《解直角三角形的應用》教學案例【教學內容】上海教育出版社九年義務教育課本九年級第一學期（試驗本）第二十四章第2節(jié)P77-79Ⅰ：教案【教學目標】知識與技能理解坡度（或坡比）及坡角的概念。并在掌握概念的基礎上運用這兩個概念及前面所學的解直角三角形相關知識解決斜坡中簡單的計算問題。過程與方法（1）通過殘疾人通道這個實際生活中常見的例子，讓學生先從感性上認識坡度與坡角，然后把它抽象成數學中的幾何圖形，具體介紹什么是坡度什么是坡角，上升到理性認識。（2）在掌握了概念的基礎上，運用新學知識解決開課時提到到的殘疾人通道問題，讓孩子明白數學服務于生活。（3）用坡度這一概念，通過直角三角形解決求鐵路路基的下底寬，然后對該題目進行適當的變式，把路基加寬，讓學生對剛學的坡度有進一步的認識，同時提高了解決問題的能力。解題過程及總結都由學生自己得出，可以培養(yǎng)學生的語言表達能力，及概括能力。（4）以小組討論的形式解決問題，加強了學生之間的相互交流和師生交流，讓學生參與到教學中來，挖掘學生的潛力。體現(xiàn)情感態(tài)度與價值觀在練習的過程中，學生可以自己畫，自己想，自己講，自己糾正，自己總結，體會到自己在學習中的主體地位?！窘虒W重點】：引導學生學習并運用坡度和解直角三角形的知識，解決斜坡中的簡單計算問題?！窘虒W難點】：如何根據實際圖形建模，把生活中問題抽象成數學問題，并添出相應的輔助線，從而解決問題。【教學準備】：制作課件通過一個書上例題及補充的相應變式題對新知識進行鞏固【教學流程圖】：通過一個書上例題及補充的相應變式題對新知識進行鞏固通過實例自然引出坡度、坡角的概念了解了概念后再去解決這個事例通過實例，自然引出扇形的定義辨別哪些圖形是扇形，加深對定義的理解。通過實例自然引出坡度、坡角的概念了解了概念后再去解決這個事例通過實例，自然引出扇形的定義辨別哪些圖形是扇形，加深對定義的理解。課堂小結課堂小結布置作業(yè)布置作業(yè)教學過程教學內容教師活動學生活動教學設計說明一、情景引入1、同學們，你們經常會在一些大樓的入口處看到殘疾人通道嗎？（可以借助多媒體把實際拍攝的一些畫面播放）我們要關心身邊的這些人。2、我們知道，通道是斜坡，如果我們進一步知道沿著通道走的路程，而且樓廳比樓外的地面高多少米也知道，那么你能通過這些已知條件求出該通道坡面和水平地面之間的夾角嗎？3、這個問題中涉及到我們今天要新學的一些概念及如何用這些知識去解決一些實際問題。（板書課題）同學們開始觀察屏幕學生開始思考老師提出的問題。從實際生活背景出發(fā)，創(chuàng)設一些情境，這樣的情景創(chuàng)設，讓學生從感性上認識坡角與坡度，對新的內容產生一定的興趣，調動學生思維的積極性.而且以殘疾人通道為例，可以在潛移默化中培養(yǎng)學生關心他人，互幫互助的品質。二、圍繞課題開始新課學習例題5大樓前殘疾人通道是斜坡，若用AB表示，沿著通道走米可進入樓廳，樓廳比樓外的地面高米，那么你知道該通道的坡度與坡角嗎？（角度精確到1’，其他近似數取四位有效數字）.我們可以把剛剛的那幅殘疾人通道圖的截面抽象成一個我們已經學過的什么圖形？老師一邊聽回答一邊在黑板上畫圖（如左圖）屏幕出現(xiàn)：坡面的鉛垂高度（h）和水平寬度（L）的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i，即i=.坡度通常寫成1:m的形式，如i=1∶．