列，A錯誤；對于B，若，則，當時，，滿足2，所以，則是等比數(shù)列，B正確；對于C，是等差數(shù)列，則，C正確；對于D，若是等比數(shù)列，當時，則，D錯誤.故選：BC．12．如圖，經(jīng)過坐標原點且互相垂直的兩條直線和與圓相交于四點，為弦的中點，則下列說法正確的是（

）A．線段長度的最大值為；B．弦長度的最小值為；C．點的軌跡是一個圓；D．四邊形面積的取值范圍為.【答案】BCD【分析】根據(jù)方程寫出已知圓的圓心和半徑，由長度表示圓上點到原點的距離即可判斷A；由圓的性質判斷B；若分別是的中點，圓心到直線和的距離且，易證為矩形且其中心對角線長度恒定，即可確定的軌跡判斷C；根據(jù)得到四邊形面積關于的表達式，結合二次函數(shù)性質求范圍判斷D.【詳解】由題設圓的方程為，設圓心為，則，半徑，由三角形兩邊之和大于第三邊可知，且，所以當長度最大時圓心與共線且在它們中間，此時錯誤；由圓的性質知當即圓心與直線距離最大時長度的最小，此時圓心與直線距離為，故正確；若分別是的中點，則且且，又，易知：為矩形，而，若圓心到直線的距離且，所以，則，故，所以在以為直徑，交點為圓心的圓上，C正確；由上分析：，而，所以，令，則，當，即時，；當或5，即或時，；所以，D正確；故選：BCD【點睛】難點在于CD選項，選項C：證明分別是的中點所形成的四邊形為矩形且對角線長度及中心恒定，判斷軌跡形狀；選項D：利用得到四邊形面積關于的表達式，結合二次函數(shù)性質求范圍.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計20分.13．正方體的棱長為2，若動點在線段上運動，則的取值范圍是___________．【答案】【分析】建立空間直角坐標系，設，即可求出，再根據(jù)的范圍，求出的取值范圍．【詳解】解：以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標系．則，，，，．，，．點在線段上運動，，且．，，∵，∴，即，故答案為：．14．若圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則直線斜率的取值范圍是___________【答案】【分析】由圓的方程可求得其圓心和半徑，當圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，只需要找出臨界位置使圓心到直線距離為即可求出斜率的取值范圍.【詳解】將圓化成標準方程為，則圓心坐標為,半徑；若圓上恰有三個不同的點到直線的距離為，則需滿足圓心到直線的距離為，即，解得.此時直線如下圖中兩條虛線所示，當直線被夾在第一象限的兩虛線之間時，有四個不同的點到直線的距離為，所以，當圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，需滿足，即直線斜率的取值范圍是.故答案為：15．如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為，，，P是雙曲線右支上的一點，與y軸交于點A，的內切圓在邊上的切點為Q，若，則雙曲線的離心率是______.【答案】3【分析】先利用切線長定理求得雙曲線的半實軸長，再由求得雙曲線的半焦距長，進而求得雙曲線的離心率【詳解】設的內切圓在邊上的切點分別為，則，又由，可得，則，則，又，則，即，由，可得，即，則雙曲線的離心率，故答案為：316．記為數(shù)列的前項和，已知對任意的，，且存在，，則的取值集合為______（用列舉法表示）【答案】【分析】先計算得到，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式計算求解即可．【詳解】解：為偶數(shù)時，，∴，或19，當時，，∴；當時，，∴．綜上：的取值集合．故答案為：．【點睛】本題的關鍵是理解：如果一個數(shù)列成等差，則相同間隔構造的新數(shù)列也成等差數(shù)列．譬如成等差，則也成等差數(shù)列．四、解答題：本題共6小題，共計70分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（12分）已知直線與圓交于A，B兩點．(1)若圓心C到直線l的距離為，求k的值.(2)是否存在過點的直線垂直平分弦？若存在，求出直線與直線l的交點坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)或(2)不存在，理由見解析【分析】（1）由題意可知圓心坐標，利用點到直線距離公式即可求得k的值；（2）假設存在直線，根據(jù)垂直平分線方程和的位置即可得出矛盾，即不存在過點D的直線.【詳解】（1）由圓可知，圓心，半徑圓心C到直線l的距離，化簡得，解得或．（2）解法一：直線過定點．因為直線l與圓C交于A，B兩點，所以，解得．若存在直線垂直平分弦，則直線必過圓心C．因為直線的斜率，所以直線的斜率．因為，所以不存在過點D的直線垂直平分弦．解法二：直線過定點．若存在直線垂直平分弦，則直線必過圓心C．因為直線的斜率，所以直線的方程為，即．因為直線垂直于直線l，所以直線l的斜率為3，直線l的方程為．聯(lián)立解得所以直線與直線l的交點為．而，所以點不在圓C內，即不存在過點D的直線垂直平分弦．18．（12分）如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A,B的點,平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E,F分別是PC,PB的中點,記平面AEF與平面ABC的交線為直線l.(1)證明：l⊥平面PAC；(2)直線l上是否存在點Q，使得直線PQ與平面AEF所成的角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明過程見解析(2)存在，且【分析】（1）先作出輔助線，找到平面AEF與平面ABC的交線，再由AB為直徑，得到AC⊥AS，結合面面垂直得到線面垂直，證明出結論；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求解線面角，列出方程，求出的值.【詳解】（1）連接CO并延長，交圓O于點S，連接AS，SB，SF，則，四邊形為矩形，BCAS，因為EFBC，所以EFAS，故平面AEF與平面ABC的交線為AS所在直線，即AS所在直線為直線l，因為CS為直徑，所以AC⊥AS，因為平面PAC⊥平面ABC，交線為AC，AS平面ABC，所以AS⊥平面PAC，即l⊥平面PAC；（2）在AS上取點Q，連接PQ，以C為坐標原點，CA所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，垂直CA，CB的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為PA=PC=AC=2，BC=4，所以，設平面AEF的法向量為，則，解得：，令，則，故，，故，解得：，故，即直線l上存在點Q，使得直線PQ與平面AEF所成的角的正弦值為，且.19．．（12分）已知正項等比數(shù)列前項和為，當時，.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項公式，結合與的關系式即可求得與，從而得解；（2）結合（1）中結論，求得的通項公式，再利用裂項相消法即可求得.【詳解】（1）設正項等比數(shù)列的公比為，，由得，解得，當時，，，則，即，，.（2）由（1）得，，，，.20．．（12分）已知橢圓的右焦點，長半軸長與短半軸長的比值為2．(1)求橢圓的標準方程；(2)設為橢圓的上頂點，直線與橢圓相交于不同的兩點，，若，求直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）