第三章

量子力學(xué)初步

內(nèi)容：

1、微觀粒子的波粒二象性2、測(cè)不準(zhǔn)原理3、波函數(shù)及其物理意義4、薛定諤波動(dòng)方程

5、量子力學(xué)問題的幾個(gè)簡(jiǎn)例6、量子力學(xué)對(duì)氫原子的描述1900年，普朗克，黑體輻射，輻射能量量子化1905年，愛因斯坦，光電效應(yīng)，光量子1913年，玻爾，氫原子光譜，量子態(tài)薛定諤(ErwinSchr?dinger,1887–1961)

薛定諤在德布羅意思想的基礎(chǔ)上，于1926年在《量子化就是本征值問題》的論文中，提出氫原子中電子所遵循的波動(dòng)方程(薛定諤方程)，并建立了以薛定諤方程為基礎(chǔ)的波動(dòng)力學(xué)和量子力學(xué)的近似方法。薛定諤方程在量子力學(xué)中占有極其重要的地位，它與經(jīng)典力學(xué)中的牛頓運(yùn)動(dòng)定律的價(jià)值相似。薛定諤對(duì)原子理論的發(fā)展貢獻(xiàn)卓著，因而于1933年同英國物理學(xué)家狄拉克共獲諾貝爾物理獎(jiǎng)金。薛定諤還是現(xiàn)代分子生物學(xué)的奠基人，1944年，他發(fā)表一本名為《什么是生命——活細(xì)胞的物理面貌》的書，從能量、遺傳和信息方面來探討生命的奧秘。奧地利著名的理論物理學(xué)家，量子力學(xué)的重要奠基人之一，同時(shí)在固體的比熱、統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)、原子光譜及鐳的放射性等方面的研究都有很大成就。狄拉克（PaulAdrienMauriceDirac，1902-1984）

英國理論物理學(xué)家。1925年，他作為一名研究生便提出了非對(duì)易代數(shù)理論，而成為量子力學(xué)的創(chuàng)立者之一。第二年提出全同粒子的費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)方法。1928年提出了電子的相對(duì)論性運(yùn)動(dòng)方程，奠定了相對(duì)論性量子力學(xué)的基礎(chǔ)，并由此預(yù)言了正負(fù)電子偶的湮沒與產(chǎn)生，導(dǎo)致承認(rèn)反物質(zhì)的存在，使人們對(duì)物質(zhì)世界的認(rèn)識(shí)更加深入。他還有許多創(chuàng)見（如磁單極子等）都是當(dāng)代物理學(xué)中的基本問題。由于他對(duì)量子力學(xué)所作的貢獻(xiàn)，他與薛定諤共同獲得1933年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)金。德布羅意(LouisVictorduedeBroglie,1892-1960)德布羅意原來學(xué)習(xí)歷史，后來改學(xué)理論物理學(xué)。他善于用歷史的觀點(diǎn)，用對(duì)比的方法分析問題。1923年，德布羅意試圖把粒子性和波動(dòng)性統(tǒng)一起來。1924年，在博士論文《關(guān)于量子理論的研究》中提出德布羅意波,同時(shí)提出用電子在晶體上作衍射實(shí)驗(yàn)的想法。愛因斯坦覺察到德布羅意物質(zhì)波思想的重大意義，譽(yù)之為“揭開一幅大幕的一角”。法國物理學(xué)家，1929年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者，波動(dòng)力學(xué)的創(chuàng)始人，量子力學(xué)的奠基人之一?！?.1微觀粒子的波粒二象性

