中值定理應(yīng)用研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三節(jié))推廣第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定理1設(shè)函數(shù)f(x)滿足條件：由上述的討論，我們可以得到如下定理——羅爾（Rolle）定理。設(shè)y=f(x)是一條連續(xù)光滑的曲線，并且在點(diǎn)A、B處的縱坐標(biāo)相等，即f(a)=f(b)，如圖，那么我們?nèi)菀卓闯?，在弧AB上至小有一點(diǎn)C(ξ,f(ξ))，曲線在C點(diǎn)有水平切線。（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；（3）f(a)=f(b).則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ

，使得證因f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)所以在[a,b]上一定取到最大值M和最小值m。

(1)若M=m則f(x)在[a,b]上是常數(shù)；

f(x)=M，x∈[a,b]yo

xACBaξb3.1.1羅爾定理由于f(x)在ξ處取最大值，所以不論△x為正或?yàn)樨?fù)，總有當(dāng)△x>0時(shí),

(2)若M≠m

，則M,m中至小有一個(gè)不等于f(a)，不妨設(shè)f(a)≠M(fèi)。因此，函數(shù)f(x)在內(nèi)(a,b)某一點(diǎn)ξ處取到最大值M

。我們來(lái)證。同理，當(dāng)△x<0時(shí),從而，因此，任取ξ∈(a,b)都有因此必然有

3.1.2拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖形是一條連續(xù)光滑的曲線弧，顯然是連接點(diǎn)A(a,f(a))和點(diǎn)B(b,f(b))的弦的斜率，如圖

所示，容易看出，在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ使弧上的點(diǎn)C(ξ,f(ξ))的切線與弦平行。ABAB圖yo

xACBaξb由上述的討論，我們可以得到如下定理——拉格朗日（Lagrange）中值定理。定理2設(shè)函數(shù)f(x)滿足條件：（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ

，使得分析：若f(a)=f(b)即為羅爾定理，不妨設(shè)f(a)≠f(b)，證明的思路是借助一個(gè)輔助函數(shù)把拉格朗日定理轉(zhuǎn)化為已知的羅爾定理。容易看出，弦的方程為證作輔助函數(shù)即而曲線弧與弦的縱坐標(biāo)之差為AB它是x的函數(shù)，將其記為，顯然函數(shù)滿足羅爾定理的條件。顯然在上[a,b]連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，且于是由羅爾定理，至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使得MadebyHuilaiLi中值定理的演示T與l平行這樣的x可能有好多在區(qū)間上應(yīng)用拉各朗日中值定理時(shí)，結(jié)論可以寫(xiě)成由拉格朗日定理可以得出兩個(gè)重要的推論。證在(a,b)內(nèi)任意取兩點(diǎn)x1，x2，不妨設(shè)x1<x2，顯然f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(x1，x2)內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中定理可知，至少存在一點(diǎn)ξ∈(x1，x2)，使得推論2若函數(shù)f(x)，g(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且推論1若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)任意點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，則f(x)在(a,b)內(nèi)是一個(gè)常數(shù)。由條件知，從而f(x2)－f(x1)=0。即f(x2)=f(x1)。由x1，x2是(a,b)內(nèi)的任意兩點(diǎn)，于是我們就證明了f(x)在(a,b)內(nèi)恒為一個(gè)常數(shù)。則在(a,b)內(nèi)，f(x)與g(x)最多相差一個(gè)常數(shù)，即其中c為常數(shù)。事實(shí)上，因?yàn)?，由推?可知應(yīng)用拉格朗日定理，我們不可以證明一些等式和不等式。例1.證明等式證:設(shè)由推論可知

(常數(shù))令x=0,得又故所證等式在定義域上成立.自證:經(jīng)驗(yàn):欲證時(shí)只需證在

I

上機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.證明不等式證:設(shè)中值定理?xiàng)l件,即因?yàn)楣室虼藨?yīng)有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