坡面與水平面的夾角叫做坡角,記作α.坡度i與坡角α之間的關系:i==tanα.我們新學了幾個新知識？什么叫坡度，什么是坡角下面我們應用剛學的新知識來解決一開始出現(xiàn)的問題。（屏幕出現(xiàn)例5）AB、BC、AC各表示什么？如何求i？(老師一邊聽取學生的方法，一邊板書)老師可以作提示比如：i=，為了求i，先求什么？知道了i，就相當于知道了一個角的正切值，那么坡角能解決了嗎？老師的板書：解過點A作水平線l，再作BC⊥l,垂足為點C.根據題意,可知AB=,BC=米.在Rt△ABC中,AC==≈(米).∴i=≈1:.∴tanA=≈，∴∠A≈7°11’.答:殘疾人通道的坡度約為1：，坡角約為7°11’直角三角形坡度、坡比和坡角AB表示坡面BC表示鉛錘高度AC表示水平寬度學生回答（學生在互相討論互相糾正中完成本題）一邊看黑板，一邊拿計算器幫助老師一起計算。提出截面的概念為后面做的一系列實際生活中的題目作鋪墊抹黑部分在黑板上老師再板書一次，讓學生加深印象尤其強調i必須寫成1：m的形式通過提問和追問的形式讓學生對新學的知識進行階段性的總結會讓學生對新的概念有進一步的認識通過問答的形式讓學生對坡面、鉛垂高度和水平寬度等一系列名詞能慢慢熟悉師生互動，生生互動中，既活躍了課堂氣氛，又讓學生覺得數學不是一件很枯燥的事情，而且有些數學比較薄弱的孩子在計算器的計算上是比較優(yōu)秀的，他們也可以在解答中找到安慰與自信。三、知識的應用與鞏固例題6如圖(圖中單位:米),一段鐵路路基的橫斷面為等腰梯形ABCD,路基頂寬BC為米,路基高為米,斜坡AB的坡度i=1:.(1)計算路基的下底寬(精確到米);(2)求坡角(精確到1°)補充例題：如圖，一段鐵路路基的橫斷面是等腰梯形ABCD，斜坡的坡度為1∶，路基高為米，現(xiàn)由單線改為復線，路基需加寬4米，加寬后也成等腰梯形，斜坡的坡度為1∶2，若路長為8000米，求新增加的土石方。（注：可以直接用上題中的結論）練一練：在一段斜坡路上走了200米，升高了8米，則這段斜坡的坡度是如圖，一個防汛壩的橫斷面是梯形ABCD，壩頂BC的寬為10米，壩高為5米，斜坡AB的坡比=1：，斜坡CD的坡比=1：，一次由于上游突降大雨，造成河水迅速上漲，為了及時加高壩身，只能用壩身后一側CD處的土臨時加高，現(xiàn)決定將CD一側寬1米的土方全部用來加高壩身，且使壩身兩側的坡度與原來保持一致。問這樣能使壩高增加多少米？(精確到米)請大家再看下一題請四人一組先討論一下，然后派一個同學作為這組的代表，給大家分析一下，如何求下底寬？老師板書：解分別過點B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，垂足分別為點E、F.根據題意，可知BE=(米),AE=DF,EF=BC=(米).在Rt△ABE中,∵，∴AE==×=（米）.(1)AD=AE+EF+DF=2AE+EF=2×+=≈(米)(2)設坡角為α,則i=tanα==,∴α≈32°.答:路基下底寬約為米,坡角約為32°.如果我們要把這段鐵路由單線改為復線，對路基要進行改造，要求如題目所示，那么要加多少土石方呢？老師待學生基本解完后用實物投影儀把學生的答案放出來，一是可以讓班級同學了解不一樣的方法，二是對題目中的一些存在問題進行改正。