一、光的波粒二象性1672年，牛頓，光的微粒說1678年，惠更斯，光的波動(dòng)說19世紀(jì)末，光是一種電磁波20世紀(jì)初，光量子

------光的波粒二象性

德布羅意(LouisVictorduedeBroglie,1892-1960)德布羅意原來學(xué)習(xí)歷史，后來改學(xué)理論物理學(xué)。他善于用歷史的觀點(diǎn)，用對(duì)比的方法分析問題。1923年，德布羅意試圖把粒子性和波動(dòng)性統(tǒng)一起來。1924年，在博士論文《關(guān)于量子理論的研究》中提出德布羅意波,同時(shí)提出用電子在晶體上作衍射實(shí)驗(yàn)的想法。愛因斯坦覺察到德布羅意物質(zhì)波思想的重大意義，譽(yù)之為“揭開一幅大幕的一角”。法國物理學(xué)家，1929年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者，波動(dòng)力學(xué)的創(chuàng)始人，量子力學(xué)的奠基人之一。13－6德布羅意波實(shí)物粒子的二象性一.德布羅意物質(zhì)波思想起源1.X射線的研究:布拉格認(rèn)為X射線是粒子勞厄提出X射線是波長極短的電磁波

X射線時(shí)而像波,時(shí)而像粒子的奇特性質(zhì)引起了許多人的關(guān)注,德布羅意認(rèn)為:波和粒子必定總是結(jié)合在一起.2.接受相對(duì)論和光量子學(xué)說,特別是1923年4月compton效應(yīng)發(fā)現(xiàn)以后,使他對(duì)光子概念的認(rèn)識(shí)更加深入、清晰。1923年9月24日，第二篇論文《光量子、衍射和干涉》1923年10月8日第三篇論文《量子、氣體運(yùn)動(dòng)理論及費(fèi)馬原理》1924年完成了博士論文《量子理論的研究》，11月25日通過答辯，1925年發(fā)表在物理雜志上，該論文對(duì)他一年來的工作提出了系統(tǒng)的有邏輯性的報(bào)告，完整地闡述了他的物質(zhì)波理論及應(yīng)用1923年9月10日，發(fā)表第一篇關(guān)于物質(zhì)波的論文《輻射—波和量子》提出了實(shí)物粒子也具有波粒二象性二.物質(zhì)波概念的提出物質(zhì)波思想的影響：1、具有獨(dú)創(chuàng)性和非凡的技巧；2、提出用晶體對(duì)電子的衍射來驗(yàn)；3、得到了愛因斯坦的高度評(píng)價(jià)；4、量子力學(xué)是物質(zhì)波思想的直接影響下的一個(gè)豐碩成果.三、德布羅意假設(shè)一個(gè)質(zhì)量為m的實(shí)物粒子以速率v運(yùn)動(dòng)時(shí)，即具有以能量E和動(dòng)量P所描述的粒子性，也具有以頻率n和波長l所描述的波動(dòng)性。這種波稱為德布羅意波，也叫物質(zhì)波。德布羅意公式如速度v=5.0102m/s飛行的子彈，質(zhì)量為m=10-2Kg，對(duì)應(yīng)的德布羅意波長為：如電子m=9.110-31Kg，速度v=5.0107m/s,對(duì)應(yīng)的德布羅意波長為：太小測(cè)不到！X射線波段電子駐波例題1：從德布羅意波導(dǎo)出氫原子波爾理論中的角動(dòng)量量子化條件。德布羅意把原子定態(tài)與駐波聯(lián)系起來，即把能量量子化與有限空間駐波的波長和頻率聯(lián)系起來。如電子繞原子一周，駐波應(yīng)銜接，所以圓周長應(yīng)等于波長的整數(shù)倍。再根據(jù)德布羅意關(guān)系得出角動(dòng)量量子化條件二、德布羅意關(guān)系式微觀粒子和光子一樣，在一定的條件下顯示出波動(dòng)性。具有一定能量E和一定動(dòng)量p的自由粒子，相當(dāng)于具有一定頻率和一定波長的平面波，二者之間的關(guān)系為：----德布羅意關(guān)系式。與實(shí)物粒子相應(yīng)的波稱為德布羅意波或物質(zhì)波，稱為德布羅意波長。德布羅意關(guān)系式還可以寫成

