第十講均值比較與T檢驗對某班學生進行智力測試，問該班學生的IQ平均分與100分的差異。某地區(qū)12歲男孩的平均身高為142.5cm,現(xiàn)有某市測量120名12歲男孩身高資料，檢驗該市12歲男孩平均身高與該地區(qū)12歲男孩平均身高是否有顯著性差異。對12名來自城市的學生與14名來自農(nóng)村的學生進行心理素質測驗，試分析城市學生與農(nóng)村學生心理素質有無顯著差異。對12名學生進行培訓之后，其培訓前后某項心理測試得分如表5.1所示，試分析該培訓是否引起學生心理變化。均值比較的概念在研究中常常采取抽樣研究的方法，即從總體中隨機抽取一定數(shù)量的樣本進行研究來推斷總體的特性。由于總體中的每個個體間均存在差異，即使嚴格遵守隨機抽樣原則也會由于多抽到一些數(shù)值較大或較小的個體致使樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)之間有所不同。又由于實驗者測量技術的差別或測量儀器精確程度的差別等也會造成一定的偏差，使樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)之間存在差異。由此可以得到這樣的認識：均值不相等的兩組樣本不一定來自均值不同的總體。能否用樣本均值估計總體均值？兩個變量均值接近的樣本是否來自均值相同的總體？換句話說，兩組樣本某變量均值不同，其差異是否具有統(tǒng)計意義？能否說明總體差異？這是各種研究工作中經(jīng)常提出的問題。這就要進行均值比較?？傮w平均數(shù)的顯著性檢驗總體標準差已知條件下總體平均數(shù)的顯著性檢驗某小學歷屆畢業(yè)生漢語拼音測驗水平為66分，標準差為11.7。現(xiàn)以同樣的試題測驗應屆畢業(yè)生（假定應屆與歷屆畢業(yè)生條件基本相同），并從其中隨機抽取18份試卷，計算得平均分為69分，問該校應屆與歷屆畢業(yè)生漢語拼音測驗水平是否一樣？檢驗的步驟提出假設計算統(tǒng)計量的值確定檢驗的形式（雙尾）統(tǒng)計決斷所以保留，拒絕，即該校應屆與歷屆畢業(yè)生漢語拼音測驗一樣。雙側Z檢驗統(tǒng)計決斷規(guī)則與臨界值的比較P值檢驗結果顯著性<1.96P>0.05保留拒絕不顯著1.96<2.580.01<P0.05保留拒絕在0.05水平上2.58P0.01保留拒絕在0.01水平上總體標準差已知條件下總體平均數(shù)的顯著性檢驗某市高中入學考試數(shù)學平均分數(shù)為68分，標準差為8.6分。其中某所中學參加此次考試的46名學生的平均分為63分。過去的資料表明，該校數(shù)學成績低于全市平均水平，問此次考試該校數(shù)學平均分數(shù)是否仍顯著低于全市的平均分數(shù)？檢驗的步驟提出假設計算統(tǒng)計量確定檢驗的形式（采用左尾檢驗）統(tǒng)計決斷所以在0.01水平上拒絕，接受，即該校入學考試數(shù)學的平均分極其顯著地低于全市的平均分數(shù)。[自己總結單側Z檢驗的統(tǒng)計決斷規(guī)則。]總體標準差未知條件下總體平均數(shù)的顯著性檢驗（小樣本）某區(qū)初三英語統(tǒng)一測驗平均分為65，該區(qū)某校20份試卷的分數(shù)分別為：72、76、68、78、62、59、64、85、70、75、61、74、87、83、54、76、56、66、68、62。問該校初三英語平均分與全區(qū)是否一樣？檢驗的步驟(1)提出假設經(jīng)計算因為總體標準差未知,總體分布為正態(tài)分布,所以用t統(tǒng)計量進行假設檢驗.(2)計算統(tǒng)計量的值(3)確定檢驗采用的形式(采用雙尾檢驗)(4)統(tǒng)計決斷df=20-1=19t=2.266*>所以在0.05水平上拒絕初始假設,接受備擇假設,即該校初三英語平均分數(shù)與全區(qū)平均分數(shù)有本質區(qū)別,或者說,它不屬于平均數(shù)為65的總體.某校上一屆初一學生自學能力平均分數(shù)為38,這一屆初一24個學生自學能力平均分數(shù)為42,標準差為5.7,假定這一屆初一學生的學習條件與上一屆相同,試問這一屆初一學生的自學能力是否高于上一屆?檢驗的步驟:(1)提出假設(2)計算統(tǒng)計量的值(3)確定檢驗的形式(右尾檢驗)(4)統(tǒng)計決斷所以在0.01顯著性水平上,拒絕初始假設,接受備擇假設.即:這一屆初一學生的自學能力極其顯著地高于上一屆.[總結t檢驗統(tǒng)計決斷的規(guī)則;并與Z檢驗作比較]總體標準差未知條件下總體平均數(shù)的顯著性檢驗（大樣本）某年高考某市數(shù)學平均分為60分,現(xiàn)從參加此次考試的文科學生中,隨機抽取94份試卷,算得平均分為58,標準差為9.2,問文科數(shù)學成績與全市考生是否相同?