3.1.3柯西中值定理定理3設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)滿足條件：作為拉格朗日定理的推廣，我們證明如下柯西定理：則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得證先用反證法證明g(b)－g(a)≠0，若不然，即有g(shù)(b)=g(a).則由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)x0∈(a,b)，使得，此與條件(3)矛盾，故有g(shù)(b)－g(a)≠0。（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；注容易看出，拉格朗日中值定理是柯西定理當(dāng)g(x)=x時(shí)的一個(gè)特殊情況?？挛鞫ɡ淼囊粋€(gè)直接應(yīng)用是證明下面的洛必達(dá)法則。即顯然F(x)滿足羅爾定理的三個(gè)條件，因此，在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得，即為證明等式成立，我們作輔助函數(shù)費(fèi)馬(1601–665)法國(guó)數(shù)學(xué)家,他是一位律師,數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛(ài)好.他興趣廣泛,博覽群書(shū)并善于思考,在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻(xiàn).他特別愛(ài)好數(shù)論,他提出的費(fèi)馬大定理:至今尚未得到普遍的證明.他還是微積分學(xué)的先驅(qū),費(fèi)馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中提煉出來(lái)的.拉格朗日(1736–1813)法國(guó)數(shù)學(xué)家.他在方程論,解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻(xiàn),近百余年來(lái),數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作,他是對(duì)分析數(shù)學(xué)產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.柯西(1789–1857)法國(guó)數(shù)學(xué)家,他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中在微積分學(xué),《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué)校編寫(xiě)的《分析教程》,《無(wú)窮小分析概論》,《微積分在幾何上的應(yīng)用》等,有思想有創(chuàng)建,響廣泛而深遠(yuǎn).對(duì)數(shù)學(xué)的影他是經(jīng)典分析的奠人之一,他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動(dòng)了分析的發(fā)展.復(fù)變函數(shù)和微分方程方面.一生發(fā)表論文800余篇,著書(shū)7本,三、其他未定式二、型未定式一、型未定式第二節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束洛必達(dá)法則第三章定理：設(shè)（1）（2）在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)（點(diǎn)本身可以

除外），及存在且

（3）存在或?yàn)闊o(wú)窮大，則有一兩個(gè)無(wú)窮小量之比的極限（型）

3.1.4羅必達(dá)法則例1.求解:原式注意:不是未定式不能用洛必達(dá)法則!機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.求解:原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.求解:原式例4.求解:(1)n

為正整數(shù)的情形.原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:例如,而用洛必達(dá)法則

1)在滿足定理?xiàng)l件的某些情況下洛必達(dá)法則不能解決計(jì)算問(wèn)題.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例如,極限不存在機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2)若其他未定式:解決方法:通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化例5.求解:原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解:原式例6.求機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化例7.求解:利用例5例5目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化例8.求解:注意到～原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)洛必達(dá)法則令取對(duì)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)1.設(shè)是未定式極限,如果不存在,是否的極限也不存在?舉例說(shuō)明.極限說(shuō)明目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束洛必達(dá)(1661–1704)法國(guó)數(shù)學(xué)家,他著有《無(wú)窮小分析》(1696),并在該書(shū)中提出了求未定式極限的方法,后人將其命名為“洛必達(dá)法的擺線難題,以后又解出了伯努利提出的“最速降線”問(wèn)題,在他去世后的1720年出版了他的關(guān)于圓錐曲線的書(shū).則”.他在15歲時(shí)就解決了帕斯卡提出機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解:原式=第三節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一、函數(shù)單調(diào)性和極值機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)3.2函數(shù)性態(tài)的研究

第三章3.2.1函數(shù)單調(diào)性和極值

1.函數(shù)的單調(diào)性若定理1.設(shè)函數(shù)則在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).證:無(wú)妨設(shè)任取由拉格朗日中值定理得故這說(shuō)明在I

內(nèi)單調(diào)遞增.在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證畢例1.確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).例如,2)如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào),

則不改變函數(shù)的單調(diào)性.例如,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.證明時(shí),成立不等式證:令從而因此且證證明目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束*證明令則從而即2函數(shù)的極值及其求法定義:在其中當(dāng)時(shí),(1)則稱(chēng)為的極大值點(diǎn)

,稱(chēng)為函數(shù)的極大值

;(2)則稱(chēng)為的極小值點(diǎn)

,稱(chēng)為函數(shù)的極小值

.極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)