式中，：角頻率；：傳播方向上的單位矢量適用條件：(1)電子，(2)非相對(duì)論(U不能太大)。

：波矢量粒子的德布羅意波長：1．當(dāng)時(shí)，2．當(dāng)時(shí)，經(jīng)過電場(chǎng)加速的電子：

三、德布羅意假設(shè)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證1927年，戴維遜和革末，電子衍射實(shí)驗(yàn)，測(cè)量了電子波的波長，證實(shí)了德布羅意假設(shè)。1．實(shí)驗(yàn)裝置2．實(shí)驗(yàn)結(jié)果(1)當(dāng)U不變時(shí)，I與的關(guān)系如圖不同的，I不同；在有的上將出現(xiàn)極值。(2)當(dāng)不變時(shí)，I與U的關(guān)系如圖當(dāng)U改變時(shí)，I亦變；而且隨了U周期性的變化3．實(shí)驗(yàn)解釋

晶體結(jié)構(gòu)：當(dāng)時(shí)加強(qiáng)----布拉格公式。

波程差：實(shí)驗(yàn)證明了電子確實(shí)具有波動(dòng)性，也證明了德布羅意公式的正確性。并進(jìn)一步證明：一切實(shí)物粒子(電子、中子、質(zhì)子等都具有波動(dòng)性。

可見，當(dāng)、滿足此式時(shí)，測(cè)得電流的極大值。對(duì)于通過電壓U加速的電子：當(dāng)U不變時(shí)，改變，可使某一滿足上式，出現(xiàn)極大值