同理可計算得：0.01顯著性水平的臨界值所以在0.01顯著性水平上拒絕原假設，接受備擇假設，即走讀生與住宿生自學能力，從總體上來說有極其顯著性差異。樣本相關樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗（配對組的情況）例：為了揭示小學二年級的兩種識字教學法是否有顯著性差異，根據(jù)學生的智力水平、努力程度、識字量多少、家庭輔導力量等條件基本相同的原則，將學生配成10對，然后把每對學生隨機地分入實驗組、對照組，實驗組施以分散識字教學法，而對照組施以集中識字教學法，后期統(tǒng)一測驗結果如下表所示，問兩種識字法是否有顯著性差異？對別實驗組x1對照組x2差數(shù)值D=x1-x2差數(shù)值平方D2193761728927274-2439180111214655213169581631832467762152257898274988485-1197364981107072-24總和795710851267分析：每對學生的分數(shù)都有一個差數(shù)（），假如兩種識字教學法沒有本質區(qū)別，則它們差數(shù)的總體平均數(shù)應當?shù)扔?，也就是說兩個總體平均數(shù)之差為0，而兩組測驗分數(shù)的差數(shù)平均數(shù)不等于0，僅僅是由于抽樣誤差所致。檢驗的步驟（1）提出假設（2）選擇統(tǒng)計量并計算其值（3）采用雙尾檢驗方式（4）統(tǒng)計決斷所以，在0.01水平上拒絕原假設，接受備擇假設，即小學分散識字與集中識字教學法差異顯著。

相關樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗（同一組對象的情況）例：32人的射擊小組經(jīng)過三天集中訓練，訓練前與訓練后測驗分數(shù)如下表所示，問三天集中訓練有無顯著效果？（根據(jù)過去的資料得知，三天集中射擊訓練有顯著效果）序號訓練后x1訓練前x2差數(shù)值D=x1-x2差數(shù)值平方D2142402423835-3935356-3944941864524213965460-63674334981851401112196064-416104739864111215-39序號訓練后x1訓練前x2差數(shù)值D=x1-x2差數(shù)值平方D212323024136561416144858-1010015545224166258416175044636182526-11196359416204537-864213932749224853--525序號訓練后x1訓練前x2差數(shù)值D=x1-x2差數(shù)值平方D223424024243835-39255356-3926494186427242139285460-63629433498130514011121316064-416324739864總和14911413781584檢驗的步驟提出假設選擇統(tǒng)計量并計算其值選擇檢驗的形式：單尾檢驗統(tǒng)計決斷所以在0.05顯著性水平上，拒絕原假設，接受備擇假設，即三天射擊訓練有顯著效果。獨立樣本檢驗獨立大樣本：兩個樣本容量都大于30的樣本。獨立小樣本：兩個樣本容量都小于30或其中一個小于30的樣本。獨立大樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗兩個獨立大樣本平均數(shù)之差的標準誤為：（1）當兩個樣本相應總體標準差已知時（2）當兩個樣本相應總體標準差未知時例：某校高一學生英語測驗成績如下表所示，問男女生英語測驗成績是否有顯著性差異？性別人數(shù)樣本平均數(shù)樣本標準差男18076.511.50女17478.210.50高一男女生英語測驗成績結果統(tǒng)計表檢驗步驟提出假設選擇檢驗統(tǒng)計量并計算其值選擇檢驗的形式（雙尾檢驗）統(tǒng)計決斷所以接受原假設，拒絕備擇假設，即高一男女生英語測驗成績無顯著性差異。獨立小樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗（應在方差齊性檢驗之后進行）方差齊性獨立小樣本平均數(shù)之差的標準誤（方差齊性時的情況）若未知，可用代替。例：從高二年級隨機抽取兩個小組，在化學教學中實驗組采用啟發(fā)探究法，對照組采用傳統(tǒng)講授法，后期統(tǒng)一測驗結果如下表所示，問兩種教學法是否有顯著性差異？（根據(jù)已有的經(jīng)驗確知啟發(fā)探究法優(yōu)于傳統(tǒng)講授法）序號實驗組對照組X12X2216460642602