.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注意:為極大點(diǎn)為極小點(diǎn)不是極值點(diǎn)2)對(duì)常見(jiàn)函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(diǎn).1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).例如為極大點(diǎn),是極大值是極小值為極小點(diǎn),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理2若函數(shù)f(x)在點(diǎn)處有極值，且存在，則使的點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)定理1(極值第一判別法)且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“由正變負(fù)”,(2)“由負(fù)變正”,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(3)符號(hào)不改變,則在處無(wú)極值例1.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值可疑點(diǎn)令得令得3)列表判別是極大點(diǎn)，其極大值為是極小點(diǎn)，其極小值為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理2(極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù),且則在點(diǎn)取極大值;則在點(diǎn)取極小值.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束不確定例2.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得駐點(diǎn)3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束下列命題是否正確？為什么？

(1)若，則x0是f(x)的極值點(diǎn)；

(2)若f(x)在x0點(diǎn)取得極值，必有；解(1)錯(cuò)誤。如f(x)＝x3

，則，但f(x)在x0＝0點(diǎn)無(wú)極值。

(2)錯(cuò)誤。反例為

，易知f(x)≥f(0)，即x0＝0是f(x)極值點(diǎn)，但f(x)在x0＝0不可導(dǎo)。二、最大值與最小值問(wèn)題則其最值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到.求函數(shù)最值的方法:(1)求在內(nèi)的極值可疑點(diǎn)(2)

最大值最小值機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束特別:當(dāng)在內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),當(dāng)在上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.若在此點(diǎn)取極大值,則也是最大值.(小)

對(duì)應(yīng)用問(wèn)題,有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).(小)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.2.2曲線的凹凸性與拐點(diǎn)

1曲線的凹凸性定義：如果一段曲線位于它上面任一點(diǎn)的切線上方，我們就稱(chēng)這段曲線是凹曲線；如果一段曲線位于它上面任一點(diǎn)的切線下方，我們就稱(chēng)這段曲線是凸曲線；

曲線的拐點(diǎn)：如果一條曲線既有凹的部分也有凸的部分，那么這兩部分的分界點(diǎn)叫拐點(diǎn)。定理2.(凹凸判定法)(1)在I內(nèi)則在I

內(nèi)圖形是凹的;(2)在I內(nèi)則在

I

內(nèi)圖形是凸的.設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)例1.判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是向上凹的.說(shuō)明:1)若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為0,2)根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理,可得拐點(diǎn)的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側(cè)異號(hào),則點(diǎn)是曲線的一個(gè)拐點(diǎn).則曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.求曲線的拐點(diǎn).解:不存在因此點(diǎn)(0,0)為曲線的拐點(diǎn).凹凸機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令得對(duì)應(yīng)3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(diǎn)(0,1)及均為拐點(diǎn).凹凹凸機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I

上單調(diào)遞增在I

上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別+–拐點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)上則或的大小順序是()提示:

利用單調(diào)增加,及B1.

設(shè)在機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

.2.

曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點(diǎn)為提示:及

;

;第五節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束有位于一直線的三個(gè)拐點(diǎn).1.求證曲線證明：備用題機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束令得從而三個(gè)拐點(diǎn)為因?yàn)樗匀齻€(gè)拐點(diǎn)共線.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證明:當(dāng)時(shí)，有證明:令,則是凸函數(shù)即

2.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(自證)內(nèi)容小結(jié)1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點(diǎn):使導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(diǎn)(2)第一充分條件過(guò)由正變負(fù)為極大值過(guò)由負(fù)變正為極小值(3)第二充分條件為極大值為極小值定理3目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找;應(yīng)用題可根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義判別.2.連續(xù)函數(shù)的最值3.

設(shè)是方程的一個(gè)解,若且則在(A)取得極大值;(B)取得極小值;(C)在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加;(D)在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少.提示:A機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束特點(diǎn):3.3函數(shù)展為冪級(jí)數(shù)以直代曲在微分應(yīng)用中已知近似公式:需要解決的問(wèn)題如何提高精度?如何估計(jì)誤差?x

的一次多項(xiàng)式3.3.1用多項(xiàng)式近似表示函數(shù)1.求n次近似多項(xiàng)式要求:故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束令則1.冪級(jí)數(shù)常用的幾個(gè)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式定義1：給定數(shù)列則表達(dá)式

叫做無(wú)窮級(jí)數(shù)（簡(jiǎn)稱(chēng)為級(jí)數(shù)），記為或或。其中第n