當(dāng)不變時(shí)，改變U，可使某一U滿足上式，出現(xiàn)極大值。觀測(cè)到的量子圍欄（quantumcorral）M.F.Crommie--1993湯姆遜實(shí)驗(yàn)1927年，湯姆遜在實(shí)驗(yàn)中，讓電子束通過薄金屬箔后射到照相底線上，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，與X射線通過金箔時(shí)一樣，也產(chǎn)生了清晰的電子衍射圖樣。1993年，Crommie等人用掃描隧道顯微鏡技術(shù)，把蒸發(fā)到銅（111）表面上的鐵原子排列成半徑為7.13nm的圓環(huán)形量子圍欄，用實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到了在圍欄內(nèi)形成的同心圓狀的駐波(“量子圍欄”)，直觀地證實(shí)了電子的波動(dòng)性。電子通過狹縫的衍射實(shí)驗(yàn)：1961年，約恩孫(Jonsson)制成長為50um，寬為0.3um，縫間距為1.0um的多縫。用50V的加速電壓加速電子，使電子束分別通過單縫、雙縫等，均得到衍射圖樣。中子衍射射線衍射XX射線經(jīng)晶體的衍射圖電子射線經(jīng)晶體的衍射圖由于電子波長比可見光波長小10-310-5數(shù)量級(jí)，從而可大大提高電子顯微鏡的分辨率。1932年，德國的魯斯卡研制成功電子顯微鏡。我國已制成80萬倍的電子顯微鏡，分辨率為14.4nm.n，能分辨大個(gè)分子有著廣泛的應(yīng)用前景。五、應(yīng)用舉例1、電子顯微鏡2、掃描隧道顯微鏡1981年，德國的賓尼希和瑞士的羅雷爾制成了掃描隧道顯微鏡，他們兩人因此與魯斯卡共獲1986年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)金。其橫向分辨率可得0.1nm，縱向分辨率可得0.001nm，它在納米材料、生命科學(xué)和微電子學(xué)中起著不可估量的作用。六、德布羅意波的統(tǒng)計(jì)解釋1、光的衍射根據(jù)光的波動(dòng)性，光是一種電磁波，在衍射圖樣中，亮處波的強(qiáng)度大，暗處波的強(qiáng)度小。而波的強(qiáng)度與振幅的平方成正比，所以衍射圖樣中，亮處的波的振幅的平方大，暗處的波的振幅平方小。根據(jù)光的粒子性：某處光的強(qiáng)度大，表示單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)該處的光子數(shù)多；某處光的強(qiáng)度小，表示單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)該處的光子數(shù)少。從統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)來看：相當(dāng)于光子到達(dá)亮處的概率要遠(yuǎn)大于光子到達(dá)暗處的概率。因此可以說，粒子在某處附近出現(xiàn)的概率是與該處波的強(qiáng)度成正比的，而波的強(qiáng)度與波的振幅的平方成正比，所以也可以說，粒子在某處附近出現(xiàn)的概率是與該處的波的振幅的平方成正比的。2．德布羅意波統(tǒng)計(jì)解釋從粒子的觀點(diǎn)看，衍射圖樣的出現(xiàn)，是由于電子不均勻地射向照相底片各處形成的，有些地方電子密集，有些地方電子稀疏，表示電子射到各處的概率是不同的，電子密集的地方概率大，電子稀疏的地方概率小。從波動(dòng)的觀點(diǎn)來看，電子密集的地方表示波的強(qiáng)度大，電子稀疏的地方表示波的強(qiáng)度小，所以，某處附近電子出現(xiàn)的概率就反映了在該處德布羅意波的強(qiáng)度。對(duì)電子是如此，對(duì)其它粒子也是如此。普遍地說，在某處德布羅意波的振幅平方是與粒子在該處出現(xiàn)的概率成正比的。這就是德布羅意波的統(tǒng)計(jì)解釋。3．德布羅意波與經(jīng)典波的不同機(jī)械波——機(jī)械振動(dòng)在空間的傳播德布羅意波——是對(duì)微觀粒子運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)描述，它的振幅的平方表示粒子出現(xiàn)的概率，故是概率波。*用電子雙縫衍射實(shí)驗(yàn)說明概率波的含義(1)人射強(qiáng)電子流干涉花樣取決于概率分布，而概率分布是確定的。電子yangshi雙縫實(shí)驗(yàn)(2)入射弱電子流電子干涉不是電子之間相互作用引起的，是電子自己和自己干涉的結(jié)果。例1.計(jì)算下列運(yùn)動(dòng)物質(zhì)的德布羅意波長(1)質(zhì)量100g,v=10m·s1運(yùn)動(dòng)的小球。(2)以2.0103m·s1速度運(yùn)動(dòng)的質(zhì)子。(3)動(dòng)能為1.6107J的電子練習(xí)題:1.在B=1.25×10-2T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中沿半徑為R=1.66cm的圓軌道運(yùn)動(dòng)的α粒子的德布羅意波長λ=———.2.運(yùn)動(dòng)速率等于300K時(shí)方均根速率的德布羅意波長是———.氫原子質(zhì)量m=1.67×10-27kg,玻爾茲曼常數(shù)k=1.38×10-23J·K-13.已知第一玻爾軌道的半徑為a,當(dāng)氫原子中電子沿第n玻爾軌道運(yùn)動(dòng)時(shí),其相應(yīng)的德布羅意波長是———.4.能量為15ev的光子,被處于基態(tài)的氫原子吸收,使氫原子電離發(fā)射一個(gè)光電子,此光電子的德布羅意波長為———.海森伯（W.K.Heisenberg，1901-1976）

德國理論物理學(xué)家。他于1925年為量子力學(xué)的創(chuàng)立作出了最早的貢獻(xiàn)，而于25歲時(shí)提出的不確定關(guān)系則與物質(zhì)波的概率解釋一起奠定了量子力學(xué)的基礎(chǔ)。為此，他于1932年獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)金。不確定關(guān)系§3.2不確定關(guān)系一、電子的單縫衍射(1961年，約恩遜成功的做出)電子以速度沿著y軸射向A屏，其波長為，經(jīng)過狹縫時(shí)發(fā)生衍射，到達(dá)C屏。第一級(jí)暗紋的位置：x方向上，粒子坐標(biāo)的不確定度為又粒子動(dòng)量的不確定度為