25859582592365576525724564156241255838582382645524525227554655246286351632512966496624921069

692

總和5994533632123277以原始數(shù)據(jù)檢驗實驗組和對照組化學平均分差異顯著性用表檢驗的步驟提出假設選擇檢驗統(tǒng)計量并計算其值確定檢驗的形式（單尾檢驗）統(tǒng)計決斷所以在0.01顯著性水平上差異顯著，即高二化學啟發(fā)探究法優(yōu)于傳統(tǒng)講授方差不齊性獨立樣本平均數(shù)的差異顯著性檢驗總體方差不齊性的兩個獨立樣本平均數(shù)之差的標準誤，可用兩個樣本方差分別估計出的兩個平均數(shù)標準誤平方和再開方來表示。這時樣本平均數(shù)之差的離差統(tǒng)計量呈與t分布相近的t，分布，它有3種表示形式：例：18個走讀生與7個同齡住宿生自學能力得分如下表所示，問走讀生與住宿生自學能力是否有顯著性差異？序號XX2序號XX2走讀生住宿生走讀生住宿生走讀生住宿生走讀生住宿生119331923321125

252

224282422821227

272

310301023021314

142

432343223421422

222

5629622921523

232

62136212362168

82

720332023321711

112

826

262

1827

272

912

122

總和33022372447155103

32

檢驗的步驟提出假設選擇檢驗統(tǒng)計量并計算其值選擇檢驗的形式（雙尾檢驗）統(tǒng)計決斷1、用總體標準差的無偏估計計算：查t值表得：將相關數(shù)據(jù)代入上式的計算0.05顯著性水平臨界值的近似值2、用樣本標準差計算3、用原始數(shù)據(jù)計算同理可計算得：0.01顯著性水平的臨界值所以在0.01顯著性水平上拒絕原假設，接受備擇假設，即走讀生與住宿生自學能力，從總體上來說有極其顯著性差異。方差齊性檢驗對兩個總體的方差是否有顯著性差異所進行的檢驗稱為方差齊性（相等）檢驗。對兩個獨立樣本方差是否齊性，需進行F檢驗；對兩個相關樣本方差是否齊性，需進行t檢驗。1、F分布若從方差相同的兩個正態(tài)總體中，隨機地抽取兩個獨立樣本，以此為基礎，分別求出兩個相應總體方差的估計值，這兩個總體方差估計值的比值稱為F比值，即。F比值的抽樣分布稱為F分布。

在一般情況下，經(jīng)常應用的是右側F檢驗，所以F比值表只列有右側理論值（臨界值）。在計算樣本的F值時，要求將總體方差估計值較大的作為分子，而總體方差值較小的作為分母，使計算所得的F值落在1和大于1的范圍內，以便在作F檢驗時，將實際計算出的F值與查表所得臨界值相比較。兩個獨立樣本的方差齊性檢驗例：從高二年級隨機抽取兩個小組，在化學教學中實驗組采用啟發(fā)探究法，對照組采用傳統(tǒng)講授法，后期統(tǒng)一測驗結果如下表所示（根據(jù)已有的經(jīng)驗確知啟發(fā)探究法優(yōu)于傳統(tǒng)講授法），問兩種教學法測驗分數(shù)總體方差是否齊性？