學生可能出現(xiàn)的回答方式是：因為是等腰三角形，所以知道了一個斜坡的坡度相當于就知道了兩條腰的坡度，也就知道坡角的正切值，所以會把坡角放在直角三角形中，則添梯形的兩條高---學生對新出現(xiàn)的題目表示出好奇，開始思考---（先是自己思考兩道三分鐘，同桌可以互相溝通，有方案后把解題過程書寫下來）以小組討論的形式解決問題，加強了學生之間的相互交流和師生交流，讓學生參與到教學中來，挖掘學生的潛在能力，自主學習，自我矯正、自我發(fā)展，體現(xiàn)“學生是學習主體?！崩蠋煱岩还?jié)課中的重要概念和典型例題板書在黑板上，讓學生一眼就能明白這節(jié)課中的重點所在，有助于下面練習的進行。對原有的題目進行變式，一方面可以讓學生對新學的知識加以鞏固，如果對于剛才還沒有真正掌握的學生又多了一次機會，其次通過這題可以讓學生進一步明白如何適當添加輔助線構成直角三角形，加深對坡度的真正理解。四、課堂小結與評價學生自己進行課堂小結。1、在這節(jié)課上你有什么收獲呢？踴躍發(fā)言，進行課堂小結。培養(yǎng)學生的語言表達能力，及概括能力。五、布置作業(yè)1、練習冊2、補充練習補充練習根據時間而定，如果時間有多余，則在課堂上講解，剩余的作為回家作業(yè)。根據學生的不同要求，作業(yè)適當分層，以提高他們的學習興趣。

Ⅱ：教學反思本節(jié)課重在理解什么是坡度與坡角的基礎上，引導學生運用前面所學的解直角三角形的知識，解決斜坡中的計算問題。在新課引入時我借助于書本上的例題5，也是學生在生活中經常見到的殘疾人通道的實例，把這個生活中的圖形抽象成數學中的幾何圖形，所以學生一開始就有了興趣，但在說到殘疾人通道的截面時，幾個生活經驗不是很豐富的孩子理解起來比較累，所以今后在上課前可以事先用硬紙板做一個類似的模型，我想，學生看到模型后理解起來就會更加快，因為它更直觀。一旦把直角三角形畫出，那么概念的講解就沒有問題了，因為坡度與坡角還是比較容易理解的，只是在講述i時必須反復強調要寫成1：m的形式，甚至可以讓學生朗讀一下，因為在課后練習中，有些學生還是用值的形式表達。引入部分采用生活中的例子也是我們這期新教材的特點之一，大量加入實例也是新老教材區(qū)別，而且老師隨口一句“我們要關心社會上的殘疾人”，看得出，幾乎所有的孩子都在點頭，這種影響力會慢慢滲透到孩子的心靈。其次，在掌握新知識之后，馬上用這個知識，再結合前面學習的解直角三角形，把引入部分的實例解決，讓學生真正意義上明白數學來源于生活又服務于生活。這道題目在解的郭曾仲還是比較順利的。然后，屏幕上出現(xiàn)了例題6，建模后是有關于等腰梯形的問題，在學生討論后，我們發(fā)覺，大多數的學生都是用添兩條高的方法，但也有學生通過添一條高和把一條腰平移，把等腰梯形分成一個平行四邊形和一個等腰三角形的方法解決問題的，更有一個孩子延長兩腰，把梯形變成一個“A”字形，用相似的知識來解題，由于方法的不同，所以在解題的速度上差異較大，這幾個方法的取得是集體的智慧，小組討論可以讓孩子集思廣益，但也會讓部分孩子在做題時選用何種方法，難以取舍，所以我和學生在分析時一再提倡解題時，最常用、最簡捷的方法才是最好的，所以當后面出現(xiàn)變式題時，學生就比較有方向了，因為竟然有學生講到“這個問題就是把剛剛那道題用不同的數據做兩遍，然后算出兩個等腰梯形的面積，再相減”，當時我聽了十分激動，連連說了幾遍“很好”，所以我想，以后在教學中要舍得花時間，只有讓學生有了充分的時間去思考、討論，然后老師再讓孩子自己加以歸納，這樣學到的知識才是最