狹縫對(duì)電子束起了兩種作用：一是將它的坐標(biāo)限制在縫寬d的范圍內(nèi)，一是使電子在坐標(biāo)方向上的動(dòng)量發(fā)生了變化。這兩種作用是相伴出現(xiàn)的，不可能既限制了電子的坐標(biāo)，又能避免動(dòng)量發(fā)生變化。如果縫愈窄，即坐標(biāo)愈確定，則在坐標(biāo)方向上的動(dòng)量就愈不確定。因此，微觀粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)有確定的值。1927年，海森堡首先推導(dǎo)出不確定關(guān)系：二、不確定關(guān)系三、討論1．不確定關(guān)系只適用于微觀粒子2．例1：

設(shè)電子與的子彈均沿x方向運(yùn)動(dòng)，，精確度為，求測(cè)定x

坐標(biāo)所能達(dá)到的最大準(zhǔn)確度。電子：子彈：上述討論只是反映不確定關(guān)系的實(shí)質(zhì)，并不表示準(zhǔn)確的量值關(guān)系。量子力學(xué)嚴(yán)格證明給出：x表示粒子在x方向上的位置的不確定范圍，px表示在x方向上動(dòng)量的不確定范圍，其乘積不得小于一個(gè)常數(shù)。若一個(gè)粒子的能量狀態(tài)是完全確定的，即E=0，則粒子停留在該態(tài)的時(shí)間為無限長，t=。三、不確定關(guān)系的數(shù)學(xué)表示與物理意義例題1：一顆質(zhì)量為10g的子彈，具有200m/s的速度，動(dòng)量的不確定量為0.01%，問在確定該子彈的位置時(shí)，有多大的不確定范圍？解：子彈的動(dòng)量為子彈的動(dòng)量的不確定量為由不確定關(guān)系，可以得到子彈位置的不確定范圍為這個(gè)不確定范圍是微不足道的，可見不確定關(guān)系對(duì)宏觀物體來說，實(shí)際上是不起作用的。例題2：一電子具有具有200m/s的速率，動(dòng)量的不確定量為0.01%，問在確定該電子的位置時(shí)，有多大的不確定范圍？解：電子的動(dòng)量為子彈的動(dòng)量的不確定量為由不確定關(guān)系，可以得到子彈位置的不確定范圍為我們知道原子大小的數(shù)量級(jí)為10-10m，電子則更小。在這種情況下，電子位置的不確定范圍比電子本身的大小要大幾億倍以上。例3.電子顯像管中電子加速電壓10kv,槍口直徑0.01cm,電子射出后橫向速度不確定量?原子線度10-10m,原子中電子速度不確定量?解:顯像管中的電子經(jīng)10kv電壓加速原子中的電子玻爾理論電子軌道運(yùn)動(dòng)速度v≈106m/s,原子中談電子的運(yùn)動(dòng)速度、位置已無意義,也無確定的軌道,波動(dòng)性顯著的電子只能以各處出現(xiàn)的幾率來描述其所處的狀態(tài).電子橫向速度的不確定量可忽略例4.光子波長300nm,若測(cè)長精度Δλ/λ=10-6,求光子位置的不確定量?解:四、不確定關(guān)系的應(yīng)用1、估算氫原子可能具有的最低能量電子束縛在半徑為r

的球內(nèi)，所以按不確定關(guān)系當(dāng)不計(jì)核的運(yùn)動(dòng)，氫原子的能量就是電子的能量：代入上式得：基態(tài)能應(yīng)滿足：由此得出基態(tài)氫原子半徑：基態(tài)氫原子的能量：與波爾理論結(jié)果一致。本例還說明：量子體系有所謂的零點(diǎn)能。2、解釋譜線的自然寬度原子中某激發(fā)態(tài)的平均壽命為普朗克能量子假說不確定關(guān)系譜線的自然寬度它能解釋譜線的自然寬度。e-和e+等粒子在氣泡室徑跡例2．在威爾遜云室（或氣泡室）可看到一條白亮的帶狀的痕跡—粒子的徑跡x~10-4p~h/x~10-30

