《函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例（1）》同步練習(xí)（3）一、選擇題1．下列函數(shù)中，增長(zhǎng)速度最慢的是()A．y＝6x B．y＝log6xC．y＝x6 D．y＝6x[答案]B2．以下四種說(shuō)法中，正確的是()A．冪函數(shù)增長(zhǎng)的速度比一次函數(shù)增長(zhǎng)的速度快B．對(duì)任意的x＞0，xn＞logaxC．對(duì)任意的x＞0，ax＞logaxD．不一定存在x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，總有ax＞xn＞logax[答案]D[解析]對(duì)于A，冪函數(shù)與一次函數(shù)的增長(zhǎng)速度受冪指數(shù)及一次項(xiàng)系數(shù)的影響，冪指數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)不確定，增長(zhǎng)幅度不能比較；對(duì)于B，C，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，顯然不成立．當(dāng)a＞1，n＞0時(shí)，一定存在x0，使得當(dāng)x＞x0時(shí)，總有ax＞xn＞logax，但若去掉限制條件“a＞1，n＞0”，則結(jié)論不成立．3．(2015·長(zhǎng)沙高一檢測(cè))如圖，能使不等式log2x＜x2＜2x成立的自變量x的取值范圍是()A．x＞0 B．x＞2C．x＜2 D．0＜x＜2[答案]D4．三個(gè)變量y1，y2，y3隨著變量x的變化情況如下表：x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y35則關(guān)于x分別呈對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)變化的變量依次為()A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2[答案]C[解析]通過(guò)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等不同函數(shù)模型的增長(zhǎng)規(guī)律比較可知，對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，變量y3隨x的變化符合此規(guī)律；指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，y2隨x的變化符合此規(guī)律；冪函數(shù)的增長(zhǎng)速度介于指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)之間，y1隨x的變化符合此規(guī)律，故選C.5．四個(gè)人賽跑，假設(shè)他們跑過(guò)的路程fi(x)(i∈{1,2,3,4})和時(shí)間x(x＞1)的函數(shù)關(guān)系分別是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他們一直跑下去，最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系是()A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x[答案]D[解析]顯然四個(gè)函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)是增長(zhǎng)最快的，故最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系是f4(x)＝2x，故選D.6.在某種金屬材料的耐高溫實(shí)驗(yàn)中，溫度y(℃)隨著時(shí)間t(min)變化的情況由計(jì)算機(jī)記錄后顯示的圖象如圖所示，現(xiàn)給出下列說(shuō)法：①前5min溫度增加越來(lái)越快；②前5min溫度增加越來(lái)越慢；③5min后溫度保持勻速增加；④5min后溫度保持不變．其中說(shuō)法正確的是()A．①④ B．②④C．②③ D．①③[答案]C[解析]前5min，溫度y隨x增加而增加，增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢；5min后，溫度y隨x的變化曲線是直線，即溫度勻速增加，所以②③正確，故選C.二、填空題7．現(xiàn)測(cè)得(x，y)的兩組對(duì)應(yīng)值分別為(1,2)，(2,5)，現(xiàn)有兩個(gè)待選模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又測(cè)得(x，y)的一組對(duì)應(yīng)值為(3,，則應(yīng)選用________作為函數(shù)模型．[答案]甲8．如圖表示一位騎自行車和一位騎摩托車的旅行者在相距80km的甲、乙兩城間從甲城到乙城所行駛的路程與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系，有人根據(jù)函數(shù)圖象，提出了關(guān)于這兩個(gè)旅行者的如下信息：①騎自行車者比騎摩托車者早出發(fā)3h，晚到1h；②騎自行車者是變速運(yùn)動(dòng)，騎摩托車者是勻速運(yùn)動(dòng)；③騎摩托車者在出發(fā)h后追上了騎自行車者；④騎摩托車者在出發(fā)h后與騎自行車者速度一樣．其中正確信息的序號(hào)是________．[答案]①②③[解析]看時(shí)間軸易知①正確；騎摩托車者行駛的路程與時(shí)間的函數(shù)圖象是直線，所以是勻速運(yùn)動(dòng)，而騎自行車者行駛的路程與時(shí)間的函數(shù)圖象是折線，所以是變速運(yùn)動(dòng)，因此②正確；兩條曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)著，故③正確，④錯(cuò)誤．三、解答題9．(2015·沈陽(yáng)高一檢測(cè))某種新栽樹(shù)木5年成材，在此期間年生長(zhǎng)率為20%，以后每年生長(zhǎng)率為x%(x＜20)．樹(shù)木成材后，既可以砍伐重新再栽，也可以繼續(xù)讓其生長(zhǎng)，哪種方案更好？[解析]只需考慮10年的情形．設(shè)新樹(shù)苗的木材量為Q，則連續(xù)生長(zhǎng)10年后木材量為：Q(1＋20%)5(1＋x%)5,5年后再重栽的木才量為2Q(1＋20%)5，畫(huà)出函數(shù)y＝(1＋x%)5與y＝2的圖象，用二分法可求得方程(1＋x%)5＝2的近似根x＝，故當(dāng)x＜時(shí)就考慮重栽，否則讓它繼續(xù)生長(zhǎng)．10．有甲、乙兩個(gè)水桶，開(kāi)始時(shí)水桶甲中有a升水，水桶乙中無(wú)水，水通過(guò)水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，t分鐘后剩余的水符合指數(shù)衰減曲線y＝ae－nt，假設(shè)過(guò)5分鐘時(shí)水桶甲和水桶乙的水相等，求再過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間水桶甲中的水只有eq\f(a,8).