實驗組X1對照組X21646064260225859582592365576525724564156241255838582382645524525227554655246286351632512966496624921069

692

總和

實驗組X1對照組X21646064260225859582592365576525724564156241255838582382645524525227554655246286351632512966496624921069

692

總和實驗組對照組1646064260225859582592365576525724564156241255838582382645524525227554655246286351632512966496624921069692總和檢驗步驟提出假設選擇并計算統(tǒng)計量的值根據(jù)分子的自由度為8，分母的自由度為9，查表得統(tǒng)計決斷因為1.21<3.23，所以接受原假設，拒絕備擇假設，即啟發(fā)探究法與傳統(tǒng)講授法兩種測驗分數(shù)的總體方差為齊性，或者說，兩個樣本方差來自同一個總體。兩個相關樣本的方差齊性檢驗對兩個相關樣本的方差進行齊性檢驗時，需用t檢驗，其檢驗統(tǒng)計量為：

說明:分別表示兩個樣本的方差；r表示兩個樣本之間的相關系數(shù)；n表示樣本容量。例：用A，B兩卷對36名學生分別進行測驗，結果A卷的樣本標準差，B卷的樣本標準差，A、B兩卷的相關系數(shù)r=0.40，問A、B兩試卷的方差是否齊性？檢驗步驟提出假設選擇統(tǒng)計量并計算其值確定檢驗的形式（雙尾檢驗）統(tǒng)計決斷根據(jù)自由度查表得，因為1.068小于2.032，所以接受原假設，拒絕備擇假設，即方差齊性。練習題1一個樣本容量為10的配對樣本，實驗組和對照組分別施以兩種教學方法，后期測驗結果如下表，試比較兩種教學方法是否有顯著性差異？組別實驗組對照組116.113.1213.26.3315.812.5418.216.7514.09.2616.314.6715.213.889.510.4913.910.51018.414.7練習題2某校8名自由體操隊員訓練前后兩次得分如下表，問訓練是否有效？序號實驗組對照組1162021414318164202151519614157171582119練習題3測得甲、乙兩所小學二年級學生的身高如下表，試問這兩所小學二年級學生的身高是否有顯著性差異？校別人數(shù)n平均身高標準差甲10013615.4乙12012814.0練習題4下列數(shù)據(jù)是兩所幼兒園6歲兒童某項測驗成績：甲園：11、8、10、11、9、10、9、12；乙園：13、14、9、13、11、12、12。試問兩所幼兒園該項測驗成績是否有顯著性差異？練習題5某班地理測驗5個男同學的得分分別為：70、72、69、67、71；11個女同學的得分分別為：46、89、91、56、80、84、51、99、42、64、48。問男女同學地理測驗成績是否有顯著性差異？習題640人英語測驗中的聽力和閱讀分數(shù)的方差分別為7和9，兩部分滿分分數(shù)相等，平均分數(shù)相近，相關系數(shù)為0.52，問聽力與閱讀分數(shù)的方差是否齊性？進行均值比較及檢驗的過程MEANS過程：不同水平下（不同組）的描述統(tǒng)計量Ttest過程：對樣本進行T檢驗的過程單一樣本的T檢驗：檢驗單個變量的均值是否與給定的常數(shù)之間存在差異。獨立樣本的T檢驗：檢驗兩組不相關的樣本是否來自具有相同均值的總體（均值是否相同，如男女的平均收入是否相同，是否有顯著性差異）配對T檢驗：檢驗兩組相關的樣本是否來自具有相同均值的總體(前后比較，如訓練效果)One-WayANOVA：一元(單因素)方差分析，用于檢驗幾個（三個或三個以上）獨立的組，是否來自均值相同的總體。如果分析變量明顯是非正態(tài)分布的，應該選擇非參數(shù)檢驗過程。單一樣本的T檢驗概念：檢驗單個變量的均值是否與給定的常數(shù)(指定的檢驗值)之間存在顯著差異。如：要求樣本來自正態(tài)分布總體。