~1MeVp~10-23p＞＞p§3.3波函數(shù)及其物理意義一、波函數(shù)概率密度1、平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)一個(gè)頻率為n，波長為l、沿x方向傳播的單色平面波的波函數(shù)為復(fù)數(shù)形式2、自由粒子的波函數(shù)一個(gè)自由粒子有動(dòng)能E和動(dòng)量p。對(duì)應(yīng)的德布羅意波具有頻率和波長：波函數(shù)可以寫成3、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋某一時(shí)刻出現(xiàn)在某點(diǎn)附近體積元dV中的粒子的概率，與波函數(shù)模的平方成正比。概率密度波函數(shù)Ψ(x,y,z,t)的統(tǒng)計(jì)解釋(哥本哈根解釋)：波函數(shù)模的平方代表某時(shí)刻t在空間某點(diǎn)(x,y,z)附近單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率，即|Ψ|2代表概率密度。波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義是波恩于1926年提出的。由于波恩在量子力學(xué)所作的基礎(chǔ)研究，特別是波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，他與博特共享了1954年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。k加速電場(chǎng)單縫105個(gè)2×104個(gè)10個(gè)E*玻恩對(duì)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋—哥本哈根學(xué)派(以玻爾和海森伯為首)觀點(diǎn)玻恩假定描述粒子在空間的概率分布的“概率振幅”概率密度例題2：光子自由平面波波函數(shù)在空間各點(diǎn)發(fā)現(xiàn)光子的概率相同用波方程來描寫實(shí)物粒子，根據(jù)德布羅意關(guān)系：――自由粒子的波函數(shù)，描寫動(dòng)量為、能量為E的自由粒子。經(jīng)典力學(xué)

位置和速度量子力學(xué)

波函數(shù)波函數(shù)體現(xiàn)了波粒二象性，其中的E和是描寫粒子性的物理量，卻處在一個(gè)描寫波的函數(shù)中。二、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋電子衍射的強(qiáng)度分布圖

用粒子的觀點(diǎn)，極大值處意味著到達(dá)的電子多，極小值處意味著到達(dá)的電子少。

從波的觀點(diǎn)來看，極大值處表示波的強(qiáng)度大，極小值處表示波的強(qiáng)度小。玻恩的觀點(diǎn)就能將粒子和波的概念統(tǒng)一起來。波函數(shù)代表發(fā)現(xiàn)粒子的幾率干涉圖像的出現(xiàn)體現(xiàn)了微觀粒子的共同特性，而且它并不是由微觀粒子相互作用產(chǎn)生的而是個(gè)別微觀粒子屬性的集體貢獻(xiàn)表示t時(shí)刻、（x、y、z）處、單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率。

即波的強(qiáng)度表示t時(shí)刻、（x、y、z）處發(fā)現(xiàn)電子的幾率密度。如果大，則電子出現(xiàn)幾率大，因而電子出現(xiàn)的目也多，此處為衍射極大值處；反之，如果小，則電子出現(xiàn)幾率小，電子出現(xiàn)的數(shù)目也少，此處為衍射極小值處。