[解析]由題意得，ae－5n＝a－ae－5n，即e－5n＝eq\f(1,2)，設(shè)再過(guò)t分鐘水桶甲中的水只有eq\f(a,8)，得ae－n(t＋5)＝eq\f(a,8)，所以(eq\f(1,2))eq\f(t＋5,5)＝(e－5n)eq\f(t＋5,5)＝e－n(t＋5)＝eq\f(1,8)＝(eq\f(1,2))3，∴eq\f(t＋5,5)＝3，∴t＝10.∴再過(guò)10分鐘水桶甲中的水只有eq\f(a,8).能力提升一、選擇題1．如圖所示給出了紅豆生長(zhǎng)時(shí)間t(月)與枝數(shù)y(枝)的散點(diǎn)圖，那么最能擬合詩(shī)句“紅豆生南國(guó)，春來(lái)發(fā)幾枝”所提到的紅豆生長(zhǎng)時(shí)間與枝數(shù)的關(guān)系的函數(shù)模型是()A．指數(shù)函數(shù)：y＝2t B．對(duì)數(shù)函數(shù)：y＝log2tC．冪函數(shù)：y＝t3 D．二次函數(shù)：y＝2t2[答案]A[解析]由散點(diǎn)圖可知，與指數(shù)函數(shù)似合的最貼切，故選A.2．據(jù)報(bào)道，某淡水湖的湖水在50年內(nèi)減少了10%，若按此規(guī)律，設(shè)2013年的湖水量為m，從2013年起，經(jīng)過(guò)x年后湖水量y與x的函數(shù)關(guān)系為()A．y＝\f(x,50) B．y＝(1－\f(x,50))mC．y＝\f(x,50)m D．y＝(1－m[答案]C[解析]設(shè)每年湖水量為上一年的q%，則(q%)50＝，∴q%＝\f(1,50)，x年后的湖水量為y＝\f(x,50)m，故選C.3．某廠原來(lái)月產(chǎn)量為a，一月份增產(chǎn)10%，二月份比一月份減產(chǎn)10%，設(shè)二月份產(chǎn)量為b，則()A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＜bC．a(chǎn)＝b D．無(wú)法判斷[答案]A[解析]∵b＝a(1＋10%)(1－10%)＝a(1－eq\f(1,100))，∴b＝a×eq\f(99,100)，∴b＜a，故選A.4．如圖，點(diǎn)P在邊長(zhǎng)為1的正方形邊上運(yùn)動(dòng)，設(shè)M是CD的中點(diǎn)，則當(dāng)P沿ABCM運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路程x與△APM的面積y之間的函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是()[答案]A[解析]依題意，當(dāng)0＜x≤1時(shí)，S△APM＝eq\f(1,2)×1×x＝eq\f(1,2)x；當(dāng)1＜x≤2時(shí)，S△APM＝S梯形ABCM－S△ABP－S△PCM＝eq\f(1,2)×(1＋eq\f(1,2))×1－eq\f(1,2)×1×(x－1)－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×(2－x)＝－eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)二、填空題5．某種病毒經(jīng)30分鐘繁殖為原來(lái)的2倍，且知病毒的繁殖規(guī)律為y＝ekt(其中k為常數(shù)，t表示時(shí)間，單位：小時(shí)，y表示病毒個(gè)數(shù))，則k＝________，經(jīng)過(guò)5小時(shí)，1個(gè)病毒能繁殖為_(kāi)_______個(gè)．[答案]2ln2,1024[解析]∵當(dāng)t＝時(shí)，y＝2，∴2＝eeq\s\up7(\f(k,2))，∴k＝2ln2，∴y＝e2tln2.當(dāng)t＝5時(shí)，y＝e10ln2＝210＝1024.6．在不考慮空氣阻力的情況下，火箭(除燃料外)的質(zhì)量mkg、火箭的最大速度vm/s和燃料的質(zhì)量Mkg的函數(shù)關(guān)系是v＝2000ln(1＋eq\f(M,m))．當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的________倍時(shí)，火箭的最大速度可達(dá)12km/s.[答案]e6－1[解析]設(shè)M＝tm，則有2000ln(1＋t)＝12000，即ln(1＋t)＝6解得t＝e6－1.三、解答題7．某地區(qū)今年1月，2月，3月患某種傳染病的人數(shù)分別為52，54,58.為了預(yù)測(cè)以后各月的患病人數(shù)，甲選擇了模型y＝ax2＋bx＋c，乙選擇了模型y＝p·qx＋r，其中y為患病人數(shù)，x為月份數(shù)，a，b，c，p，q，r都是常數(shù)．結(jié)果4月，5月，6月份的患病人數(shù)分別為66,82,115，你認(rèn)為誰(shuí)選擇的模型較好？[解析]依題意：得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·12＋b·1＋c＝52，,a·22＋b·2＋c＝54，,a·32＋b·3＋c＝58，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝52，,4a＋2b＋c＝54，,9a＋3b＋c＝58，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，,c＝52.))∴甲：y1＝x2－x＋52，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p·q1＋r＝52①,p·q2＋r＝54②,p·q3＋r＝58③))①－②，得p·q2－p·q1＝2④②－③，得p·q3－p·q2＝4⑤⑤÷④，得q＝2，將q＝2代入④式，得p＝1，將q＝2，p＝1代入①式，得r＝50，∴乙：y2＝2x＋50，計(jì)算當(dāng)x＝4時(shí)，y1＝64，y2＝66；當(dāng)x＝5時(shí)，y1＝72，y2＝82；當(dāng)x＝6時(shí)，y1＝82，y2＝114.可見(jiàn)，乙選擇的模型較好．8.為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒．已知藥物釋放過(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為y＝(eq\f(1,16))t－a(a為常數(shù))，如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問(wèn)題：(1)從藥物釋放開(kāi)始，求每立方米空氣中的含藥量(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從藥物釋放開(kāi)始，至少需要經(jīng)過(guò)多少小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室