t時(shí)刻、x~x+dx、y~y+dy、z~z+dz、的體元內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率：表示t時(shí)刻、（x、y、z）處發(fā)現(xiàn)粒子的幾率密度。1.波恩的波函數(shù)幾率解釋是量子力學(xué)基本原理之一2.經(jīng)典波振幅是可測(cè)量，而波函數(shù)是不可測(cè)量，可測(cè)是幾率3.單縫、雙縫干涉實(shí)驗(yàn)在1961年前是假想實(shí)驗(yàn)討論2．歸一化條件由于粒子總在空間某處出現(xiàn)，故在整個(gè)空間出現(xiàn)的總幾率應(yīng)當(dāng)為1：三、波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件及歸一化1．波函數(shù)必須單值、有限、連續(xù)。單值：在任何一點(diǎn)，幾率只能有一個(gè)值。有限：幾率不能無限大。連續(xù)：幾率一般不發(fā)生突變。STM觀測(cè)到的量子圍欄（quantumcorral）M.F.Crommie--1993對(duì)x、y、z分別求二次偏導(dǎo)：§5.4薛定諤波動(dòng)方程一、薛定諤方程的建立1．自由粒子的薛定諤方程對(duì)t求一次偏導(dǎo)：――自由粒子的薛定諤方程。三者相加：拉普拉斯算符：自由粒子:則有：――處在以勢(shì)能表征的力場(chǎng)中的微觀粒子所滿足的運(yùn)動(dòng)方程，稱之為薛定諤方程2．一般粒子的薛定諤方程一般粒子常受到力場(chǎng)的約束，用表示力場(chǎng)，則粒子在力場(chǎng)中受到的力為：，假設(shè)處于這種力場(chǎng)中的微觀粒子的波函數(shù)為，假設(shè)仍滿足方程：

但此時(shí)E為一常數(shù)二、定態(tài)薛定諤方程能量不隨時(shí)間變化的狀態(tài)稱為定態(tài)。設(shè)作用在粒子上的力場(chǎng)不隨時(shí)間改變，即勢(shì)能中不顯含時(shí)間t，將其代入方程：波函數(shù)分離變量：

解出：――定態(tài)波函數(shù)1．定態(tài)中E不隨時(shí)間變化，粒子有確定的能量2．定態(tài)中粒子的幾率密度不隨時(shí)間變化3．定態(tài)薛定諤方程如果、是方程的解，那么它們的的線性組合也是方程的解，為任意常數(shù)。即如果、是體系可能的狀態(tài)，那么它們的的線性組合也是體系一個(gè)可能的狀態(tài)

4．態(tài)迭加原理3．具體的勢(shì)場(chǎng)決定粒子狀態(tài)變化的情況，如果給出勢(shì)能函數(shù)的具體形式，只要我們知道了微觀粒三、薛定諤方程的討論1．薛定諤方程描述了微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在勢(shì)場(chǎng)中隨時(shí)間變化的規(guī)律。2．薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程，它不能從更基本的假設(shè)中推導(dǎo)出來。它的正確性只有通過與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相一致來得到證明。子初始時(shí)刻的狀態(tài)。原則上說，只要通過薛定諤方程，就可以求出任意時(shí)刻的狀態(tài)。5．在薛定諤方程的建立中，應(yīng)用了，所4．薛定諤方程中有虛數(shù)單位i，所以一般是復(fù)數(shù)形式。表示概率波，是表示粒子在時(shí)刻t、在空間某處出現(xiàn)的概率。因而薛定諤方程所描述的狀態(tài)隨時(shí)間變化的規(guī)律，是一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律。以是非相對(duì)論的結(jié)果；同時(shí)方程不適合一切的粒子，這是方程的局限性。例1：一個(gè)粒子在如圖所示的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，它的勢(shì)能為這種勢(shì)場(chǎng)稱為一維無限深勢(shì)阱。在一維無限深勢(shì)阱中粒子如何運(yùn)動(dòng)？它的波函數(shù)如何？能量如何？

解：由于粒子做一維運(yùn)動(dòng)，所以有由于勢(shì)能中不顯含時(shí)間，故用定態(tài)薛定諤方程求解。方程的解為定態(tài)解因此一維定態(tài)薛定諤方程為1．方程的通解(1)

所以波函數(shù)為零，即粒子不可能跑到阱外去，(2)

時(shí)，，方程為令

二階齊次微分方程，它的通解為式中A、B為兩常數(shù)。

2．常數(shù)的確定及能量量子化根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件，波函數(shù)應(yīng)連續(xù)，

，(？)當(dāng)時(shí)，表明幾率處處恒為0，即不存在粒子，這是不可能的。波函數(shù)的歸一化：

能量是量子化的

3．討論(1)能量不能任意取值，束縛在一維無限深勢(shì)阱中的粒子的能量是量子的。這是由薛定諤方程加上標(biāo)準(zhǔn)條件自然地導(dǎo)出的，不用再做量子化的假定。(2)波函數(shù)的物理意義處在不同能級(jí)的粒子，在勢(shì)阱中的幾率分布不同。(3)實(shí)際意義：金屬內(nèi)的自由電子，可看成在勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子。

例2勢(shì)壘貫穿粒子受到的勢(shì)能為：計(jì)算粒子在三個(gè)區(qū)出現(xiàn)的幾率。粒子具有的能量為E，

解：設(shè)粒子在I、II、III區(qū)的波函數(shù)分別為，它們滿足的薛定諤方程為：

令

方程的解為：根據(jù)波函數(shù)的連續(xù)條件和歸一化條件可以確定常數(shù)，結(jié)果如圖：可見，雖然，粒子仍可以穿過II區(qū)進(jìn)入III區(qū)，這種貫穿勢(shì)壘的效應(yīng)稱為隧道效應(yīng)。粒子從I區(qū)到III區(qū)的幾率為

掃描隧道顯微鏡(ScanningTunnelingMicroscopy—STM)STM原理.0.1nm,0.01nm1986年，賓尼博士和羅雷爾與發(fā)明電子顯微鏡的魯斯卡獲諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)?！?.5氫原子的量子力學(xué)處理一、氫原子的薛定諤方程電子在原子核的庫侖場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)：

定態(tài)薛定諤方程：

氫原子問題是球?qū)ΨQ問題，通常采用球坐標(biāo)系：

氫原子在球坐標(biāo)下的定態(tài)薛定諤方程：

二、分離變量1．

代入方程，并用乘以兩邊：

是一個(gè)與

無關(guān)的常數(shù)。

徑向方程：角方程：2．

代入方程，并用乘以兩邊：

是一個(gè)與無關(guān)的常數(shù)。

三、

三方程的解1．方程的解方程的解為：波函數(shù)單值：

波函數(shù)歸一化：2．方程的解關(guān)聯(lián)勒讓德方程。求解過程中發(fā)現(xiàn)，為了得到符合波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件的解，必須對(duì)和加以限制：方程的解為關(guān)聯(lián)勒讓德多項(xiàng)式：

3．方程的解關(guān)聯(lián)拉蓋爾方程，方程的解為關(guān)聯(lián)拉蓋爾多項(xiàng)式

玻爾半徑只要給出了、的一對(duì)具體的數(shù)值，就可以得到一個(gè)満足標(biāo)準(zhǔn)條件的解。

四、H原子的波函數(shù)對(duì)應(yīng)一組量子數(shù)，就能給出波函數(shù)的一個(gè)具體形式，因此確定了原子的狀態(tài)。當(dāng)時(shí)，取任何值都能使R滿足標(biāo)準(zhǔn)條件的解。所以正值的能量是連續(xù)的，相當(dāng)于自由電子與H+離子結(jié)合為原子時(shí)釋放的能量。

§5.6量子力學(xué)對(duì)氫原子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描繪一、量子數(shù)的物理意義1．主量子數(shù)與能量量子化當(dāng)時(shí)，能量是量子化的，自然得出。2．角量子數(shù)和角動(dòng)量角子化

角動(dòng)量是量子化的，自然得出。舊量子論：

當(dāng)角動(dòng)量很大時(shí)，，，二者一致，所以玻爾理論給出了近似的結(jié)果。3．磁量子數(shù)m和空間量子化